[Maths] [MPSI] Algèbre - endomorphismes nilpotents

**martini_bird** · 10/07/2006, 17h48

1) Construire $\text{[math]}$ tel que son indice de nilpotence soit 3.

2) Soit $\text{[math]}$ un projecteur et $\text{[math]}$ : prouver l'équivalence

fop = pof <=> Ker(p) & Im(p) sont stables par f.

Merci à Romain29 pour cet exercice.

invitee05be71a · 18/07/2006, 17h47

1) $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

2) Soit $\text{[math]}$ un projecteur et $\text{[math]}$ ,

a) on suppose que $\text{[math]}$ ,
(i) $\text{[math]}$ . Donc, $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ .
(ii) $\text{[math]}$ . Donc, $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ .

b) on suppose que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont stable par $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ . Il existe donc $\text{[math]}$ une base de $\text{[math]}$ formée de vecteurs de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
(i) si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Or, $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ .
(ii) si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Or, $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ . Donc, $\text{[math]}$ .

**martini_bird** · 18/07/2006, 18h30

Salut,

rien à redire pour ma part.

Cordialement.

**Romain-des-Bois** · 18/07/2006, 19h04

Salut,

OK aussi

Je l'ai pas proposé pour rien cet exo !

Romain

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