Un calcul de probabilités chez Laplace en 1780-1781

[RizGoureux]

Bonjour,

Je fais ma thèse d'histoire des sciences sur la probabilité inverse au XIXe siècle et il se trouve que Laplace joue un rôle assez important dans cette discipline au tournant du XIX siècle. Aussi, je me suis donc intéressé à ses travaux antérieurs et je suis tombé sur un mémoire publié en 1781 (remis en 1780, ci-joint) dans lequel il aborde la question des a priori du théorème de Bayes (pour celleux qui connaissent).

C'est au paragraphe §. XXVIII, p. 469-470 que Laplace incorpore (probablement) pour la première fois les a priori dans sa formule de la probabilité des causes par les événements.

Il considère une loi binomiale avec deux événements (qu'il ne nomme pas mais que je vais appeler et ) de probabilité respective et inconnue, puis deux lois de distribution a priori de ces deux événements : et . En d'autres termes, et .

Il pose alors la distribution a posteriori de la loi de probabilité de l'événement lorsque l'on a observé fois et fois. Par conséquent, même s'il ne l'écrit pas à ce moment là, (où est le coefficient binomial adéquat). Il cherche ensuite à montrer que le maximum de la fonction n'est pas très éloignée du maximum de (et fortiori quand et sont grands). Et c'est dans la démonstration de cette dernière affirmation que je bloque.

Voici les quelques lignes de sa démonstration.
Laplace (1781) p. 470.png

N'hésitez pas si vous avez des questions.

Merci d'avance,

RG
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[MissJenny]

bonjour, tes notations ne sont pas cohérentes. Tu parles d'abord de E et F "de probabilités x et 1-x", puis tu dis que P(E)=u (donc u = x ?) et P(F) = s (donc s = 1-x ?)

[RizGoureux]

Bonjour,

Oui nan effectivement c'est un peu brouillon, je vais rectifier.

x (resp. 1-x) est la probabilité de l'événement E (resp. F). Mais étant donné que x est inconnu, on l'a probabilisé. Il serait plus juste d'écrire

(même si cette dernière notation est un peu impropre).

Aussi, .

J'espère que c'est plus clair.

[MissJenny]

a priori x pourrait avoir une distribution continue, et donc u(t) serait plutôt une densité de probabilité qu'une probabilité. Laplace connaissait-il les travaux de Bayes?

[A voir en vidéo sur Futura]

[RizGoureux]

Dans ce papier de 1781, il ne cite pas l'article de Bayes contrairement au résumé anonyme qui en est donné en introduction du numéro de l'Histoire de l'académie royale des sciences dans lequel est publié pour la première fois ce mémoire.

De ce que je comprends, pour exhumer le maximum de la fonction usy, Laplace dérive l'expression (en prenant soin de ne pas séparer u et s) comme on le fait au lycée. Mais c'est la manipulation qui suit avec ce z et ce alpha qui me laisse perplexe.

[MissJenny]

Pour comprendre ce qu'il fait je crois qu'il faut lire les articles précédents. Il semble que z soit introduite à l'article 18.

[RizGoureux]

Effectivement, et il le réutilise aussi plus bas (§ XXIII, p. 444) en notant même que ce z est "une fonction de x qui ne renferme point de puissances de l'ordre 1/alpha". Pour autant, le raisonnement de l'article XXVIII (p. 470) ne m'apparait pas beaucoup plus clair.

[RizGoureux]

Bonjour,

Je pense que j'ai saisi au moins l'esprit de la démonstration. Est-ce que vous voulez y jeter un coup d'œil ?

Voici ma rédaction de la chose : etat_art_v04_02 (p. 34-36).pdf

Bonne journée,

Cdt,

RG

[Verdurin]

Bonsoir,
il me semble que les événements E et F sont des événements contraires : F=¬E.
De plus j'ai l'impression que ta définition d'un événement simple ( note 49 ) est fausse. Je dirais que E et son contraire sont simples quand tout ce que l'on sait est que E est apparu ou non.
Par exemple je fais jouer deux programmes différents au 421. Tout ce que je connais est le nombre de victoires de chaque programme. Mais le résultat de chaque partie dépend d'une cinquantaine de lancés de dé, simplement je ne les connais pas.

J'espère que ces réflexions te seront utiles.

Pour faire plus il faudrait que je lise presque tout le traité et c'est un trop gros effort pour moi.
Avec mes excuses,
Verdurin.