Théorie des ensembles: approche

[Médiat]

Donc tu préfères celle de Tarski ?

Oui, sans hésitation (sachant que dans la pratique, choisir l'une ou l'autre, n'a que très très peu d'impact)
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[invite7b7f1ad0]

Bonjour, je ne vais pas pouvoir poursuivre la discussion avant la soirée, en attendant je corrige quand même mon trait d'humour de mon dernier post:

Pour l'instant je me contente de voir l'infini ainsi: Z qui s'incrémente à chacun de ses deux bouts et R qui s'incrémente de partout

Pour les définitions des ensembles finis, celle de Dedekind (n°2) est tout à fait compréhensible pour moi.

[Deedee81]

Salut,

Pour les définitions des ensembles finis, celle de Dedekind (n°2) est tout à fait compréhensible pour moi.

C'est la définition la plus simple/abordable.... mais attention, elle n'est valable que si tu as l'axiome du choix. Donc tout dépend de ce que tu veux faire.
(certains n'aiment pas l'AC donc vaut mieux être sûr)
Rappel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

[syborgg]

Liet Kynes,
afin de clarifier le debat : qelles sont tes connaissances des maths (en general) exactement ? niveau bac non scientifique ? bac scientifique ? universite ?

[invite7b7f1ad0]

J'ai fait des études en agriculture, et je possède un BTS en productions animales, les maths étaient très axées sur les nécessités applicatives pour la chimie, la bio et la génétique: donc statistiques, probabilités, j'ai vu passé aussi les dérivées et les intégrales etc.. Le collège était catastrophique, 5 profs différents en 3ème, je suis de 1968.
De ma scolarité il ne me reste que de très vagues notions, essentiellement conceptuelles, je pouvais exceller comme être très médiocre: cela dépendait de l’intérêt du sujet et du temps d'écoute en cours car j'avais tendance à partir dans mes réflexions et ne plus être vraiment présent dès que cela me "parlais" et cela me parlais souvent
Sinon les réflexions mathématiques ne m'ont jamais quittées et j'ai décidé de me replonger depuis quelques temps dans ce chemin, j'ai lu beaucoup de choses, certaines connaissances sont bien définies et d'autres à reformuler pour être replacées dans les bonnes cases.
Bref c'est très éclectique et j'ai parfois des idées qui sont loin d'être de mon niveau donc je ressens le besoin d'apprendre.
Je n'ai pas dans mes habitudes de hiérarchiser telle ou telle manière d'appréhender un concept ce qui m'importe est de suivre le chemin proposé qu'il aboutisse ou non, l'axiome du choix, le raisonnement par l'absurde ou tout autre concept "discutable ou discutés" ne sont que des possibilités offertes donc je ne vais pas m'en priver ni en faire une croyance.

Pour exemple de mon état d'esprit, voilà ce quoi je pensais aujourd'hui dans la continuité de ce post: en étant parti sur la complexité de la détermination du fini et en déduisant qu'un ensemble fini pouvait être envisagé dans une perspective infinie (du point de vue non pas de ses éléments mais de leurs propriétés), je me posais la question de l'existence d'un ensemble infini totalement dépourvu de récurrence infinie ..: ce genre de réflexions sont, lors d'échanges avec des personnes ayant structuré leur approche absolument incompréhensibles et limite déplacées..

[gg0]

Effectivement,

ces réflexions sont "déplacées" vu qu'il ne s'agit, de ta part, que de manipulation de mots que tu rassembles dans une phrase ayant l'apparence d'avoir une signification. Mais ce ne sont que des mots. Et tu aimes les mots compliqués : " la complexité de la détermination du fini" ??? Ça fait joli, ça donne l'impression à ceux qui n'y connaissent rien que c'est profond; mais ce n'est pas profond, seulement creux. Ça veut dire quoi, "déterminer le fini" ?
"Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire viennent aisément" (Nicolas Boileau)
Au lieu d'aligner des mots, réfléchis à ce qui se passe dans ta tête, comme tu l'as fait dans une grande partie de ce fil, et traduis cela en mots simples. Quitte a faire plusieurs phrases.

Les mathématiques sont un outil pour traiter clairement des problèmes très compliqués. Nicolas Boileau, vivant en un siècle où la science se faisait surtout en phrases en français, serait émerveillé de la clarté qu'apportent les notations mathématiques.
Pourquoi ne pas apprendre les outils et notions de base qui permettent de traiter clairement ces problèmes. Par exemple la notion d'ensemble fini se traite facilement avec les définitions qu'on t'a présentées.

Cordialement.

[syborgg]

J'abonde dans le sens de gg0 : met de cote les articles de vulgarisation et eloigne toi du bruit incessant des infos glanees sur internet. Au lieu de cela, prend un VRAI livre de maths et commence a la premiere page du premier chapitre. Si tu as des questions sur les livres a choisir, et sur des points particuliers de definitions ou de demonstrations qui ne sont pas claires, on sera ravi de t'aider. Mais continuer a parler dans le vent de concepts mal digeres ne sert a rien, ni pour toi, ni pour nous.

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, je suis bien d’accord avec ce qui est dit, j'ai répondu à syborgg mais cela n'éclaire pas forcement le débat..
Ce qui me décontenance un peu c'est de découvrir qu'il y a plusieurs approches avec cette remarque de Deedee81 "certains n'aiment pas l'AC donc vaut mieux être sûr" .
Les deux livres que j'ai cité sont -ils de bons supports?

[syborgg]

Bonjour, je suis bien d’accord avec ce qui est dit, j'ai répondu à syborgg mais cela n'éclaire pas forcement le débat..
Ce qui me décontenance un peu c'est de découvrir qu'il y a plusieurs approches avec cette remarque de Deedee81 "certains n'aiment pas l'AC donc vaut mieux être sûr" .
Les deux livres que j'ai cité sont -ils de bons supports?

Le livre de Dehornoy je te le deconseille.
Celui de Krivine c'est une valeur sure.

Mais avant de te questionner sur l'AC et les differentes approches, commence par les bases de la theorie axiomatique des ensembles telles qu'elles sont decrites dans les premiers chapitres de Krivine.
Si tu as des questions a la lecture de ce livre, n'hesite pas a les poser ici meme.
Oui il y a differentes approches de la theorie des ensembles (je pense notamment a la theorie des ensembles de Bernays-Godel basee sur la notion de classe propre versus ensemble), mais celle presentee par Krivine est la plus "standard". Commence donc par celle ci sans te preocuper des autres approches, il y a deja beaucoup de boulot !

Dernier point tres important : ne te fait pas d'illusion, si tu veux rellement comprendre tout cela tu auras besoin de t'armer de beaucoup de patience et de perseverance. Tu restera dans les limbes de l'ignorance crasse si tu ne persevere pas dans la lecture de livres de reference comme celui de Krivine. On n'a rien sans rien.

[invite7b7f1ad0]

Merci pour ces conseils, j'étais aussi dans l'idée que le livre de Krivine était plus adapté à ma situation.. je commande, attaque ma lecture et je reviens sur ce post plus tard..

[syborgg]

Merci pour ces conseils, j'étais aussi dans l'idée que le livre de Krivine était plus adapté à ma situation.. je commande, attaque ma lecture et je reviens sur ce post plus tard..

Voila enfin une bonne initiative ! a bientot donc.

[amineyasmine]

bonjour
les axiomes ZFC ne sont pas nombreux (moins de 10)

est ce quelqu'un peut les énumérés

je donne une partie :
-- Axiome extensionnalité : Deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux.
-- Axiome de la paire : Etant donne deux ensembles, il existe un troisième ensemble qui a pour uniques éléments les deux ensembles
-- Axiome de la somme : A tout ensemble, on peut associer un ensemble de l’uni-vers qui est l’union des éléments du premier, i.e. dont les éléments sont exactement les éléments des éléments du premier.
-- Axiome de l’ensemble des parties : A tout ensemble, on peut associer un ensemble de l’univers qui contient exactement les parties (i.e. les sous-ensembles) du premier.

[Médiat]

les axiomes ZFC ne sont pas nombreux (moins de 10)

C'est faux, il y en a une infinité

[Deedee81]

Salut,

ICi on a :

C'est faux, il y en a une infinité

Pourquoi une infinité ???

[Médiat]

Salut,

A cause des schémas d'axiomes, c"est NBG qui est finiment axiomatisable

[Deedee81]

Grrrrr, normalement après mon "ici on a", on aurait dû avoir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...rmelo-Fraenkel

Un raté du copier-coller

A cause des schémas d'axiomes, c"est NBG qui est finiment axiomatisable

Ah oui, en effet, ils ne disent d'ailleurs pas (ci-dessus) "axiome de compréhension" mais "schéma d'axiomes ...."

Merci,

[invite7b7f1ad0]

Le livre de Krivine commence par les axiomes justement, ce que l'on nomme Univers (qui n'est pas un ensemble mais une collection) peut-il être constitué d'ensembles d'axiomes ? Si j'ai un peu compris un schémas d'axiome doit être cohérent (consistant= non contradictoire) un tel schémas est-il un ensemble?

[syborgg]

Le livre de Krivine commence par les axiomes justement, ce que l'on nomme Univers (qui n'est pas un ensemble mais une collection) peut-il être constitué d'ensembles d'axiomes ? Si j'ai un peu compris un schémas d'axiome doit être cohérent (consistant= non contradictoire) un tel schémas est-il un ensemble?

Les axiomes sont a considerer dans ce contexte comme des "meta objets" c'est a dire ne faisant pas partie de l'univers lui meme. Donc ce ne sont pas des ensembles. Quant a la consistence des axiomes de ZFC, ne t'en preocupe pas pour le moment. C'est un sujet qui se traite de facon independante et qui necessite des notions qui prennent du temps pour etre digerees (le fameux theoreme de Godel pour ne pas le nommer). Ne fait pas tout a la fois, tu te perdrait vite en route !

[Médiat]

Bonjour Liet

Une difficulté (mineure) quand on se lance dans l'étude de la logique , c'est de savoir faire la distinction entre notions naïve et formelle, quand on dit "ensemble d'axiome" il ne s'agit pas d'ensemble au sens de la théorie des ensembles, mais au sens naïf. Un autre exemple, si je dis que l'arithmétique de Peano se définit avec 2 opérations binaires, il serait ridicule de me reprocher d'utiliser des nombres entiers (2 fois, et hop une fois de plus, et rehop, voilà que je viens d'utiliser une addition) avant de les définir

[invite7b7f1ad0]

Merci pour vos conseils, ils me font prendre bien conscience de la démarche; il faut en quelque sorte placer son esprit en mode spectateur, j'ai trouvé une chaîne YouTube qui m'aide un peu en fixant les idées, elle permet de donner un "ce qu'il faut retenir pour l'instant"

https://www.mathsplusun.com/
Sur la théorie naïve des ensembles : https://www.youtube.com/watch?v=lllLUBZJUIQ
est-elle valable (sérieuse)?

Le truc que je dois trouver, lors de la lecture, c'est de vérifier et avoir conscience de ce qui me semble être une implication immédiate et peu s'avérer être un biais cognitif; c'est là que je comprends l'importance énorme des exercices ; il y a des ressources dans ce sens ?

Encore merci pour tout ces conseils précieux.

[amineyasmine]

Bonjour

Les axiomes ZFC sont nombreux contrairement à ce que je savais.

Je cherche à les lister et les numéroter, pour éviter les répétions, et j’aurai besoin de votre aide pour faire grandir la liste.

01- Axiome de l’ensemble vide : il existe un ensemble et un seul qui n’a aucun élément.

02- Axiome extensionalité : Deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux.

03- Axiome de la paire : Etant donne deux ensembles, il existe un troisième ensemble qui a pour uniques éléments les deux ensembles

04- Axiome de la somme (ou «axiome de la réunion ») : pour tout ensemble A, il existe un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles éléments de l'ensemble A, (il faut le préciser A est un ensemble d'ensembles).

05- Axiome de l’ensemble des parties : Il existe pour tout ensemble E, un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci.
06- Axiome de l’infini : Il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x implique x U {x}, « clos : il faut chercher la signification ».

06- ‘Axiome’ schéma d’axiomes de remplacement : Il s’agit en fait d’une infinité d’axiomes qui dit informellement que : un ensemble étant donné, les images de ses éléments par une relation fonctionnelle forment un ensemble.

06bis- ‘Axiome’ schéma d’axiomes de compréhension : il découle directement du schéma d’axiomes de remplacement

07- Axiome de fondation : Cet axiome dit que pour tout ensemble non vide X, il existe un ensemble Y appartenant à X et tel que l’intersection entre X et Y est vide. il interdit l’existence d’ensembles E tels que E appartient à E, ou l’existence de suites (xn) telles que (xn+1) appartienne (xn) pour tout n.

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, y a du boulot comme dit plus haut (et comme dit gg0; 2-3 ans ne seront pas à exclure), je viens de refaire un tour (pas en deux minutes) sur l'arithmétique de Paneo (cf post de Mediat) . Le livre de Krivine va être le livre le plus long à lire de mon existence à mon avis. Le bouquin que j'ai lu trop vite cet été "Le rêve de la raison" est vraiment bien construit ( je le conseil comme support pour qui voudrait suivre le chemin de l'apprentissage, il me donne un plan général : je vais le relire à la lumière de ce que je viens de comprendre).
Je suis très en colère sur la manière dont les maths m'ont été présentées durant ma scolarité, la tâche est délicate certes, cependant je pense que l'on mésestime complètement la capacité des jeunes à ajuster leur intellect; c'est un débat HS mais je pense que la logique devrait être une matière fondamentale - ne serait-ce que par sa transversalité pour parler moderne.
@ ceux qui m'ont répondus et suivis jusqu'ici: je reprends les posts et conseils en parallèle de mon bouquin "plan", il me faut construire un programme d'apprentissage capable d'effacer le platonisme que l'on m'a enseigné.

[amineyasmine]

Je chercher à les lister et les numéroter, pour éviter les répétions, et j’aurai besoin de votre aide pour faire grandir la liste.
01- Axiome de l’ensemble vide : il existe un ensemble et un seul qui n’a aucun élément.
02- Axiome extensionalité : Deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux.
03- Axiome de la paire : Etant donne deux ensembles, il existe un troisième ensemble qui a pour uniques éléments les deux ensembles
04- Axiome de la somme (ou «axiome de la réunion ») : pour tout ensemble A, il existe un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles éléments de l'ensemble A, (il faut le préciser A est un ensemble d'ensembles)..
05- Axiome de l’ensemble des parties : Il existe pour tout ensemble E, un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci.
06- Axiome de l’infini : Il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x implique x U {x}, « clos : il faut chercher la signification ».
07- ‘Axiome’ schéma d’axiomes de remplacement : Il s’agit en fait d’une infinité d’axiomes qui dit informellement que : un ensemble étant donné, les images de ses éléments par une relation fonctionnelle forment un ensemble. Ou : Étant donné un ensemble A et une propriété P exprimée dans le langage de la théorie des ensembles, il existe un ensemble B des éléments de A vérifiant la propriété P.
07bis- ‘Axiome’ schéma d’axiomes de compréhension : il découle directement du schéma d’axiomes de remplacement
08- Axiome de fondation : Cet axiome dit que pour tout ensemble non vide X, il existe un ensemble Y appartenant à X et tel que l’intersection entre X et Y est vide. il interdit l’existence d’ensembles E tels que E appartient à E, ou l’existence de suites (xn) telles que (xn+1) appartienne (xn) pour tout n.

bonjour
j'ajoute le 09
09- Axiome du choix : Pour tout ensemble A, il existe une fonction f définie sur P (A), dite fonction de choix, qui à tout sous-ensemble non vide de A associe un élément de ce sous-ensemble,

[amineyasmine]

BONJOUR
je n'arrive a recenser que 9:

01- Axiome de l’ensemble vide : il existe un ensemble et un seul qui n’a aucun élément.

02- Axiome extensionalité : Deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux. Ou 2 ensembles sont identiques si et seulement s'ils ont les mêmes éléments.

03- Axiome de la paire : Etant donne deux ensembles, il existe un troisième ensemble qui a pour uniques éléments les deux ensembles. Ou Si x et y sont deux objets de l'univers, il existe un ensemble constitué de x et de y.

04- Axiome de la somme (ou «axiome de la réunion ») : pour tout ensemble A, il existe un ensemble qui contient tous les éléments des ensembles éléments de l'ensemble A, (il faut le préciser A est un ensemble d'ensembles)..

05- Axiome de l’ensemble des parties : Il existe pour tout ensemble E, un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci.

06- Axiome de l’infini : Il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x implique x U {x}, « clos : il faut chercher la signification ».

07- ‘Axiome’ schéma d’axiomes de remplacement : Il s’agit en fait d’une infinité d’axiomes qui dit informellement que : un ensemble étant donné, les images de ses éléments par une relation fonctionnelle forment un ensemble. Ou : Étant donné un ensemble A et une propriété P exprimée dans le langage de la théorie des ensembles, il existe un ensemble B des éléments de A vérifiant la propriété P.

07bis- ‘Axiome’ schéma d’axiomes de compréhension : il découle directement du schéma d’axiomes de remplacement

08- Axiome de fondation : Cet axiome dit que pour tout ensemble non vide X, il existe un ensemble Y appartenant à X et tel que l’intersection entre X et Y est vide. il interdit l’existence d’ensembles E tels que E appartient à E, ou l’existence de suites (xn) telles que (xn+1) appartienne (xn) pour tout n

09- Axiome du choix : Pour tout ensemble A, il existe une fonction f définie sur P (A), dite fonction de choix, qui à tout sous-ensemble non vide de A associe un élément de ce sous-ensemble,

[Deedee81]

Salut,

je n'arrive a recenser que 9:

En effet. Mais attention, le 07 n'est pas un axiome mais une infinité d'axiomes. C'est marqué d'ailleurs.

Je ne vois pas pourquoi tu veux faire grandir la liste. Les axiomes de ZFC sont ce qu'ils sont.... on ne peut pas faire grandir la liste comme ça.

[invite7b7f1ad0]

Salut,



En effet. Mais attention, le 07 n'est pas un axiome mais une infinité d'axiomes. C'est marqué d'ailleurs.

Je ne vois pas pourquoi tu veux faire grandir la liste. Les axiomes de ZFC sont ce qu'ils sont.... on ne peut pas faire grandir la liste comme ça.

Si la construction d'un système axiomatique est basée sur la cohérence des axiomes entre eux, existe t-il une construction admettant nécessairement des paradoxes coexistants de sorte à fonder la suite de l'axiomatique?

[gg0]

On sait qu'à partir d'une propriété et de son contraire, on démontre tout (*). Donc si on prend des axiomes qui se contredisent, on a une théorie inutile. Si ce que tu appelles "une construction admettant nécessairement des paradoxes coexistants" est ce genre d'axiomatique sans utilité, la réponse est non. Et je suis surpris que tu poses cette question.
Si tu veux parler d'autre chose, il va falloir le définir clairement.

[invite7b7f1ad0]

Si tu veux parler d'autre chose, il va falloir le définir clairement.

Je ne suis pas encore apte à cela.. il s'agirait de combiner des coexistences sur des plans "non synchrones"; j'ai pas mieux comme analogie. L'idée m'est venue en envisageant certaines suites convergentes. Elle serait dans la nécessité du paradoxe , je suis, tu le sais, d'un niveau débutant dans tout cela, c'est une phrase suite à des lectures qui m'est venu: " le cercle est une droite particulière". Tu me l'as déjà souvent répété: "définitions et rien de mystique" et tu m'as justement fait voir le caractère trompeur du " littéraire" dans la démarche mathématique, je pense être dans l'étape d'admission de la nécessité de cohérence: ce n'est pas quelque chose de simple.

[gg0]

Toujours du verbiage.

Inutile de poser des questions si tu ne sais pas toi-même ce qu'elles veulent dire. Si ça permet de frimer en société face à d'autres baratineurs, ici ça ne sert à rien : "Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement - Et les mots pour le dire viennent aisément" (Nicolas Boileau - un littéraire).
la phrase que tu cites est fausse, bêtement fausse; un cercle n'est pas une droite. Quand tu lis ce genre d'âneries, supposées expliquer des mathématiques, ferme le bouquin ou le pdf, et passe à autre chose.
Dans aucune discipline intellectuelle, l'incohérence n'est utile, elle est même toujours nuisible. Et dans les disciplines pratiques, elle est catastrophique. Elle est souvent cachée par le baratin, l'avantage des maths c'est qu'aucun baratin n'y est possible; plus exactement, que les baratineurs sont refusés. Et la mise en évidence d'une incohérence renvoie celui qui l'a écrite à ses chères études.

Donc pas de baratin, de manipulations de mots sans signification, de grands mots inutiles. ton "coexistences sur des plans "non synchrones"" n'a aucun sens. C'est seulement des mots posés les uns à côté des autres. Quand tu auras une idée claire, tu sauras l'exprimer avec des mots simples ou techniques, mais ce sera transmissible. Si ce n'est pas exprimable avec ce genre de mots, ce n'est pas une idée, seulement un rêve.

Cordialement.

[amineyasmine]

Je ne vois pas pourquoi tu veux faire grandir la liste. Les axiomes de ZFC sont ce qu'ils sont.... on ne peut pas faire grandir la liste comme ça.

Bonjour
Je ne cherche pas à faire agrandir la liste des axiomes,
J’ai fait des recherches pour lister les axiomes et trouver des définitions simples et compréhensibles.

Je partage les 9 axiomes que j’ai pu identifier.

Ils sont tous intuitifs et clairement définit sauf pour le « schéma d’axiomes de remplacement ou encore schéma d’axiomes de compréhension ».

La définition contient « soit …….. une propriété P exprimée dans le langage de la théorie des ensembles…….. »

Cette phrase qui renvoie à théorie ZF-C me complique la compréhension de l’axiome