Théorie des ensembles: approche

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, je me lance finalement dans une tentative de compréhension de des principes de cette théorie: je post en logique qui me parait le bon endroit.

Pour commencer la définition d'un ensemble: "Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble. " : https://fr.wikiversity.org/wiki/Ense...C3%A9finitions

Cantor donnait : : « Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »

Ma première question est relative au terme "définis" de la définition de George Cantor, j'en comprends que un ensemble possède des éléments ayant au moins une propriété commune, si c'est exact (ma lecture), peut-on démontrer qu'il n'existe pas d'ensemble dont les éléments possèdent exactement les mêmes propriétés, ce qui reviendrai à dire qu'un ensemble possède toujours au moins un élément commun avec un autre?
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[Médiat]

Bonjour,

Un ensemble est un objet d'un modèle d'une théorie des ensembles (il y en a plusieurs), de la même façon qu'un groupe est un objet d'un

modèle de la théorie des groupes (il n'y en a qu'une, à ma connaissance)

[gg0]

Bonjour Liet Kynes.

Pour démontrer quelque chose, il faut une théorie correctement construite. Et ne pas confondre une illustration de l'idée de la notion qui sera théorisée avec une définition mathématique. Quand Cantor a commencé ses travaux, il n'a utilisé qu'une idée intuitive de la notion d'ensemble, que tu reprends. Mais bien évidemment, cette explication n'était pas un outil de démonstration. En fait, il acceptait comme "ensemble" tout ce que son esprit pouvait associer à cette idée intuitive. A la fin du dix-neuvième siècle, on s'est aperçu que ça ne fonctionnait pas, et on a restreint les significations possibles, en mathématiques, de la notion d'ensemble.
Donc tu peux (sur un forum adapté) discuter de la signification philosophique d'un mot d'une explication d'il y a bientôt deux siècles, mais ici pon fait des maths. Et même sur cet autre forum, il te faudra éclaircir ce que tu veux dire dans ta phrase tarabiscotée ".. ensemble dont les éléments possèdent exactement les mêmes propriétés, ce qui reviendrai à dire qu'un ensemble possède toujours au moins un élément commun avec un autre? ". Car intuitivement, c'est aberrant : Tu crois vraiment que l'ensemble des composants de l'ordinateur sur lequel j'écris a un élément commun avec l'ensemble des composants de l'appareil qui t'a servi ? Il faut être malade !!

Donc si tu veux étudier la théorie des ensembles, tu prends un livre, ou un cours sur le sujet, et tu lis sans a-priori, sans donner des sens baroques à ce qui est écrit. Tu ne te contentes pas de prendre deux bouts de phrases piqués ici et là et de les passer à la moulinette d'une critique littéraire sans objet.

[choom]

Pour démontrer quelque chose, il faut une théorie correctement construite. Et ne pas confondre une illustration de l'idée de la notion qui sera théorisée avec une définition mathématique. Quand Cantor a commencé ses travaux, il n'a utilisé qu'une idée intuitive de la notion d'ensemble, que tu reprends. Mais bien évidemment, cette explication n'était pas un outil de démonstration. En fait, il acceptait comme "ensemble" tout ce que son esprit pouvait associer à cette idée intuitive. A la fin du dix-neuvième siècle, on s'est aperçu que ça ne fonctionnait pas, et on a restreint les significations possibles, en mathématiques, de la notion d'ensemble.
Donc tu peux (sur un forum adapté) discuter de la signification philosophique d'un mot d'une explication d'il y a bientôt deux siècles, mais ici pon fait des maths. Et même sur cet autre forum, il te faudra éclaircir ce que tu veux dire dans ta phrase tarabiscotée ".. ensemble dont les éléments possèdent exactement les mêmes propriétés, ce qui reviendrai à dire qu'un ensemble possède toujours au moins un élément commun avec un autre? ". Car intuitivement, c'est aberrant : Tu crois vraiment que l'ensemble des composants de l'ordinateur sur lequel j'écris a un élément commun avec l'ensemble des composants de l'appareil qui t'a servi ? Il faut être malade !!

Donc si tu veux étudier la théorie des ensembles, tu prends un livre, ou un cours sur le sujet, et tu lis sans a-priori, sans donner des sens baroques à ce qui est écrit. Tu ne te contentes pas de prendre deux bouts de phrases piqués ici et là et de les passer à la moulinette d'une critique littéraire sans objet.

Bonjour Gg0 Je ne suis pas très ferré dans les domaines scientifiques, mais fort curieux de se qui s’y discute. En tant que lecteur régulier de ces forums je suis fort affecté lorsque la qualité de fond des réponse se fait a l’inverse du respect des personnes.

«*Ne pas confondre*», «*ici on fait des maths*», «*tarabiscotée*», «*c’est aberrant*», «*il faut être malade*», «*donner un sens baroque*», «*ne te contentes pas..*», «*phrases piquées ici ou là*», «*critiques littéraires sans objet*».

Etes-vous capable de transmettre votre savoir sans agresser les gens ? Faites-nous le plaisir de réécrire la même contribution mais comme si vous vous adressiez à quelqu’un pour qui vous avez naturellement du respect ( si ça existe..). L’esprit du forum vous en sera gré.

ps: le «*Tu prends un livre ou un cours*» est fréquent aussi sur ce forum chez ceux qui veulent montrer que «*EUX ILS SAVENT*» et que le savoir ça doit coûter de l’effort et que vous n’allez quand même pas croire, petits ignorants débiles que je vais m’abaisser à vous expliquer quoi que ce soit....
Si vous n’avez pas la patience ou la pédagogie nécessaire pour d’expliquer gentiment les choses, rien ne vous oblige à répondre, et si effectivement la matière est trop complexe pour être expliquée en une page, et bien donnez une ou l’autre bonne référence qui contient la réponse...

Un lecteur qui en a marre des pédants.
Choom

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Choom,

effectivement, tu n'es pas très ferré sur les domaines scientifiques, et surtout tu ne comprends pas la faiblesse systématique des interventions de Liet Kynes. J'en suis désolé pour toi !
Un forum de mathématiques est fait pour y faire des mathématiques, pour les discussions de type "café du commerce", il y a un forum dédié.
Et si ma réponse n'est pas conviviale, je suis étonné que tu n'aies pas plus réagi à celle de médiat, bien plus catégorique. Finalement, tu t'intéresses aux détails, pas au contenu du message.

Quant à "prends un bouquin", si tu as fait quelques études (*) tu sais qu'on ne saurait discuter d'une théorie scientifique (ou autre) sans s'être informé correctement de ce qu'elle est. Qu'en parler "comme ça" sans savoir (**) c'est brasser du vent. C'est vrai qu'à l'ère d'internet, beaucoup le font sans se rendre compte du ridicule.

Dernière chose : Dans ce fil, il n'était pas question de transmettre un savoir. Liet Kynes, malgré ses nombreuses interventions dans le forum "mathématiques" ne se met jamais en position d'apprenant, il est toujours dans les discussions de "survol" des notions.

Par contre, si un jour tu viens pour apprendre, je ferai ce qu'il faut pour débroussailler les questions difficiles. Je fais ça suffisamment souvent pour que tu puisses retrouver mes aides en maths.

Cordialement.

(*) Je parle bien d'étude, pas de prendre 3 phrases dans des revues de vulgarisation ou sur Internet.
(**) "J'ai pas lu, j'ai pas vu mais j'ai entendu parler" Titre d'une rubrique de feu Delfeil de Ton dans Charlie Hebdo

[Deedee81]

Salut,

Excuse-moi choom mais ton message est tout aussi agressif et même plus agressif que le message de gg0. Quand on veut jouer les donneurs de leçon, on montre l'exemple. Gg0 a au moins essayé d'aider avec des informations précises, même s'il a son style bien à lui. Au lieu de critiquer son message il est beaucoup plus intéressant :

- De donner soi même une explication constructive, utile au primo posteur et sous la forme que l'on juge convenable.
- Et si on trouve un autre message vraiment trop agressif, on clique sur le triangle (ou par MP avec l'auteur, mais je ne le conseille pas ici). Sur Futura on ne fait pas la loi soi-même sinon, ça ne rate pas, le fil tourne à bagarre et entraîne sa fermeture. Ce qui est dommageable pour le primo posteur. Là je le dis en tant que modérateur mais pas en vert (n'étant pas modérateur de ce forum).

[Médiat]

je suis étonné que tu n'aies pas plus réagi à celle de médiat, bien plus catégorique.

Au moins elle est mathématiquement correct, pour les câlins c'est sur rendez-vous uniquement !

[choom]

Salut,

Excuse-moi choom mais ton message est tout aussi agressif et même plus agressif que le message de gg0. Quand on veut jouer les donneurs de leçon, on montre l'exemple. Gg0 a au moins essayé d'aider avec des informations précises, même s'il a son style bien à lui. Au lieu de critiquer son message il est beaucoup plus intéressant :

- De donner soi même une explication constructive, utile au primo posteur et sous la forme que l'on juge convenable.
- Et si on trouve un autre message vraiment trop agressif, on clique sur le triangle (ou par MP avec l'auteur, mais je ne le conseille pas ici). Sur Futura on ne fait pas la loi soi-même sinon, ça ne rate pas, le fil tourne à bagarre et entraîne sa fermeture. Ce qui est dommageable pour le primo posteur. Là je le dis en tant que modérateur mais pas en vert (n'étant pas modérateur de ce forum).

Dont acte.

[jacknicklaus]

j'en comprends que un ensemble possède des éléments ayant au moins une propriété commune

je peux définir un ensemble comprenant l'entier 42, et la plus vielle paire de chaussettes de mon tiroir à chaussettes. C'est parfaitement défini. Ils ont un propriété commune ? Et c'est quoi une propriété ?

si c'est exact (ma lecture), peut-on démontrer qu'il n'existe pas d'ensemble dont les éléments possèdent exactement les mêmes propriétés

Mêmes propriétés que quoi ? Et c'est quoi une propriété ? par exemple, comment applique tu ton idée à E = {42}, ou E = {vide} ?

ce qui reviendrai à dire qu'un ensemble possède toujours au moins un élément commun avec un autre?

ah bon ? E1 = {chaussette} et F = {42} et G = {vide} ont quels éléments en commun ?


Tu peux, je pense, définir une théorie avec toutes sortes d'idées. mais ton idée ressemble quand même très peu à une théorie des ensembles. Tu peux l'appeler théorie des gloups. Un gloups contiendra des zorgs, un zorg est défini par ... etc etc... Voir par exemple cette belle théorie des casseroles : https://www.youtube.com/watch?v=1Duiup2tWKA

[invite7b7f1ad0]

Donc la bonne définition est celle ci: "Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble. "
Et à celle de Cantor, il faut enlevé les mots en gras ? « Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »

[invite7b7f1ad0]

Sur cette page http://serge.mehl.free.fr/anx/Th_ensembles.html , j'ai "Considérons une propriété P clairement énoncée (sans ambiguïté) portant sur des objets eux-mêmes bien définis. Si x est un objet pour lequel la propriété est vérifiée, nous dirons que x est un élément de la collection considérée. Les éléments vérifiant P constituent un ensemble que nous notons E."
Ce qui va dans le sens ou un ensemble est constitué d'éléments vérifiant une propriété commune de ce que je comprends.

[Médiat]

Cette dernière définition n'a rien de mathématique, elle est à proscrire avec force (incompatible avec ZF par exemple)

[Médiat]

Donc la bonne définition est celle ci: "Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble. "

Et d'un point de vue mathématique, c'est quoi une collection, un groupement, un objet ?

[Deedee81]

Salut,

Ce qui va dans le sens ou un ensemble est constitué d'éléments vérifiant une propriété commune de ce que je comprends.

Bon, on va être clair. Dans une théorie des ensembles, au départ, les éléments n'ont aucune propriété. Ce sont des objets "atomiques", "abstraits", "élémentaires".
Voir ici par exemple : https://fr.wikiversity.org/wiki/Ense...C3%A9finitions
C'est après qu'on va définir d'autres choses, des propriétés, des structures, des ordres, etc....

Et le lien que tu donnes, arg, franchement ça n'aide pas.

Une fois qu'on a définit des propriétés ou d'autres choses, alors on peut s'en servir pour créer de nouveaux ensembles. Mais ceux-ci ont déjà été définis, et sans les propriétés qui n'existent pas à la base.

[Médiat]

Quelques précisions sur ma réponse (message#2) :

1. C'est la seule, à ma connaissance qui soit mathématiquement valide
2. Un platonicien (pur jus) aurait bien des difficultés à en trouver une autre et je comprends que pour lui cela puisse est être frustrant (alors que cela ne me dérange pas du tout)
3. J'ai du mal à comprendre ce qu'il peut y avoir de gênant dans cette définition, alors que si je demande la définition d'un élément d'un groupe, je doute obtenir autre chose qui soit mathématiquement correct, et je doute que cela gêne qui que ce soit (même le plus extrême des platoniciens)

[Deedee81]

alors que si je demande la définition d'un élément d'un groupe, je doute obtenir autre chose qui soit mathématiquement correct, et je doute que cela gêne qui que ce soit (même le plus extrême des platoniciens)

Peut-être parce qu'on parle de groupes abstraits et concrets, ce qui satisfait le platonicien. Alors que je ne me rappelle pas avoir vu de notion d'ensemble abstrait v.s. concret.
EDIT ah si je viens de le voir mais .... en philosophie et en sémantique, pas en math.

[Médiat]

Peut-être parce qu'on parle de groupes abstraits et concrets, ce qui satisfait le platonicien.

Sauf qu'il ne peut pas répondre à la question (de façon différente) même en différenciant groupe abstrait de groupe concret (j'espère que les théorèmes sont les mêmes et se démontre de la même façon ), cette distinction n'ayant pas de fond mathématique (épistémologique peut-être, et encore, je ne suis pas sûr ?)

[Deedee81]

Sauf qu'il ne peut pas répondre à la question (de façon différente) même en différenciant groupe abstrait de groupe concret (j'espère que les théorèmes sont les mêmes et se démontre de la même façon ), cette distinction n'ayant pas de fond mathématique (épistémologique peut-être, et encore, je ne suis pas sûr ?)

La seule différence qui peut y avoir c'est que l'ensemble d'éléments du groupe concret peut avoir d'autres structures (mais on s'en fout pour la définition du groupe himself). Je pensais aussi à l'usage en physique mais là on sort des maths (par exemple les groupes des rotations) et çe serait vrai aussi pour les ensembles.

Alors en fin de compte je sais pas trop. C'était juste une idée comme ça

[Médiat]

(par exemple les groupes des rotations)

Une rotation plane de 120° est bien un élément d'un groupe et même de plusieurs (les rotations planes, mais aussi, les rotations de 0°, 120+ et 240° (et je peux trouver une infinité d'exemples)), mais si je la considère toute seule, que peut bien vouloir dire que c'est un élément d'un groupe ? D'autant plus que peut toujours et très facilement transformer n'importe quel singleton en groupe, bref tu auras compris que je ne pense pas que l'on puisse avancer dans cette direction, mais une fois de plus, je ne vois pas ce qu'il y a de gênant dans ma définition

[invite7b7f1ad0]

C'est vraiment pas simple à approcher et à franchir cette étape. La wikiversité indique d'ailleurs "C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition."
Je comprends un peu ce qui est dit à propos de concret et d'abstrait en lisant cela.

Voyons si j'approche:
"Un ensemble est un objet d'un modèle d'une théorie des ensembles" ; chaque sous ensemble d'un ensemble est un modèle d'une théorie plus restreinte?
Si c'est à côté faut pas se fâcher hein..

[gg0]

Liet Kynes,

chaque fois que tu vas essayer d'aller plus loin que la définition de Médiat, tu vas te faire reprendre, soit parce que tu utilises des mots non mathématiques (message #10), soit parce que tu utilises des mots de mathématiques que tu ne comprends pas (comme "modèle" dans le message #20). Laisse tomber l'idée de "définir" la notion d'ensemble, pour te contenter de l'idée intuitive "mettre ensemble diverses choses", sans aucune condition sur ces choses, et pouvoir enfin attaquer ce qu'on fait avec des ensembles, les notions mathématiques de base : appartenance (non définie formellement), inclusion, sous-ensemble (partie), intersection, réunions, etc.
C'est ce qu'on fait souvent en géométrie. On se moque de savoir ce qu'est un point, ou une droite, ce qui compte c'est leurs relations, comme "par deux points distincts passe une droite et une seule". Et on se sert de l'image d'un point tracé au crayon (une tache sur le papier) et d'une droite (un trait tracé à la règle, mais il n'est jamais illimité) pour aider l'intuition.

Cordialement.

[invite7b7f1ad0]

Ok pour l'idée intuitive: la notion d’appartenance non définie formellement reste vraiment pas évidente pour moi même intuitivement.

[gg0]

Bof ... il y a une simple relation entre des objets a et b : a appartient à b, que l'on dit aussi a est un élément de b;
Par exemple si a=3 et b={1,2,3,4} alors a appartient à b. De façon évidente, il n'y a aucune raison de penser ici que b pourrait appartenir à a.

Dans la théorie des ensembles la plus classique, celle basée sur les axiomes de Zermelo et Fraenkel (généralement complétée par l'axiome du choix, d’où l'acronyme ZFC), si a appartient à b, alors b n'appartient jamais à a. mais il existe d'autres théories où c'est possible et où il arrive qu'on ait, pour certains objets a, le fait que a appartient à a.

Voilà, l'idée d'appartenance est assez intuitive (même si la théorie formalisée ne l'est pas) et reproduit bien l'idée intuitive d'ensemble (*). Je ne comprends pas ce que tu imagines de plus pour que cela "reste vraiment pas évident". Il n'y a aucun mystère, rien de caché, comme toujours en maths.

(*) un ensemble rassemble des choses, ses éléments. Les éléments appartiennent à l'ensemble qui les réunit. Un élément appartient à une infinité d'ensembles, par exemple a est élément de {a}, mais aussi de {a,b}, {a,c}, {a,b,c}, {a,{b,c}}, .... mais pas de n'importe quel ensemble. S a est différent de b et de c, a n'appartient pas à {b,c}.

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, je crois que j'ai compris comment j'ai vu les choses pour que cela devienne pas évident, en considérant un ensemble je pensais que les éléments d'un ensemble devaient avoir au moins une propriété commune et je restreignais cette vision à un champs de propriétés limité (pré-établi, ou défini à l'avance) en réfléchissant, je n'avais pas envisagé la relation d'ordre qui permet de dire que quelque soit les éléments d'un ensemble A il existe toujours un x tel que tout les élément de A lui soient inférieurs ou supérieurs : donc ceux ci ont bien forcement une propriété commune .

Je crois que du coup je vais pouvoir passer à l'étape Cardinalité:

Définition de Wikipédia:

Un ensemble E est dit fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel n non nul et une suite finie ( x 1 , … , x n ) d'éléments de E dans laquelle chaque élément de E apparait exactement une fois. Autrement dit, un ensemble non vide est fini s'il est en bijection avec un intervalle d'entiers { 1 , … , n } .

La propriété fondamentale pour bien définir le cardinal d'un ensemble fini est l'unicité de l'entier n correspondant. En effet, si un ensemble est en bijection avec deux intervalles d'entiers { 1 , … , n } et { 1 , … , p } , alors n = p



Merci gg0 pour la patience déployée.

[Superbenji]

Bonjour,

La propriété fondamentale pour bien définir le cardinal d'un ensemble fini est l'unicité de l'entier n correspondant.

C'est l'inverse, ce sont les entiers que l'on peut définir comme les cardinaux finis. La définition des cardinaux ne fait pas appel aux entiers, sinon ça ne marcherais plus dès qu'on passe aux cardinaux infinis.
Un cardinal est simplement la désignation de la collection de tout les ensembles tel que deux ensembles quelconque de cette collection soit en bijection.
Ou sous l'axiome du choix, le plus petit ordinal possible qui peut être un bon ordre sur tout les éléments de l'ensemble considéré.

[gg0]

Bonjour Superbenji.

En fait, LK ne faisait pas d'erreur de raisonnement, il utilisait simplement la définition de "ensemble fini" qu'il a trouvée. C'est le grand défaut d'essayer d'apprendre les maths par petits bouts trouvés sur Internet. Je lui conseillerais bien de prendre un vrai bouquin de théorie des ensembles (celui de Patrick Dehornoy, par exemple), mais Choom va encore essayer de m'eng..
En effet, faire de la théorie des ensembles avec des définitions incohérentes renvoie sans arrêt plus loin, et ça fait un bon moment que LK y perd son latin.

En fait, il existe différentes définition de "fini". J'aime bien celle-ci : Un ensemble est fini s'il n'est pas infini. Qui renvoie à "un ensemble est infini s'il est en bijection avec une de ses parties stricte". Pour LK : L'ensemble des entiers est infin ncar il existe une bijection (n-->2n) entre les entiers et les entiers pairs.

Cordialement.

[invite7b7f1ad0]

Et oui, à force d'avoir lu plein de choses et être parti dans des réflexions tout azimut, il est l'heure pour moi de faire le ménage et de me concentrer..
Je cherchais des bouquins justement cette après midi et je me suis arrêté sur les deux suivants:

- Théorie des ensembles par Jean-Louis Krivine https://www.amazon.fr/Th%C3%A9orie-e...2046882&sr=1-1

- Théorie des ensembles: Introduction à une théorie de l'infini et des grands cardinaux de Patrick Dehornoy qui doît être celui cité par gg0 : https://www.amazon.fr/Th%C3%A9orie-e...ASJ9X4PZPTFZYE

J'ai cru comprendre qu'il valait mieux laisser de côté la littérature du groupe Boubarki et que de la "littérature" en français il y en a peu.

Pour l'instant je me contente de voir l'infini ainsi: N qui s'incrémente à chacun de ses deux bouts et R qui s'incrémente de partout

[Superbenji]

Bonsoir,

En fait, il existe différentes définition de "fini". J'aime bien celle-ci : Un ensemble est fini s'il n'est pas infini. Qui renvoie à "un ensemble est infini s'il est en bijection avec une de ses parties stricte".

C'est en effet en pensant à cette définition (qui a ma préférence aussi) que j'avais écrit mon intervention. Mais ça va peut être plus embrouiller qu'autre chose et je ne suis pas sûr d'avoir été très clair. Ce n'est pas facile de se mettre à la place d'autrui pour trouver les bonnes explications qui pourraient aider.

C'est le grand défaut d'essayer d'apprendre les maths par petits bouts trouvés sur Internet. Je lui conseillerais bien de prendre un vrai bouquin de théorie des ensembles (celui de Patrick Dehornoy, par exemple)

J'avoue que c'est comme ça que je m'y suis pris, personnellement. Par petits bouts. Et je ne le conseille pas non plus. Non seulement c'est plus long pour arriver à quelque chose, et on risque trop de tomber dans une compréhension erronée. Je ne sais si c'est le fait de trop s'attacher à l'intuition, de toujours vouloir "visualiser" les choses pour comprendre. Ou si c'est parce qu'à l'école les maths me rebutaient, et que c'est internet qui m'as fait découvrir combien elles sont en réalité un univers riche et passionnant. Les deux sont sans doutes liés.

[Médiat]

En fait, il existe différentes définition de "fini". J'aime bien celle-ci : Un ensemble est fini s'il n'est pas infini. Qui renvoie à "un ensemble est infini s'il est en bijection avec une de ses parties stricte".

Je n'aime pas cette définition qui est dépendante de AC : https://forums.futura-sciences.com/e...ml#post2323641

[gg0]

Donc tu préfères celle de Tarski ? Je ne la connaissais pas.

Mais je pense que LK va voir plutôt la construction des ordinaux (je ne pense pas qu'il s'attaque vraiment à une construction basée sur ZF, bien abstraite pour un néophyte), et donc des ordinaux finis.

Cordialement.