L'assemblage de l'ensemble vide selon Bourbaki

[nerub]

Bonjour,
et tout d'abord désolé si je ne poste pas dans la bonne section, c'est mon premier message sur ce forum et je ne sais pas très bien quel est le sous-forum idoine.
J'aurais aimé savoir la réponse à la question posée ici à la toute fin :
http://www.neverendingbooks.org/the-...ng-to-bourbaki

Pourquoi en effet ne pas construire l'ensemble vide comme l'assemblage correspondant à plutôt que celui retenu par Bourbaki correspondant à ?
Je suppose qu'il ne s'agit pas que d'une fantaisie de l'auteur.
Je précise aussi que je connaissais déjà vaguement l'opérateur de Hilbert et que je voulais seulement connaître la construction de l'ensemble vide chez Bourbaki, je n'ai pas lu les Eléments.
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[Médiat]

Bonjour,
Ayant lu cette partie de Bourbaki, il y a fort longtemps, je ne peux que faire trois remarques :
1) Sans les définitions originelles de Bourbaki, difficile de vous répondre
2) La méthode Bourbaki n'est pas la meilleure (euphémisme) quand on en vient à parler de logique ou de théorie des ensembles
3) Est-ce qu'il n'y aurait pas des relents d'intuitionnisme là-dedans ?

Demandez à un modérateur de déplacer le fil en "Logique"

[nerub]

Merci de votre réponse.
Je veux bien vous croire pour la méthode Bourbaki qui ne serait pas la meilleure pour la logique ou la théorie des ensembles, je n'avais qu'été jeter un oeil au premier tome et je voulais voir ce que donnait la construction de l'ensemble vide ce qui m'a amené à tomber sur le site dont j'ai fourni le lien.
Quant au définitions, l'opérateur tau est l'epislon de Hilbert telle qu'utilisée par Bourbaki : ils placent tau devant la relation, remplace la variable (enfin la lettre) par des carrés vides et les relient à tau, les autres signes sont usuels et leur succession est ce que Bourbaki appelle un assemblage.
Pour l'intuitionnisme, je serais bien en peine de vous répondre : c'est bien pourquoi je suis venu ici voir si quelqu'un aurait une explication.
Quant à déplacer le fil en "Logique"... c'est là d'où il vient : il a été déplacé dans cette catégorie.

[Médiat]

Après relecture, je crois que la réponse est très simple, mais reste à vérifier :

On part d'une définition de l'ensemble vide "en français" puis on la traduit, et ici la définition choisie est que "y est vide ssi pour tout x, x n'appartient pas à y" à la place d'une définition qui est une négation (ce serait donc juste une question de choix)

Pour l'intuitionnisme, je me suis planté, la forme polonaise m'a trompé

Cela me semble bien être de la logique (), j'ai prévenu la modération.

[A voir en vidéo sur Futura]

[nerub]

Je pensais qu'il y avait peut-être une raison subtile m'échappant, d'autant que cela avait interloqué quelqu'un d'autre.
Merci bien.

[syborgg]

ici la définition choisie est que "y est vide ssi pour tout x, x n'appartient pas à y" à la place d'une définition qui est une négation (ce serait donc juste une question de choix)

Y a t il une autre definition de l'ensemble vide ?....

PS: plus tordu que Bourbaki pour presenter la theorie des ensembles, tu meurs.

[Médiat]

Salut

Y a t il une autre definition de l'ensemble vide ?....

Soit celle que j'ai donné, soit "il n'existe pas de x appartenant à y", bien sûr, c'est pareil, mais cela donne deux assemblages différents.

PS: plus tordu que Bourbaki pour presenter la theorie des ensembles, tu meurs.

+1, d'où le 2) de ma première réponse

[syborgg]

Et c'est quoi cette histoire "d'assemblages" ?... cela a t il un quelconque interet ?...

[Tryss2]

Soit celle que j'ai donné, soit "il n'existe pas de x appartenant à y", bien sûr, c'est pareil, mais cela donne deux assemblages différents.

Est-ce que c'est réellement pareil dans une logique sans tiers exclu?

[Médiat]

Et c'est quoi cette histoire "d'assemblages" ?... cela a t il un quelconque interet ?...

Pour Bourbaki un assemblage est juste une succession des symboles valides, ce que les américains appelle une formule par opposition à formule bien formée (je préfère ce vocabulaire, même si la notion de formule mal formée n'a aucun intérêt)

[Médiat]

Est-ce que c'est réellement pareil dans une logique sans tiers exclu?

Dans l'absolu, non, mais dans ce contexte, le tiers exclu est bien présent.
D'ailleurs l'équivalence des deux propositions (bien écrites dans le cadre intuitionniste) est équivalente au tiers exclu

[syborgg]

Bon encore une fois, conclusion pour ceux qui désirent apprendre la théorie axiomatique des ensembles : ne surtout pas se référer à Bourbaki pour cela !
Mon conseil chaleureux : "Set Theory: An Introduction to Independence Proofs " de Kunen.
Peut etre Médiat as tu d'autres références a conseiller... (je sais l'admiration que tu portes a Krivine, sans doute avec raison, mais peut etre que son livre de théorie axiomatique des ensembles qui date des années 60 est il un peu démodé... je ne sais pas).

[Médiat]

Je confirme la remarque de syborgg sur Bourbaki (pour la théorie des ensembles et j'ajoute la logique).

Peut etre Médiat as tu d'autres références a conseiller... (je sais l'admiration que tu portes a Krivine, sans doute avec raison, mais peut etre que son livre de théorie axiomatique des ensembles qui date des années 60 est il un peu
démodé... je ne sais pas).

Le Kunen est très bien, c'est indéniable, effectivement je préfère le Krivine qui date de 69 et 72(celle que j'ai encore depuis 1972 ), aux PUF, mais réédité très enrichi en 1998 et 2007 (édition Cassini)

[Tryss2]

Pour Bourbaki un assemblage est juste une succession des symboles valides, ce que les américains appelle une formule par opposition à formule bien formée (je préfère ce vocabulaire, même si la notion de formule mal formée n'a aucun intérêt)

Et, juste pour que ceux qui nous lisent comprennent bien la différence :

Transposé dans le langage naturel, une formule, c'est une suite de mots, une formule bien formée, c'est une phrase grammaticalement correcte.

Formule (mal formée) : "chien mangeait un la du voiture lit rapidement"
Formule bien formée : "La voiture du chien mangeait rapidement un lit"

Se poser la question de si la première de ces deux formules est vraie/correcte/valide, ça n'a pas grand sens, puisque la formule ne veut rien dire. Par contre la seconde formule veut bien dire quelque chose, et c'est donc un énoncé qui a du sens et dont on peut discuter de la véracité

[Merlin95]

Tout dépend ce qu'on appelle donner du sens par exemple si on considère que "une vache mange un aspirateur" ça n'a pas de sens.

Peut-être, qu'une phrase malformée peut avoir du sens si par exemple il approxime la suite des valeurs par un polynôme de degrés n (le nombre de mots de la phrase, en indexant par exemple tous les mots de la suite, mais il est mal barré si la phrase a une longueur infinie...

[Liet Kynes]

Tout dépend ce qu'on appelle donner du sens par exemple si on considère que "une vache mange un aspirateur" ça n'a pas de sens.

Bien sur que si puisque l'on peut démontrer que c'est faux,vrai,indecidable.

Peut-être, qu'une phrase malformée peut avoir du sens si par exemple il approxime la suite des valeurs par un polynôme de degrés n (le nombre de mots de la phrase, en indexant par exemple tous les mots de la suite, mais il est mal barré si la phrase a une longueur infinie...

Si tu reformules la phrase malformée avec des si tu ne travailles plus sur la phrase initiale.

[Deedee81]

Salut,

Tout dépend ce qu'on appelle donner du sens

En math il n'y a pas trente-six possibilités (dans un autre forum, je dis pas, mais ici on est en math donc peu importe que ce soit une vache, une pomme-de-terre ou un schtroumpf,.... ou point, chaise, table pour Hilbert, du moment que la formule est bien formée elle a du sens).

[Médiat]

Bonjour

Transposé dans le langage naturel, une formule, c'est une suite de mots, une formule bien formée, c'est une phrase grammaticalement correcte.

Merci Tryss2 de cette précision, et j'insiste (pour répondre à l'enchanteur du Val d'Oise) que le mot important est grammaticalement. D'ailleurs l'expression "bien formée" dit tout (on voit souvent wff (Well Formed Formula) en anglais).

[syborgg]

Attention aux confusions entre langage parlé et formules mathematiques. Le seul point commun est que ce sont des assemblages de symboles. Mais les formules mathematiques "parlent" de choses bien precises, dans le contexte strict et etroit de la notion de structure (au sens mathematique). J'invite ceux qui n'y voient pas encore tres clair de s'interroger sur la relation entre la notion de "formule mathematique syntaxiquement correcte" et la notion d'interpretation (semantique) des formules dans des structures. C'est absolument essentiel de comprendre cela, car les regles de formation syntaxique des formules mathematiques ne sont pas arbitraires, mais dictees par l'interpretation que l'on est sense faire des formules dans des structures. Rien de mysterieux comme tres souvent en maths, mais essentiel a comprendre.

[Médiat]

Pour donner un petit exemple : dans l'arithmétique de Peano, quie est une théorie du premier ordre, dont le langage est , la formule est bien formée, alors que est mal formée.


Je pourrais défendre l'idée que est mal formée

[syborgg]

Je pourrais défendre l'idée que est mal formée

Bon exemple bien que facetieux... tout le monde voit il pourquoi elle est mal formee ?

[Médiat]

Je précise pour que les lecteurs ne partent pas sur une fausse piste que j'aurais pu (dû) écrire " dont le langage est ", ou préciser que AP est une théorie égalitaire

[gg0]

Elle n'est mal formée que si on n'accepte pas les abréviations. Sous la forme

elle est bien formée.

Cordialement.

[Médiat]

Elle n'est mal formée que si on n'accepte pas les abréviations.

C'est pourquoi j'ai écrit "Je pourrais défendre l'idée que" ; pour être rigoureux : 1 + 1 = 2 est mal formée car elle utilise des symboles qui ne sont pas dans le langage.

[Deedee81]

Salut,

Sous la forme

elle est bien formée.

s(0)+s(0) = s(0)
Est bien formé aussi d'ailleurs (pour éviter des confusions avec démontrable ou pas)

EDIT zut, j'ai encore des soucis latex, l'enlève les balises

[Médiat]

Et parce qu'elle est bien formée, on peut se demander si elle est (démontrable, réfutable ou indécidable)

[Liet Kynes]

Je précise pour que les lecteurs ne partent pas sur une fausse piste que j'aurais pu (dû) écrire " dont le langage est ", ou préciser que AP est une théorie égalitaire

Perso j'ai même compris la présence du smiley qui incite à voir ce qu'il manque pour défendre une idée avec des mots qui n'existent pas dans un langage

[Merlin95]

Mais la grammaire a du sens, par exemple on dit un nom doit/peut être suivi d'un verbe conjugué etc. Tout ceci c'est du sens.

[Médiat]

Si on veut prolonger le parallèle (analogie serait encore trop fort) entre règle de grammaire et règle de formation des formules, alors, oui, les règles ont un sens au sens où elles ne sont pas le fruit du hasard et donc qu'elles éclairent sur la volonté (ou les automatismes) sous-jacentes de ceux (celles) qui ont édicté ces règles (de la logique formelle ou de telle ou telle langue), mais, non, elles ne permettent pas de donner du sens à une formule même bien formée, à une phrase grammaticalement correcte :

sur le langage (R) où R est une relation ternaire, alors la formule R(x, y, y) est bien formée, mais vous ne savez pas ce que je veux dire (le sens) de cette formule,

Luwak makan pisang est grammaticalement correcte (nom, verbe, complément), mais peu de lecteurs ont compris son sens

[Merlin95]

Luwak makan pisang est grammaticalement correcte (nom, verbe, complément), mais peu de lecteurs ont compris son sens

Oui mais tout autant seront ceux qui peuvent affirmer que c'est bien formé. Pour quil sache que c'est grammaticalement correct, ils doivent en connaitre le sens.