Multiplication implicite de la métamathématique
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Multiplication implicite de la métamathématique



  1. #1
    AdrienMaths

    Multiplication implicite de la métamathématique


    ------

    Bonjour,

    Un membre de ce forum (Mediat) m'a partagé (des références vers) un document contenant plusieurs définitions des nombres réels. Deux d'entre elles (le développement décimal et la première axiomatique de Tarski) m'ont particulièrement intéressées parce qu'elles ne mentionnent pas de multiplication, tandis que d'autres (corps ...) paraissent accorder à la multiplication un statut ontologique primaire.

    Dans ce document, je considère la possibilité d'une "multiplication implicite" offerte par la logique du premier ordre, et j'illustre comment elle intervient dans les deux définitions.

    Considérant le fait que la logique du premier ordre (et par extension la logique de second ordre) intègre implicitement une multiplication plus primitive que celle des réels qu'elle cherche à décrire, je m'interroge sur l'adéquation de métamathématiques s'appuyant sur elle pour décrire les réels.

    Ce document illustre les possibles avantages du modèle de "nombres comme des points dans un tissu d'espace-temps et téléologie" que j'ai présenté par ailleurs.

    Au plaisir de vos réactions et autres références utiles à mes réflexions,

    Cordialement,

    Adrien

    -----

  2. #2
    Verdurin

    Re : Multiplication implicite de la métamathématique

    Salut,
    je me demande comment tu fais la différence entre nombres réels et nombres rationnels.

  3. #3
    AdrienMaths

    Re : Multiplication implicite de la métamathématique

    Salut,

    Dans le modèle que j'ai proposé, les nombres réels ne se réduisent pas aux nombres rationnels d'après diverses explications équivalentes. Ils sont : - des points sur une droite continue ; - ils sont des longueurs continues ; - ils sont des durées continues (par rapport à l'unité). Ces explications correspondent à la triple nature (point, espace, temps) correspondant à (ordre, addition, multiplication).

    La complétude que j'ai retenue dans la logique du second ordre jusqu'ici est celle que les suites de Cauchy convergent. Avec elle, les réels deviennent tout ce qui est "approximable" par la grille de rationnels sur la droite (comme tous les points qu'on peut concevoir sur une figure rectiligne). La propriété d'archimède rend elle, avec la possibilité des développements décimaux par exemple, tout nombre réel approximable par une grille de rationnels. Il y a donc un mouvement qui me paraît naturel (la propriété d'archimède distribue la possibilité de fermer la définition des nombres réels avec les grilles de rationnels, et la complétude le fait).

    Cette complétude a une interprétation géométrique qui me semble adéquate pour expliquer que la diagonale d'un carré soit un nombre réel par exemple. La propriété de la borne supérieure me paraît vu de loin plus abstraite et je ne m'y précipite pas. Dans mes idées, je flirte avec la notion que la représentation spatiale est un langage mathématique a priori (qui peut fournir ces notions de continuité par exemple) et donc je privilégie ce qui se décrit "sur la droite".

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