famille libre / liée, de vecteurs et consistance / inconsistance d'une théorie.

**Anonyme007** · 15/04/2023, 04h52

Bonsoir,

1 - Existe - t - il une théorie de toutes les théories au meme titre de dire, ''ensemble de tous les ensembles'' ou ''catégorie de toutes les catégories'' ?

2 - Soit $T_1$ , la théorie de l’algèbre linéaire. Soit $T_2$ , ( J’ignore si c'est légitime ) la logique du premier ordre.
Dans $T_1$ , je considère la définition d'une famille ''libre / liée'' de vecteurs d'un espace vectoriel $E$ ( pour simplifier, vous pouvez le considérer de dimension finie ). Quelle est l'analogue ( l’image biunivoque ) de cette définition dans $T_2$ ? Est ce que ce n'est pas : consistance / inconsistance ?

J'ai utilisé parfois un vocabulaire inapproprié dans ce qui précède. Merci pour votre indulgence.

Merci.

**Médiat** · 15/04/2023, 08h08

Bonjour,

Je ne vois pas bien l'intérêt de mélanger les poires et les pommes.

De plus, la logique du premier ordre n'est pas une théorie au sens où la théorie des groupes en est une.

Pa contre, il y a bien une analogie entre "les axiomes d'une théorie" et la notion de famille génératrice, et on peut pousser l'analogie un peu plus loin pour trouver l'analogue d'une base et prouver le théorème "deux bases ont le même cardinal" (facile à démontrer).

**Anonyme007** · 15/04/2023, 15h05

Bonjour,

Envoyé par Médiat

Je ne vois pas bien l'intérêt de mélanger les poires et les pommes.

Ma question a un plutôt un aspect ''behavioriste'' qui ne s’intéresse pas à l'idée : ça existe ou ça n'existe pas ?
Si tu veux, on peut rester dans l'aspect ''constructiviste'' pour soulager ton mental, mais pour le moment, je n'ai pas d'exemple d'une théorie de théories en interaction entre elles par la biais d'une loi qui organise cette interaction. Je vais chercher et te tenir au courant. En attendant, est ce que tu peux répondre à ma question sans se soucier si il y bien un intérêt de mélanger les poires et les pommes ?

Envoyé par Médiat

Par contre, il y a bien une analogie entre "les axiomes d'une théorie" et la notion de famille génératrice, et on peut pousser l'analogie un peu plus loin pour trouver l'analogue d'une base et prouver le théorème "deux bases ont le même cardinal" (facile à démontrer).

Donc, la réponse est ... oui ?

**Médiat** · 15/04/2023, 15h36

Je vais juste tenter de préserver mon mental, et la réponse est non (j'ai mis trois fois en gras l'idée d'analogie).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 15/04/2023, 15h50

Envoyé par Médiat

et la réponse est non (j'ai mis trois fois en gras l'idée d'analogie).

J'ai du mal à comprendre. Sincèrement.

**Anonyme007** · 17/04/2023, 01h47

Envoyé par Médiat

Pa contre, il y a bien une analogie entre "les axiomes d'une théorie" et la notion de famille génératrice, et on peut pousser l'analogie un peu plus loin pour trouver l'analogue d'une base et prouver le théorème "deux bases ont le même cardinal" (facile à démontrer).

- Oui, s'il y a bien une analogie entre "les axiomes d'une théorie" et la notion de famille génératrice, c'est que la théorie est complète si la famille est génératrice.
- Vous dites ensuite que si on pousse l'analogie un peu plus loin, on trouve l'analogue d'une base ... , ce qui signifie que la théorie est complète ( famille génératrice ) et consistante ( famille libre ) si la famille est une base. Est ce que c'est non ?

**Médiat** · 17/04/2023, 07h25

Aucun lien entre "génératrice" et complète (cf. la théorie des groupes par exemple)

**Anonyme007** · 17/04/2023, 15h50

Si $T_2$ n'est pas complète, c'est qu'il existe un énoncé $\varphi$ qui est indécidable, ce qui se traduit en algèbre linéaire par dire qu'il existe un vecteur $\vec{V}$ qui n'est pas engendré par la famille génératrice de l’espace vectoriel $E$ ( i.e : $f \ : \ \mathbb{R}^n \to E$ n'est pas surjective ). D'où, la famille censée être génératrice n'est pas génératrice.
Inversement, meme raisonnement à l'envers.
D'où, Famille génératrice $\ \ \Longleftrightarrow \ \$ Théorie complète.
Est ce que ce n'est pas ça ?

**Médiat** · 17/04/2023, 15h58

Non, c'est comme si vous disiez IR² n'est pas un ev parce qu'il existe des vecteurs qui ne sont pas dans IR².

**Anonyme007** · 17/04/2023, 16h10

Oui, mais c'est une question de rigueur qui a peu d’importance ici. Mais, au final , c'est ça l'idée je pense.
Famille génératrice $\ \ \longleftrightarrow \ \$ Théorie complète.

**Médiat** · 17/04/2023, 17h36

Pour la troisième fois : c'est faux !

**MissJenny** · 17/04/2023, 17h42

Envoyé par Anonyme007

Oui, mais c'est une question de rigueur qui a peu d’importance ici.

aborder la logique mathématique sans attacher d'importance à la rigueur ne peut conduire qu'à des déconvenues.

**Anonyme007** · 18/04/2023, 01h01

Envoyé par Médiat

Aucun lien entre "génératrice" et complète (cf. la théorie des groupes par exemple)

Envoyé par Médiat

Non, c'est comme si vous disiez IR² n'est pas un ev parce qu'il existe des vecteurs qui ne sont pas dans IR².

Je soupçonne que tu sois de bonnes intentions et que ton but n'est pas de me casser en deux, sinon tu aurais été plus clair et que tu m'aurais tout clarifier.

**albanxiii** · 18/04/2023, 19h43

Ce fil commence à prendre une tournure désagréable. Si vous ne comprenez pas les réponses, commencez par vous remettre en question et évitez l'agressivité, merci.
Je n'ai jamais vu Médiat refuser de donner des explications aux personnes de bonne volonté.

**Deedee81** · 21/04/2023, 12h38

Salut,

Je ne vais pas revenir sur toutes les erreurs, Médiat les a bien pointé. Juste sur la question initiale.

Envoyé par Anonyme007

1 - Existe - t - il une théorie de toutes les théories

Prend les théories des ensembles :
ZFC
et
ZFNC (avec négation de l'axiome du choix)

Si tu les regroupes (en regroupant leurs axiomes), tu auras une théorie contradictoire.

Donc je ne sais pas si une théorie de toutes les théories a un sens, mais en tout cas il est clair que si elle a un sens alors elle ne peut être que contradictoire.
Donc franchement..... je n'en vois pas trop l'intérêt.

Juste un "détail" :

Envoyé par Anonyme007

sinon tu aurais été plus clair et que tu m'aurais tout clarifier.

Franchement, personne n'est à ton service. Tu te crois où là ? Vu le nombre d'incompréhension, confusions, erreurs relevé par Médiat, le mieux à faire est de potasser quelques articles d'introduction aux théories mathématiques et à la logique formelle. Ce n'est pas à Médiat de te donner un cours complet quand même.

**Anonyme007** · 21/04/2023, 14h34

Bonjour,

Je demande pardon à Médiat d’avoir été agressif envers lui. Je n’ai pas été en bon humeur pendant toute la journée ce jour là. J’étais un peu en dépression.
Je vais me ressaisir et venir vous poser la question toute claire dans les jour à venir. J'ai besoin de réactualiser mes connaissances en logique pour avoir une idée claire de ce que je cherche à comprendre.

Cordialement.

**Anonyme007** · 24/04/2023, 01h28

Envoyé par Deedee81

Donc je ne sais pas si une théorie de toutes les théories a un sens, mais en tout cas il est clair que si elle a un sens alors elle ne peut être que contradictoire.
Donc franchement..... je n'en vois pas trop l'intérêt.

D’accord. Une théorie de toutes les théories ne peut pas exister.
Alors, j’appellerai : rassemblement de toutes les théories $T$ ( en remplacement à la notion de théorie de toutes les théories qui n'existe pas d’après vous ) ce que représente une classe ( propre ) de tous les ensembles ( en remplacement à la notion d’ensemble de tous les ensembles qui n'existe pas aussi )
Je cherche à mesurer la taille de $T$ en réponse à ton interrogation : quel en est l’intérêt de considérer une théorie de toutes les théories ? ( qui s'est avérée être non existante ).
Est ce qu'il existe un type particulier de cardinal qui mesure la taille de $T$ ? Lequel ?

Une autre question qui sort un peu de l'objet de ce fil si je peux me permettre.
Un cardinal fini mesure la taille d'un ensemble fini qui est un ordinal particulier.
Est ce que un ordinal en général ( dénombrable, indénombrable, ... etc ) permet de mesurer la taille ou le cardinal d'un ensemble infini ou une classe propre ?
Pour moi, en logique, les ordinaux permettent de codifier les ensembles, tout comme les fonctions récursives qui permettent de codifier les flèches ou morphismes d’ensembles ( $\lambda$ - calcul ) permettant ainsi de transformer la théorie des ensembles et pratiquement toute la mathématique en un problème traitable en machine de Turing et pouvoir ensuite faire le traitement de preuves et démonstrations dedans. Cela a conduit par exemple Gödel à établir ses fameux théorèmes.
En dehors de cette vocation, j’ai du mal à saisir l’intérêt de créer la notion d'un ordinal.
Bref, est ce que, un ordinal sert à mesurer la taille d'un objet ? ( Un objet bien ordonné dont la taille est infinie ( i.e , il existe pour cela plusieurs types de tailles infinies, hiérarchisées entre elles et distinguables par ce bon ordre associé à l'objet qu'on cherche à mesurer sa taille ) ?

Merci d'avance.

**Deedee81** · 24/04/2023, 08h04

Salut,

Envoyé par Anonyme007

D’accord. Une théorie de toutes les théories ne peut pas exister.
Alors, j’appellerai : rassemblement de toutes les théories $T$ ( en remplacement à la notion de théorie de toutes les théories qui n'existe pas d’après vous ) ce que représente une classe ( propre ) de tous les ensembles ( en remplacement à la notion d’ensemble de tous les ensembles qui n'existe pas aussi )
Je cherche à mesurer la taille de $T$ en réponse à ton interrogation : quel en est l’intérêt de considérer une théorie de toutes les théories ? ( qui s'est avérée être non existante ).
Est ce qu'il existe un type particulier de cardinal qui mesure la taille de $T$ ? Lequel ?

C'est pas très compréhensible

Si je comprend bien tu considère l'ensemble (au sens éventuellement large) de toutes les théories ? Si on appelle théorie l'ensemble de ses axiomes, que ces axiomes sont en nombre fini, et formulé dans un lexique bien défini et dénombrable, alors ce n'est pas une classe. C'est juste un ensemble de cardinal dénombrable. Mais je ne suis pas sûr d'avoir compris.

Ou alors tu demandes s'il existe une notion de cardinal des classes ? Je n'en suis pas sûr, là faudra attendre la réponse de Médiat.

Pour la suite, c'est plus compréhensible mais je n'ai pas la réponse.
Bête question : tu as pensé à éplucher ceci ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal Ca devrait répondre à au moins une partie de tes questions (enfin, je crois

)

**Médiat** · 24/04/2023, 08h30

Envoyé par Deedee81

Ou alors tu demandes s'il existe une notion de cardinal des classes ?

Une classe, dans ZFC, n'est pas un objet mathématique, donc il ne peut pas exister un ensemble qui soit une bijection de ce non-ensemble vers quoi que ce soit.

**Deedee81** · 24/04/2023, 08h49

Envoyé par Médiat

Une classe, dans ZFC, n'est pas un objet mathématique, donc il ne peut pas exister un ensemble qui soit une bijection de ce non-ensemble vers quoi que ce soit.

Ah oui, forcément. Merci,

**Anonyme007** · 24/04/2023, 11h41

Merci pour cet éclairage instructif Médiat et Deedee81.

Envoyé par Médiat

Une classe, dans ZFC, n'est pas un objet mathématique, donc il ne peut pas exister un ensemble qui soit une bijection de ce non-ensemble vers quoi que ce soit.

Oui, une classe propre est un objet externe à la théorie des ensembles de ZFC, et à posteriori à toute la mathématique. On dit qu'une classe propre est un objet métamathématique.
Tout comme les idées qui sont des objets externe à l’espace - temps ( externe à toute la physique ). On dit que ce sont des objets métaphysiques. Elles ont une existence externe et indépendante de toute historicité.

**MissJenny** · 24/04/2023, 12h19

Envoyé par Médiat

Une classe, dans ZFC, n'est pas un objet mathématique, donc il ne peut pas exister un ensemble qui soit une bijection de ce non-ensemble vers quoi que ce soit.

mais rien ne dit que toute construction mathématique doit rester dans le cadre de ZFC (ou bien?)

**Médiat** · 24/04/2023, 12h56

C'est bien pour cela que j'ai précisé "dans ZFC", d'autres théories des ensembles gèrent les classes, NBG ou MK par exemple.

**Anonyme007** · 24/04/2023, 19h24

Envoyé par Médiat

C'est bien pour cela que j'ai précisé "dans ZFC", d'autres théories des ensembles gèrent les classes, NBG ou MK par exemple.

Juste une question qui fait suite à ce que vous dites :

Quelles sont les genres de mathématiques qui se font dans NBG et qui font suite à ZFC ? ( Parce que, à l'en croire la page suivante : https://fr-academic.com/dic.nsf/frwiki/1632803 , NBG est une extension qui englobe meme ZFC. C'est à dire, toute la mathématique qui se fait dans ZFC se fait en NBG, mais il existe un reste des mathématiques qui se fait dans NBG, et qui ne se fait pas nécessairement dans ZFC, basé sur la notion de classe ). Avez vous deux ou trois exemples ?. J’imagine par exemple que l'analyse fonctionnelle se fait uniquement dans ZFC, et n'a pas besoin de NBG ( Ce domaine n'a pas besoin de la notion de classe ).

**Anonyme007** · 26/04/2023, 23h45

S'il vous plaît, si vous connaissez la réponse, n'hésitez pas à me la donner. Merci.

famille libre / liée, de vecteurs et consistance / inconsistance d'une théorie.

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