Démos - Famille libre et liée

[fabio123]

Bonjour,

me replongeant dans mes vieux cours d'Algèbre, je voulais avoir de l'aide sur des démos concernant les bases libres et liées.

1*) Si j'ai une base donnée (v1, v2, ..., vn) et que l'un des vecteurs est colinéaire à un autre ou combinaison linéaire ??), alors la base n'est pas libre.

démo : on suppose v2 = alpha v1, ce qui implique, en écrivant la somme "lambda_i v_{i}=0"



Alors même dans le cas où il faut, pour respecter cette équation, , on vérifie,

en différents de 0 et tels que , que :



Je ne sais pas si j'ai bien formulé le problème et la démo.

2*) Je voudrais démontrer, qu'ayant une base libre, le fait de rajouter un autre vecteur (sous certaines conditions) préservait la nature libre de la base :

En partant de la base suivante qui est libre :



Si je rajoute un vecteur v_1 (qui n'est pas une combinaison linéaire des autres vecteurs ), Alors est-ce que je peux en déduire que



Est-ce que je peux faire un raisonnement par l'absurde, c'est-à-dire supposer que et et à aboutir
à une contradiction qui finalement impose

Désolé si ça peut paraître trivial mais ça fait un bye, le raisonnement n'est surement pas très rigoureux.

Merci pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Première chose : Apprendre ce que signifie "base". "alors la base n'est pas libre" est une phrase qui montre que tu ne sais pas ce que c'est !

Ensuite, pour ta première question, comme il manque une partie de la phrase, la première chose à faire est de la rétablir; si tu ne peux pas, pourquoi poser une question incompréhensible ????

Donc revois sérieusement tes cours !! Pour l'instant je ne peux que traiter imparfaitement ta première question (réinterprétée) et te dire que la deuxième correspond probablement à une idée fausse :
1) Si, dans (v1, v2, ..., vn), l'un des vecteurs est colinéaire à l'autre, alors (v1, v2, ..., vn) est liée. Preuve : Si par exemple V2=kV1, alors (-k)V1+1V2+0V3+...+0Vn=0E, ce qui prouve que la famille n'est pas libre
2) Si (v1, v2, ..., vn) est libre, et V est un autre vecteur, il n'y a aucune raison que (v1, v2, ..., vn,V ) soit libre. D'ailleurs c'est faux quand V est colinéaire à V1, d'après 1.

Cordialement

[fabio123]

je voulais parler de famille et non de base, désolé et merci