un axiome forcé

[amineyasmine]

bonjour
l'axiome : le cardinal d'un ensemble infini ne peut être que N ou R. c'est clair et pas besoin d'expliquer.
un ensemble qui prétend avoir un cardinal plus grand que R n'est pas un objet mathématique.

ceci entrera en contradiction avec quoi ?
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[gg0]

Bonjour.

Cet axiome est contradictoire avec toutes les théories des ensembles actuelles, qui prouvent que le cardinal de P(E) est strictement supérieur à celui de E. Donc ça ne peut pas être, dans les mathématiques actuelles, un "axiome".
Mais comme tu ne précises pas quels sont tes autres axiomes, dans quelle théorie tu te places, et comment sont définis "ensemble", "cardinal", "infini", N, R, on ne peut pas considérer ça comme une propriété "claire". Seulement une idée fumeuse.

Cordialement .

[Deedee81]

Salut,

C'est clair qu'on peut créer une théorie de toute pièce avec notamment cet axiome là, de manière à avoir une théorie non contradictoire mais inutile (*).

(*) En particulier on peut faire une croix sur les opérations habituelles sur les ensembles et leurs éléments, sinon on va retomber sur le soucis que gg0 signale.

Et ma foi, créer une théorie inutile, bon, ben, c'est inutile

Amineyasmine :
- il faudrait que tu précises le langage et la syntaxe (on est quand même dans le forum de logique formelle, pas dans celui de logique brouillonne) et les autres axiomes
- Ou si tu n'as rien de précis en tête : préciser pourquoi tu poses cette question ? (sur Futura on déteste les questions floues lancées en l'air comme ça pour rien)

[Médiat]

Bonjour,
Il y a une grosse confusion : l'axiome que l'on peut ajouter à ZFC est " il n'existe pas de cardinal strictement inclus entre celui de IN et celui de IR", c'est l'hypothèse du continu (nom historique, mais inadapté) dont l'indécidabilité a été démontrée, en partie par Gödel dans les années 30 et en partie par Cohen dans les années 60.
On peut, d'ailleurs ajouter la négation de la formule précédente comme axiome

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Ah oui, Médiat, c'est très juste. On aurait dû y penser.

Il faudrait donc aussi que amineyasmine précise qi'il/elle ne voulait pas juste faire référence à ça !!!!

[MissJenny]

Personne n'a répondu à la question posée : est-ce qu'on peut décider d'exclure les ensembles "plus grands que R" sans créer de contradiction? On peut dire qu'alors que P(R) n'est plus un ensemble, ce qui est sans-doute gênant , mais est-ce que ça entre en contradiction avec d'autres axiomes?

[Deedee81]

Personne n'a répondu à la question posée

Si, si, j'y ait répondu j'ai dit : on peut mais c'est probablement inutile.(c'est même facile à faire)

Là tu vas plus loin, changer ZFC pour exclure certains ensembles. C'est certainement possible mais... sans contradiction, j'ai quelque doute. Peut-être en amendant certains axiomes ???

[MissJenny]

est-ce que je vais plus loin? si on suit amineyasmine, soit on impose que certains ensembles n'en sont plus (ceux qui sont "trop grands") soit on dit que certains ensembles n'ont plus de cardinal.

[Deedee81]

est-ce que je vais plus loin? si on suit amineyasmine, soit on impose que certains ensembles n'en sont plus (ceux qui sont "trop grands") soit on dit que certains ensembles n'ont plus de cardinal.

Amineyasmine ne précise pas vraiment le contexte théorique/axiomatique initial (avant d'imposer cet axiome). C'est sans doute plausible de partir de ZFC. Mais il faudrait quand même qu'il/elle précise. On est un peu dans le flou.

[Médiat]

MissJenny : il faudrait abandonner l'axiome des parties.
Que tous les ensembles aient un cardinal est un théorème de ZFC, pas un axiome

[MissJenny]

mmmh, ça paraît mal engagé...

Il y a une grosse confusion : l'axiome que l'on peut ajouter à ZFC est " il n'existe pas de cardinal strictement inclus entre celui de IN et celui de IR", c'est l'hypothèse du continu (nom historique, mais inadapté) dont l'indécidabilité a été démontrée, en partie par Gödel dans les années 30 et en partie par Cohen dans les années 60.
On peut, d'ailleurs ajouter la négation de la formule précédente comme axiome

autant je devine comment on peut utiliser l'hypothèse du continu dans des démonstrations, autant j'ai du mal à voir ce qu'on peut faire de sa négation.

[Deedee81]

mmmh, ça paraît mal engagé...

amineyasmin semble du genre à se connecter la nuit (chez nous). Patientons

'ai du mal à voir ce qu'on peut faire de sa négation

Ah ça c'est une bonne question. Ca m'intéresse aussi.
Je n'ai trouvé qu'une source mais le site (les mathématiques.net) est actuellement inaccessible. Grumpf

[GBZM]

Bonjour,
Un truc équivalent à la négation de l'hypothèse du continu : https://en.wikipedia.org/wiki/Freili...om_of_symmetry

[Deedee81]

Joli ! (m'a quand même fallu un moment pour comprendre )

Merci GBZM

[amineyasmine]

Amineyasmine ne précise pas vraiment le contexte théorique/axiomatique initial (avant d'imposer cet axiome). C'est sans doute plausible de partir de ZFC. Mais il faudrait quand même qu'il/elle précise. On est un peu dans le flou.

bonjour
désolé, j'ai pas de contexte théorique , c'est juste une idée non fondée, que la cardinal IR est le plus grand cardinal qui est une limité asymptotique de l'univers des maths.

[Médiat]

Quel est, d'après-vous le cardinal des fonctions de IR dans IR ?

[Superbenji]

Bonjour,
Il y a ceci: Pocket set theory (si c'est bien à quelque chose comme ça que amineyasmine pense)
Cordialement.

[amineyasmine]

Quel est, d'après-vous le cardinal des fonctions de IR dans IR ?

bonjour
c'est IR; si l'axiome est activé

[Deedee81]

Salut,

c'est IR; si l'axiome est activé

Ca cela impliquerait que cet axiome est contradictoire avec les axiomes permettant à ces ensembles (dont |R) d'exister.

Je suppose que tu connais la petite démonstration élémentaire (c'est presque la base de la notion de cardinal) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...3%A9n%C3%A9ral
(que je trouve fort simple et infiniment plus élégante que l'argument diagonal).

Cela montre que le cardinal des parties de IR doit être différent du cardinal de IR.
Si tu ajoutes un axiome qu dit que le cardinal des parties de IR est le cardinal de IR.
Tu as automatiquement une contradiction.

Normalement on préfère éviter d'avoir des théories contradictoire (surtout de manière aussi flagrante ).

On peut faire toute sortes de choses sympa en math mais quand même pas n'importe quoi.

Une possibilité serait de modifier ou supprimer des axiomes existant pour empêcher cette démo : empêcher l'existence d'ensemble de parties, d'application, etc.... Mais une théorie sans ça, franchement, elle ne sert plus à grand chose.

Il y a des cas plus raffinés, le lien de Superbenji est excellent, je ne connaissais pas. A lire absolument.

[GBZM]

que je trouve fort simple et infiniment plus élégante que l'argument diagonal

C'est pourtant exactement l'argument diagonal. J'explique :
On peut identifier à l'ensemble des applications de dans en prenant les fonctions caractéristiques des parties.
Se donner une application de dans est alors la même chose que se donner une application : . On peut voir cette fonction comme un tableau de 0 et de 1 où les lignes et les colonnes sont indexées par l'ensemble . On change tous les éléments de la diagonale de ce tableau en posant pour tout . Cette fonction est la fonction caractéristique de . Il est clair que cette diagonale modifiée ne coïncide avec aucune ligne du tableau, autrement dit que n'est pas dans l'image de .

[Deedee81]

C'est pourtant exactement l'argument diagonal. J'explique :

Pardon, je voulais parler de l'argument tel que présenté ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Argume...des_r%C3%A9els

Je ne sais combien de fois j'ai vu cette présentation critiquée par des amateurs qui ne la comprenaient pas. Alors que la formulation formelle, je n'ai jamais vu de critique (ça ne veut pas dire que ça n'existe pas, juste que je ne l'ai jamais vu).

Je préfère donc une démonstration formelle. Mais bien évidemment c'est équivalent.
EDIT ah tiens, j'avais vu une reformulation constructive évitant même le raisonnement par l'absurde (sais plus où j'ai lu ça)
Mais bon, on est hors sujet là.

[GBZM]

L'argument présenté dans la page wikipedia est à mon avis tout aussi formel que celui qur tu préfères. Les personnes qui critiquent cet argument pourraient tout aussi bien ergoter sur l'argument "formel" (du genre "qu'est-ce qu'une partie d'un ensemble infini, par exemple une partie de , est-elle calculable ou pas etc.")
Bon, ce n'est effectivement pas le sujet principal de ce fil.
Si j'ai bien compris, dans la "Pocket Set Theory" les réels ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Les fonctions des réels dans les réels ne forment même pas une classe propre (donc on ne se pose pas le problème du cardinal) mais les fonctions continues oui ; une fonction continue f est un ensemble (l'ensemble des couples de rationnels (p,q) tels que p<f(q)). C'est expliqué ici :https://plato.stanford.edu/entries/s...e/#PockSetTheo. Il y est dit aussi que la plus grande partie des mathématiques classiques peut être développée dans le cadre de la "Pocket Set Theory".

[Deedee81]

L'argument présenté dans la page wikipedia est à mon avis tout aussi formel que celui qur tu préfères. Les personnes qui critiquent cet argument pourraient tout aussi bien ergoter sur l'argument "formel" (du genre "qu'est-ce qu'une partie d'un ensemble infini, par exemple une partie de , est-elle calculable ou pas etc.")

Oui mais ce n'est pas ce qu'il font (sur les quelques forums où j'ai déjà vu ça). Mais il n'est pas exclut que c'est par manque de maîtrise des notations mathématiques. J'en sais trop rien.

Ceci dit, merci d'avoir rectifié mon gros manque de clarté plus haut.

Il y est dit aussi que la plus grande partie des mathématiques classiques peut être développée dans le cadre de la "Pocket Set Theory".

Ce n'est pas une complication de faire ça ?

En tout cas je trouve quand même l'approche bien foutue et correspond bien à ce que amineyasmine semble chercher. J'espère que ce n'est pas trop compliqué pour lui/elle. Enfin, on verra la réponse.

[gg0]

Bonjour deedee81.

Je ne sais combien de fois j'ai vu cette présentation critiquée par des amateurs qui ne la comprenaient pas. Alors que la formulation formelle, je n'ai jamais vu de critique

Il me semble assez évident que des gens qui bloquent sur l'argument diagonal classique ("à la Cantor") ne comprennent pas la démonstration formelle, donc sont incapables de la critiquer. Ils cèdent alors à un argument d'autorité.

Cordialement.

[amineyasmine]

bonjour
la mathématique actuel est cohérente, supposée cohérente.
les sujets et discutions qui touchent à cette cohérence renforce cette cohérence on donnant des réponses claires à des questions aberrantes qui ne devront plus se poser .

[Deedee81]

Salut,

Il me semble assez évident que des gens qui bloquent sur l'argument diagonal classique ("à la Cantor") ne comprennent pas la démonstration formelle, donc sont incapables de la critiquer. Ils cèdent alors à un argument d'autorité.

C'est aussi mon impression.

[gg0]

Bonjour Amineyasmine.

Que signifie ton message #25 ? Que ça apporte quelque chose aux mathématiques de poser des questions dont on sait qu'elles sont "aberrantes" ?
Il serait bien que tu t'expliques correctement, en expliquant en termes mathématiques de quoi tu veux parler. Pour l'instant, tu te contentes d'écrire quelques phrases floues, dignes d'un gamin de 12 ans qui a lu sans les comprendre les bouquins de sa grande sœur étudiante. Les répondeurs ont essayé de leur donner un sens, mais toi, tu ne fais aucun effort pour te faire comprendre.

[Deedee81]

Salut,

Bon, je vais l'avouer mais j'ai mis ce message dans des perles (privées) avec le commentaire "c'est cohérent" Mais en effet, les questions peu claires, mal formulées, sans travail préalable au moins pour essayer de cerner le sujet..... ça n'apporte absolument rien. Si ce n'est des discussions qui partent dans tous les sens mais jamais les bons (et parfois pire).

Et c'est aussi une question de respect des participants. Sinon les gens perdent leur temps rien qu'à essayer de décrypter. J'ai même déjà vu des questions (je ne dirai pas de qui, j'en connais plusieurs) où l'auteur utilise des termes dont il ignore le sens (sans le dire évidemment). Et ça, tout le monde le prend comme un "foutage de g...." et ça se comprend !!!!

On dit qu'il n'y a pas de mauvaise question, seulement de mauvaises réponses. C'est vrai quand la question est claire et précise. Sinon, si, si, il y a de TRES mauvaises questions. Dans ces cas là, on demande des éclaircissement, on essaye de guider vers la "bonne" question. Mais c'est très rare quand ça se passe bien.

[amineyasmine]

Bonjour deedee81.


Il me semble assez évident que des gens qui bloquent sur l'argument diagonal classique ("à la Cantor") ne comprennent pas la démonstration formelle, donc sont incapables de la critiquer. Ils cèdent alors à un argument d'autorité.

Cordialement.

Bonjour
lorsqu'on pose la question sur le plus grand cardinal est R (ensemble des sous ensembles de N) c'est qu'on nie CANTOR.

La diagonale ne peut fonctionner que dans N, au delà, la diagonale et non suffisante

l'ensemble des sous-ensembles de l'ensemble des sous-ensembles de N , pourra peut être l'ensemble des sous-ensembles de N

ceci par axiome

[pm42]

Et ca veut dire quelque chose où c'est un gigantesque nawak écrit par quelqu'un qui ne fait même pas l'effort de faire des phrases structurées, a souvent fait la preuve d'une forte incompréhension des maths et pollue le forum avec ?