Multivers ensembliste

[Deedee81]

Salut,

tout ça c'est du baratin

En effet, ça me rappelle le truc sur les bébés (très jeunes) : la balle n'existe pas s'ils ne la voient pas. Mais c'est plus des maths ça

Bon, on va essayer de rester carré et ne pas mettre de signalement de demande de fermeture. Laissez moi lire l'article (oui, oui, j'ai un peu trainé, dans le magazine je suis juste à l'article qui précède )
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[Deedee81]

Salut,

J'ai commencé à lire l'article. Mais je dois dire que dès le début, j'ai tiqué. Il parle des entiers : en disant "il n'y a un ensemble d'entier".

Plus exactement il dit que les entiers sont définis par AP (les axiomes de Peano) mais qu'il existe des indécidables (bien entendu).
Médiat avait cité par exemple le théorème de Goodstein-Kirby-Paris dans une autre discussion.
Mais Delahaye insiste sur le fait que personne ne doute de l'ensemble des entiers et que toute proposition est soit vraie, soit fausse même si on ne peut pas la démontrer.

Mais ça me pose problème. Si on a une telle proposition, disons le théorème ci-dessus ou plus généralement notons là PI.
Alors la théorie PA+PI est tout aussi valable que la théorie PA+nonPI

Alors comment peut-on affirmer que PI serait forcément soit vrai soit faux ????
Il y a quelque chose qui m'échappe ou Delahaye n'est pas en forme ?

[Médiat]

Salut DeeDee,
C'est le problème des platoniciens, le cas le plus exemplaire est Woodin qui cherche à savoir si HC est vraie ou fausse, alors que l'on sait depuis 1961 que HC est indécidable dans ZFC ; comme disait Krivine :

Chercher à savoir si CH est vraie ou fausse relève de la discussion sur le sexe des anges

[Deedee81]

D'acooooord. Donc, c'est bien le sexe des anges.

Merci Médiat. Bon je vais quand même parcourir l'article mais ça jette un froid.

[Deedee81]

Salut,

La suite : ce qu'il appelle (lui ou d'autres) ce multivers est par exemple l'ensemble des modèles associés à des axiomes, il prend en exemple les groupes.
ou l'ensemble des axiomes après les avoir (partiellement) complétés : ZFC + HC, ZFC + nonHc

Et il fait clairement référence au caractère "réaliste" = platonicien

Jusqu'ici (me reste un bout à lire) je trouve ça "gratter pour se faire rire". Mais c'est peut-être parce que je suis formaliste.
C'est bien la première fois que je trouve un article de Delahaye plutôt décevant.
Enfin, bon, y en aura d'autres

[Médiat]

Parmi les choses qui me dérangent chez les platoniciens, et donc dans cet article, c'est que, même si on se restreint à la logique classique du premier ordre, on peut avoir :

Des théories complètes ou non (dont certaines sont essentiellement incomplètes), des théories -catégoriques, des théories -catégoriques (donc en toutes cardinalités non dénombrables), des théories catégoriques en toutes cardinalités, mais même dans ce dernier cas il y a un modèle en chaque cardinal, alors, lequel privilégier, lequel existe ?

Certes, dans le cas des théories complètes, il n'y a pas d'indécidable, et parler de vrai ou de faux est légitime (néanmoins on ne sait toujours pas de quel modèle l'objet magique est-il une représentation), mais pour les théories non complètes, cela n'a plus aucun sens, c'est d'ailleurs dans ce cas que la notion de "multivers" est obligatoire.

Si on prend la théorie des groupes infinis, il doit en "exister" une charretée de ces objets qu'on ne voit pas

[Deedee81]

Tout à fait d'accord. Et cette idée de multivers me semble juste une astuce rhétorique pour contourner cette insuffisance du platonisme, mais bon, on est entre convaincu. Un platonicien trouverait peut-être ça génial

[Deedee81]

Salut,

M'a fallu du courrage pour tout lire

Bon, à la fin, Delahaye relève plusieurs difficultés avec le réalisme du multivers. J'ai une lecture assez différente de la sienne mais je suis sans doute de parti pris.

Les difficultés du réalisme (*) => le multivers => d'autres difficultés => pour éviter ces problèmes il faut admettre que c'est "équivalent à une approche formaliste. (lui en déduit un retour au réalisme habituel)

(*) En particulier la difficulté à trouver des axiomes simples, plausibles (voire évidents) à ajouter à ZFC pour démontrer HC (ou non-HC).
Il prend plusieurs fois en exemple la théorie des groupes. Ce qui m'a fait tiquer. En effet, avec les axiomes de groupes, la commutativité est indécidable puisqu'il existe des groupes (des modèles des axiomes) commutatif ou non.
Un point qu'll ne relève pas mais que je considère comme majeur : personne ne considère comme problématique (du point de vue du réalisme) cette indécidabilité de la commutativité. Mais les "réalistes" (les platonistes) considère comme un problème le caractère non décidable de HC. Cela semble lié aux statuts de la théorie des ensembles et à la manière dont nous percevons les ensembles comme les entiers ou les réels. Mais je trouve ça absurde. Poirquoi certains indécidables seraient ils "plus graves" que d'autres ???? Dans tous les cas on les traite de la même manière : ils sont considérés comme vrai ou faux selon les besoins, selon les modèles, etc....

Toute cette histoire me semble un faux problème pour lequel certains mathématiciens (il me semble assez minoritaires) adorent se grater pour se faire rire

Ceci clôture mon appréciation (sauf questions, remarques, arguments d'autres participants)

[Médiat]

Deedee : +1, (Woodin m'a tuer)