Vrai ou faux.

[Médiat]

A part, un peu, dans le cadre d'une théorie complète
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[MissJenny]

Bonjour,
Il ne faut pas confondre "vrai" et "démontrable".

est-ce que démontrable est synonyme de démontré ?

je veux dire : est-ce que d'une proposition non démontrée on peut dire si elle est démontrable ou non ?

[Médiat]

Oui : on prend une théorie complète, une formule universelle dont on connaît un contre exemple, alors sa négation est démontrable, alors que je n'ai rien démontré en n'utilisant que des arguments liés aux axiomes de la théorie (comme on le ferait naturellement), mais non, puisque je l'ai démontré par d'autres moyens.

PS : quel est l'intérêt, le but ou la raison de cette question ?

[MissJenny]

par exemple, est-ce qu'on peut dire que la conjecture de Goldbach est démontrable (alors qu'elle n'est pas démontrée) ?

[Médiat]

Goldbach = tout nombre pair est somme de 2 nombres premiers

Pour ce cas particulier, la théorie (AP du premier ordre) n'est pas complète, donc Goldbach peut être démontrable, réfutable ou indécidable.

Pour un modèle particulier (le modèle standard par exemple) Goldbach est soit "vrai" soit "faux", mais aujourd'hui on ne sait pas lequel des deux, donc on ne peut pas dire que Goldbach est vrai dans ce modèle.

Donc la réponse est non.

[MissJenny]

Au fait je n'ai pas répondu à ta question sur quel était le but de ma propre question. GBZM a écrit qu'il ne fallait pas confondre vrai et démontrable. J'essaie de cerner les contours de ces notions et de comprendre en quoi elles diffèrent.

[Médiat]

Sans vouloir répondre à la place de GBZM, je peux dire que :

1. "Démontrable" est une notion syntaxique qui a du sens au sein d'une théorie (donc pour un certain langage)
2. "vrai" (vocabulaire qui peut être trompeur) est une notion sémantique qui a du sens dans un modèle (je suis partisan de ne jamais utiliser le vocabulaire "vrai"/"faux" sans préciser "vrai"/"faux" dans tel(s) modèle(s) (avec une tolérance pour les théories complètes).
3. Le théorème de complétude de Gödel (plus important à mon sens que ceux d'incomplétudes, pourtant déjà très haut) dit que ce qui est démontrable est "vrai" dans tous les modèles (et réciproquement)

[titijoy3]

je n'ai sans doute pas tout compris mais je trouve étonnat que la question de départ soit : "Une théorie qui expliquer en gros que rien n'était totalement vrai ou faux." et qu'il se transforme en "une théorie n'est jamais totalement vrai e ou totalement fausse"

peut on dire que le théorème de Thales comporte une part fausse ?

[Médiat]

Comme je l'ai signalé plusieurs fois ces questions n'ont rien à faire sur ce site

[Juzo]

Bonjour,

Ce que je vais écrire est seulement intuitif, je serais intéressé pour être corrigé si je me trompe sur ces notions importantes...

En partant de la notion de vrai en logique classique, en mathématiques toute vérité est générale : une proposition vraie est "toujours" vraie (donc totalement). Si une proposition n'est pas totalement vraie, on considère donc qu'elle est totalement fausse.
Une théorie mathématique est un ensemble d'affirmations écrites à partir d'axiomes.
Elle peut être représentée comme une seule proposition en concaténant toutes ses propositions avec des "et", donc elle est elle-même soit totalement vraie, soit totalement fausse, il n'y a pas d'entre deux.

Quant à la notion de vérité pour les axiomes eux-mêmes je dirais que ça n'a aucun sens mais là c'est encore plus flou.

Bonne soirée

[Médiat]

En partant de la notion de vrai en logique classique, en mathématiques toute vérité est générale : une proposition vraie est "toujours" vraie (donc totalement). Si une proposition n'est pas totalement vraie, on considère donc qu'elle est totalement fausse.

Totalement faux

[Juzo]

Bonjour,

Totalement faux

Ok merci. Un peu plus de détails m'aiderait à comprendre.

On entend souvent dire d'une part qu'en mathématiques toute vérité est universelle, d'autre part que les mathématiques sont la seule science ou l'on est sûr à 100% qu'une affirmation est vraie.
Est-ce que ces affirmations sont fausses ?
Ou encore, est-ce qu'on retombe sur un débat entre ceux qui disent que les mathématiques sont un simple jeu de langage et ceux qui disent que c'est un peu plus que ça ?

Merci

[Médiat]

Comme l'a dit Bertrand Russell : Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.

[pm42]

On entend souvent dire d'une part qu'en mathématiques toute vérité est universelle, d'autre part que les mathématiques sont la seule science ou l'on est sûr à 100% qu'une affirmation est vraie.
Est-ce que ces affirmations sont fausses ?

Elles sont fausses.

Ou encore, est-ce qu'on retombe sur un débat entre ceux qui disent que les mathématiques sont un simple jeu de langage et ceux qui disent que c'est un peu plus que ça ?

Non, c'est plus intéressant que ça : on fait des maths dans des systèmes d'axiomes et suivant le système, on peut avoir une grande variété de résultats.

Parmi les exemples simples, il y a le fait que pendant des siècles on a expliqué "par un point donné, il passe une seule parallèle à une droite donnée" parce qu'on pensait que faire de la géométrie euclidienne était "universel". Sauf qu'il y a d'autres géométries, la sphérique et l'hyperbolique par exemple où cette affirmation n'est pas vraie.
Et si tu te déplaces à la surface de la Terre sur de grandes distances, tu ne peux plus faire l'approximation d'être en géométrie euclidienne mais tu es en sphérique.

C'est juste pour te donner une idée. D'autres pourront rentrer dans les détails plus précisément ou te donner d'autres exemples intéressants.

[Juzo]

Elles sont fausses.

Vous pourriez avoir une conversation intéressante avec le médaille Fields Cédric Villani s'il voulait bien intervenir ici. Il cite ce propos d'Einstein dans une discussion avec Etienne Klein (extrait d'un podcast de La Conversation Scientifique du 24/01/26) :

La mathématique jouit d'une estime toute particulière au-dessus de toutes les autres sciences. Une raison en est que ses lois sont absolument certaines et indiscutables, alors que celles des autres sciences peuvent être contestées et en constant danger d'être renversées par une autre découverte

C'est une affirmation classique sur la différence entre les maths et les autres sciences. Et il y a bien une position épistémique différente entre le fait de démontrer qu'une affirmation est vraie en Maths, ou en Physique. En Maths, s'il n'y a pas d'erreur dans la démonstration on peut affirmer que l'affirmation est totalement vraie.

Parmi les exemples simples, il y a le fait que pendant des siècles on a expliqué "par un point donné, il passe une seule parallèle à une droite donnée" parce qu'on pensait que faire de la géométrie euclidienne était "universel". Sauf qu'il y a d'autres géométries, la sphérique et l'hyperbolique par exemple où cette affirmation n'est pas vraie.
Et si tu te déplaces à la surface de la Terre sur de grandes distances, tu ne peux plus faire l'approximation d'être en géométrie euclidienne mais tu es en sphérique.

Ça nous ramène à de la philosophie analytique je crois. En effet, toute affirmation véhicule bien un contexte implicite.
L'affirmation "Napoléon est mort" peut être vraie ou fausse selon le contexte de locution. Si Napoléon est le chat du locuteur, son affirmation peut être vraie si son chat est mort. Si Napoléon est le personnage historique, son affirmation peut être vraie, à condition de savoir à quelle époque il prononce cette affirmation. Si Napoléon ne revoit à rien de précis (ou au radiateur du locuteur qu'il a nommé Napoléon), son affirmation est dénuée de sens, elle n'est ni vraie ni fausse.
Donc si l'on prend seulement l'affirmation "Napoléon est mort" sans son contexte, en effet on ne sait pas de quoi on parle.

Dans le cas de l'unique parallèle passant par un point, cette affirmation est vraie dans le cadre de la géométrie Euclidienne, elle est fausse dans le cadre d'autres géométries.
Une théorie mathématique se place dans un cadre précis sauf erreur, on peut donc dire que dans ce cadre elle est soit totalement vraie, soit totalement fausse.

Comme l'a dit Bertrand Russell : Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.

Je répondrais aussi que "totalement vraie" ne veut pas dire "absolument vraie", c'est-à-dire vraie dans tous les contextes auxquels peuvent renvoyer les signes de l'affirmation.
Mais dans un contexte particulier, celui dans lequel s'inscrit la théorie mathématique, celle-ci est soit totalement vraie soit totalement fausse.

PS : on a vu des démonstrations mathématiques immenses s'effondrer complètement à cause d'une toute petite erreur de raisonnement, ce qui vient renforcer l'idée du caractère total (dans son contexte) d'une vérité mathématique.

[Médiat]

Pour illustrer les propos de pm42 : Différence entre "vrai" et "valide"

Une formule démontrée n'est pas vraie, ele est ... démontrée (voir plus haur)

[Médiat]

Peut-on affirmer que "1 + 1 = 2" est une vérité universelle, totalement vraie ?

1. 1 + 1 = 10 en binaire.
2. En choisissant d'autres significations aux symboles, 1 + 1 = "ce que vous voulez" serait aussi une vérité universelle, totalement vraie.
3. La définition usuelle du symbole "2" est d'être égal à 1 + 1, dire que 1 + 1 = 2 (dans ce cadre) n'apporte rien.

[oualos]

Lisez "La vérité dans les sciences" d'Aurélien Barrau chez dunod
Une vision relativiste certes mais intéressante et très bien documentée sur un problème abordé depuis l'Antiquité....

[pm42]

Vous pourriez avoir une conversation intéressante avec le médaille Fields Cédric Villani s'il voulait bien intervenir ici. Il cite ce propos d'Einstein dans une discussion avec Etienne Klein (extrait d'un podcast de La Conversation Scientifique du 24/01/26) :

On peut remarquer qu'Einstein était le 1er à dire qu'il n'était pas une référence en mathématique, qu'il ne connaissait pas forcément tous les travaux fait jusque là sur l'axiomatique et qu'il a dit cela en 1921 donc avant que Gödel qui deviendra son ami ne jette son pavé dans la mare.

Qu'on tienne un discours différent 1 siècle plus tard n'est pas surprenant.

[Médiat]

Je l'avais oublié, mais le pdf là : Différence entre "vrai" et "valide" est plus complet

[Juzo]

Merci pour ces références,

Peut-on affirmer que "1 + 1 = 2" est une vérité universelle, totalement vraie ?

1 + 1 = 10 en binaire.
En choisissant d'autres significations aux symboles, 1 + 1 = "ce que vous voulez" serait aussi une vérité universelle, totalement vraie.
La définition usuelle du symbole "2" est d'être égal à 1 + 1, dire que 1 + 1 = 2 (dans ce cadre) n'apporte rien.

Justement je disais que si l'on fixe une signification à "1", "+", "=" et "2" ainsi qu'un contexte à l'affirmation "1 + 1 = 2", alors celle-ci est soit totalement vraie soit totalement fausse. Si on ne fixe pas les significations et le contexte, alors l'affirmation est dénuée de sens et ne peut être jugée ni vraie ni fausse.

Pour la définition qui est une sorte de tautologie n'apportant pas d'information, j'aurais tendance à dire qu'elle est nécessairement vraie ou bien qu'elle est... neutre (elle ne peut pas invalider une démonstration mais agit comme un élément neutre au sein de celle-ci).

Je vais lire les références.

[Médiat]

Si on fixe le contexte à être AP du premier ordre avec son langage usuel (0, +, x, s) et que l'on ajoute les définitions suivantes :
1 = s(0), et 2 = s(s(0)), c'est à dire 2 = s(1),
alors je peux démontrer que 1 + 1 = 2, elle n'en est pas pour autant "totalement vraie" puisqu'elle dépend des prémisses :

[Juzo]

Arès lecture du PDF, ce qu'il y a d'étonnant c'est que si E-Clide avait demandé à son copain Adam ce qu'il entend précisément par "triangle", la confusion aurait pu être évitée...
On remarquera que le triangle tracé par Adam à la surface de la Terre n'est plus un triangle dans un espace euclidien à 3 dimensions !

Notons triangle* le triangle dans un espace euclidien, alors le triangle tracé par Adam à la surface terrestre n'est pas un triangle*.

L'affirmation "la somme des angles d'un triangle* fait toujours 180°" n'est donc pas contredite pas son expérience qui est hors sujet.

L'assemblée de mathématiciens s'arrête au fait qu'ils appellent triangles un ensemble d'objets qui dépasse le contexte de l'affirmation d'Adam, contexte qui n'est pas explicite dans la formulation de cette affirmation, mais dont on n'a pas le droit d'abstraire l'affirmation sous peine que celle-ci soit dénuée de sens.

Edit : justement je propose que toute affirmation non dénuée de sens dit implicitement "compte tenu de tels et tels prémices, j'affirme que...". Les prémices eux-mêmes sont des postulats qui n'ont pas de valeur de vrai ou faux.

[titijoy3]

je ne connaissais pas E-Clide, on m'avait parlé d'Euclide..

[Juzo]

E-Clide c'est le personnage du PDF partagé par Médiat, j'ai oublié de le préciser?

[pm42]

E-Clide c'est le personnage du PDF partagé par Médiat, j'ai oublié de le préciser?

C'était évident avec le contexte. La remarque qui t'a été faite était "bizarre".

[titijoy3]

C'était évident avec le contexte. La remarque qui t'a été faite était "bizarre".

j'avoue que je n'ai pas consulté le PDF, d'où mon intérrogation, n'y voir aucune malice

d'ailleurs, je désapprouve le dévoiement orthographique de certains éléments du patrimoine culturel, ce n'est pas rendre service aux apprenants qui ne save plus à quel saint se vouer

[Médiat]

Je suis d'accord avec vous, appeler Euclide le mathématicien connu sous le nom de Εὐκλείδης est une véritable honte.

[titijoy3]

Je suis d'accord avec vous, appeler Euclide le mathématicien connu sous le nom de Εὐκλείδης est une véritable honte.

belle pirouette !

[Médiat]

En fait, c'est la notion de personnage fictif qui vous échappe.