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Théorème de Ménélaus



  1. #1
    Dom55

    Théorème de Ménélaus


    ------

    Bonsoir à tout le monde.
    Je suis vraiment désolé de tous vous déranger en cette soirée pour mes petits soucis, et il était bien entendu que de créer un compte sur ce forum n'était pas dans le but de demander aux autres de faire nos exos, mais je vous demanderai une petite aide s'il vous plait, juste histoire de me mettre sur la voie.

    Mon exercice repose sur les barycentres. Le voici.

    Théoreme de Ménélaus

    ABC est un triangle
    1) Une droite delta coupe respectivement les droites (BC), (AB) et (AC) en des points M, N et P distincts des sommets du triangle.
    La parallèle à delta coupe (AC) en Q.

    On donne :
    → → → → → →
    MB = p(MC) ; PC = q(PA) ; et NA = r(NB) où p, q et r sont des reels non nuls.

    On note :
    — —
    k= ( AN ) / ( AB )

    et
    — —
    k'= (CM) / (CB)

    Exprimer p, q, r en fonction de k et k'
    En déduire que pqr = 1

    Réciproque

    Soit ABC triangle. Les pts M, N, P distincts des sommets et appartenant respectivement à (BC), (AB) et (AC) vérifient :
    → → → → → →
    MB = pMC , PC=qPA , et NA = rNB tels que pqr = 1

    Montrer que C est le barycentre des pts pondérés : (M,p-1) et (B,1)
    Montrer que A est le barycentre des pts pondérés : (N,r-1) et (B, -r)
    Montrer que P est le barycentre des pts pondérés :
    (C,1) et (A, -q)

    En déduire que les pts M, N et P sont alignés.


    Voila, l'énoncé de l'exercice est fini !
    Pour ma part, je n'ai vraiment pas compris grand chose, ca serait vraiment gentil de pouvoir me filer un petit coup de pouce !

    Encore merci a toute cette belle communauté et bravo pour ce forum astucieux
    Bon week end a tous.

    -----

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  4. #2
    Duke Alchemist

    Re : Théorème de Ménélaus

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par Dom55 Voir le message
    ...
    → → → → → →
    MB = p(MC) ; PC = q(PA) ; et NA = r(NB) où p, q et r sont des reels non nuls.

    On note :
    — —
    k= ( AN ) / ( AB )

    et
    — —
    k'= (CM) / (CB)

    Exprimer p, q, r en fonction de k et k'
    En déduire que pqr = 1
    ...
    As-tu essayé la relation de Chasles ??
    Introduire le point A dans la 3ème relation te donne k(r).
    Introduire le point C dans la 1ère relation te donne k'(p).

    Encore une (ou deux) fois Chasles dans la 2ème relation en faisant apparaître des points intéressants pour exprimer q en fonction de k et k' puis en fonction de r et p.
    Je dis ça comme ça, je n'ai pas fait cette deuxième partie rigoureusement...


    Bon courage.

    Duke.

  5. #3
    Dom55

    Re : Théorème de Ménélaus

    Je ne comprend pas vraiment ce que vous dites.

    En effet, si j'introduis le point A dans la troisieme relation, je trouve :

    AN / (NA+AB) = r

    Je retrouve bien k, mais il reste ce NA sous le dénominateur....



    En tout cas, merci pour l'attention dont vous me portez !

  6. #4
    babounelegenial

    Re : Théorème de Ménélaus

    Il y a un article intéressant à ce sujet à cette adresse : http://nuticiel.ac-corse.fr/math/download/menelaus.pdf

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Duke Alchemist

    Re : Théorème de Ménélaus

    Bonjour.
    Citation Envoyé par Dom55 Voir le message
    Je ne comprend pas vraiment ce que vous dites.

    En effet, si j'introduis le point A dans la troisieme relation, je trouve :

    AN / (NA+AB) = r

    Je retrouve bien k, mais il reste ce NA sous le dénominateur....



    En tout cas, merci pour l'attention dont vous me portez !
    Ce n'était qu'un début de piste Il fallait poursuivre...
    Il ne faut pas isoler r mais AN/AB=k !

    Avec un peu plus de détail, pour le début, ça donne :

    NA = r*(NB)
    NA = r*(NA+AB)
    NA = r*NA+r*AB
    (1-r)*NA = r*AB
    soit (r-1)AN = r*AB

    d'où AN/AB=k=r/(r-1)

    P.S. : En gras sont les vecteurs et gras italique les mesures algébriques.

    Je te laisse poursuivre...
    Avec le doc de babounelegénial, tu devrais arrivé à tes fins

    Bon courage.

    Duke.

  9. #6
    Dom55

    Re : Théorème de Ménélaus

    Merci énormément, je ne sais guère si ce que j'ai fais est juste, mais la date limite qui m'était imposée ne me permettait pas a de plus amples recherches malheureusement !

    J'ai quand meme lu le doc de baboune qui était très interessant !!

    Merci a vous deux, l'année de premiere est encore longue, et j'aurai a l'avenir peut etre encore besoin de vous


    Bonne journée

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