dérivation_determiner deux réel a et b pour que la fonction possède un extremum en 2

[invite163f33e1]

Bonjours, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice de mathématiques de termS !
voila l’énoncé :
f est la fonction définie sur R-{1} par :
f(x) = (ax²+bx)/(2(x-1)²)
Déterminer les réels a et b pour que la fonction f admet un extremum égale a 2 en x=2

bon d'abord je sais qu'une fonction admet un extremum en 2 si la fonction dérivé s'annule en x2 et si elle change de signe

f'(x) = (ax^3-3ax²+2ax-bx+b)/(2(x-1)²)²

(2(x-1)²)² est toujours positif pour tout X de R
donc on s'intéresse au signe de ax^3-3ax²+2ax-bx+b

or d'après la définition d'avant f'(2) = 0
donc f'(2) = -b/2
or -b/2 devrait être égale à 0
d'ou b = 0
et par conséquent a serait aussi égale à 0 !
Mais cela est faux et je ne voit pas comment faire pour trouver ces deux réel !

il me faudrait deux équation avec a et b pour faire un système est trouver les valeur de a et de b.

Cependant ax^3-3ax²+2ax-bx+b est un trinôme du troisième degrés donc on pourrait chercher les racines de ce trinôme !
je suis un peu perdu !
merci de vos réponses !

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[invitea3eb043e]

Quand tu as (x-1)² au dénominateur, la dérivée doit avoir (x-1)^3 au dénominateur et non (x-1)^4 comme tu as fait.
Tu peux simplifier par (x-1) et ça prend une meilleure tête.
Ensuite dans un cas comme ça, où on ne te demande pas vraiment f' mais l'endroit où il s'annule, il est astucieux de calculer la dérivée logarithmique :
f'/f = (2ax+b)/(ac²+bx) -2/(x-1)
C'est bien plus simple et ça prête moins à des erreurs. Vérifie tes calculs.

[invite163f33e1]

on n'as pas encore étudier la dérivée logarithmique ! mdr !
mais la fonction est de la forme U/V
donc ça dérivée est (u'v-v'u)/v²
or v= 2(x-1)²
donc v² = (2(x-1)²)²
nn ?

[b@z66]

Bonjours, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice de mathématiques de termS !
voila l’énoncé :
f est la fonction définie sur R-{1} par :
f(x) = (ax²+bx)/(2(x-1)²)
Déterminer les réels a et b pour que la fonction f admet un extremum égale a 2 en x=2

bon d'abord je sais qu'une fonction admet un extremum en 2 si la fonction dérivé s'annule en x2 et si elle change de signe

f'(x) = (ax^3-3ax²+2ax-bx+b)/(2(x-1)²)²

A ce point là, je pense que tu as déjà fait une erreur, le numérateur ne serait-il pas plutôt: (-4a-2b)x²+2b+4ax?

Ensuite pour ton système, tu poses: f(2)=2 et f'(2)=0(en sachant que le dénominateur n'a pas d'importance dans cette dernière expression).

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

or d'après la définition d'avant f'(2) = 0
donc f'(2) = -b/2

[invitea3eb043e]

on n'as pas encore étudier la dérivée logarithmique ! mdr !
mais la fonction est de la forme U/V
donc ça dérivée est (u'v-v'u)/v²
or v= 2(x-1)²
donc v² = (2(x-1)²)²
nn ?

Juste, mais tu peux simplifier par (x-1)

[b@z66]

b=0.8
a=0.6

[b@z66]

b=0.8
a=0.6

Erreur de ma part,
b=-4
a=3

[invite163f33e1]

je te remercy ! mais je vais essayé de retrouver se resulta ! car je préfère comprendre avant tout ! mercyy je vous dit si j'y parvien !

[invite163f33e1]

jean paul !
en factorisant tout par (x-1) je trouve ma derivé comme ça :
f'(x) = (2ax²-2ax-2b) / (4(x+1)^3
c'est ça ?

[b@z66]

jean paul !
en factorisant tout par (x-1) je trouve ma derivé comme ça :
f'(x) = (2ax²-2ax-2b) / (4(x+1)^3
c'est ça ?

C'est pas encore ça , si tu utilises la technique de Jean-Paul (plus rapide), essayes d'exprimer la dérivée de (x-1)² en fonction de (x-1).

PS:Cela dépend aussi de la validité de l'expression que tu nous as mis dans ton premier post.f(x) = (ax²+bx)/(2(x-1)²)

[invitea3eb043e]

Déjà que c'est forcément (x-1)^3 au dénominateur. Ensuite, quand on dérive un truc avec un 2 au dénominateur, on le met en facteur.
En haut, c'est pas la joie non plus, vérifie tes calculs.

[invite163f33e1]

j'ai trouver la solution ! en fait la chose qui poser problème était le 2(x-1)² au dénominateur de la fonction !
il faut juste le dévelloper si qui donne
f(x) = (ax²+bx) / (2x²-4x+2)

alors f'(x) = [(2ax+b)(2x²-4x+2)-(4x-4)(ax²+bx)] / (2x²-4x+2)²
si qui donne :
f'(x) = (-4ax²-2bx²+4ax+2b) / (2x²-4x+2)²
or (2x²-4x+2)² = (2(x-1)²)²
dc f'(x) = ((-4a-2b)x²+4ax+2b) / (2(x-1)²)²

après on sait que f'(2) = 0
et que f(2)=2
il suffit de trouver les deux équations pour faire un système et trouver les deux valeurs de a et de b qui sont a = 3 et b = -4 !
Merci à B@z66 et Jean paul pour l'aide aporté au pb !


SAYONARA !!