Probabilité

[EspritTordu]

Bonjour,

Soit deux sacs indépendants remplis chacun de deux boules identiques , une noire, et une blanche. Pour chaque sac, j'ai une probabilité p de trouver une boule blanche (ici p=0,5 donc).
Comment trouver la probabilité P des évenements "avoir 1 seule boule blanche après le tirage dans chaque sac", "Avoir aucune boule blanche"?

Merci d'avance.
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[prgasp77]

Dans des exercices simples comme celui-ci (le terme simple n'est pas péjoratif, mais exprime le fait que les événements avec lesquels nous travaillons sont facilement déterminables), le mieux à faire, à mon avis est de travailler avec des événements en premier lieu.

Que signifie "Avoir une seule boule blanche après le tirage dans chaque sac" ? Il s'agit de "(Tirer une boule blanche dans le premier sac ET une noire dans le second) OU (tirer une boule noire dans le premier ET une blanche dans le second)"

A partir de là, et avec ton cours, tu peux trouver les probabilités de cet événement. Idem pour la seconde question.

[EspritTordu]

C'est-à-dire que dans mon cas (tous les évenements sont indépendants) :

on a 0,5 ET 0,5 ou 0,5 ET 0,5 <=> 0,5*0,5 + 0,5*0,5 =0,25+0,25=0,5, n'est-ce pas?

Merci.

[prgasp77]

Bonjour,
je n'ai pas lu ton calcul, car même si le résultat final est correct (je ne le garantis pas), la formulation est fausse : tu mélanges événements et probabilité.
Un événement est un élément de ton univers, ce n'est pas un nombre ! Les opérateurs entre événements sont des opérateurs logiques comme ET, OU, NON (les autres sont composés à partir de ces trois-ci).
Les probabilités sont des nombres. Les opérateurs entre probabilités sont les opérateurs internes de : + et * (les autres sont composés à partir de ces deux-ci).

Sauf cas particulier (en info), 0,5 ET 0,5 n'a pas de sens.

Voila comment tu dois procéder (A, B, et C sont trois événements - indépendants deux à deux - de probabilités p_a, p_b et p_c) :
P[A ET (B OU C)] = P[A] . P[B OU C]
= P[A] . ( P[B] + P[C] - P[B ET C] )
= P[A] . ( P[B] + P[C] - P[B] . P[C] )
= p_a(p_b + p_c - p_bp_c)


Reprends ton calcul avec les même règles que j'ai utilisé, règles qui figurent normalement dans ton cours
Bonne chance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[EspritTordu]

Mon cours est bien loin et les années de Maths aussi... , mais j'aimerais comprendre pourquoi j'ai faux cependant s'il vous plaît:
Dans mon exemple, j'ai mal traduit le OU exclusif et je devrais ajouter : -0,5*0,5 pour rendre le caractère exclusif du OU, n'est-ce pas? C'est cela que vous essayez de me dire?

[yat]

Dans mon exemple, j'ai mal traduit le OU exclusif et je devrais ajouter : -0,5*0,5 pour rendre le caractère exclusif du OU, n'est-ce pas? C'est cela que vous essayez de me dire?

Non, non, ton calcul est juste. Prgasp77 faisait juste remarquer que tu mélangeais les événements et leurs probabilités.

Ici, tu n'as pas besoin de faire la distinction entre le ou et le ou exclusif, puisque les deux événements "Tirer une boule blanche dans le premier sac ET une noire dans le second" et "tirer une boule noire dans le premier ET une blanche dans le second" sont distincts : il est impossible qu'ils soient vrais simultanément.

Pour formuler le tout de manière un tout petit peu rigoureuse (mais vraiment un tout petit peu : moi aussi, mes années de cours sont loin), tu peux tourner la chose comme ça :

Soit A l'événement "tirer une boule blanche dans le premier sac" ( et l'événement "tirer une boule noire dans le premier sac" )
Soit B l'événement "tirer une boule blanche dans le deuxième sac" ( et l'événement "tirer une boule noire dans le deuxième sac" )
L'énoncé dit que p(A)=p(B)=p.
On a également p()=p()=1-p.

L'événement décrit par prgasp77 "(Tirer une boule blanche dans le premier sac ET une noire dans le second) OU (tirer une boule noire dans le premier ET une blanche dans le second)" s'écrit donc .

la probabilité d'avoir 1 seule boule blanche après le tirage dans chaque sac est donc
p(A)*p([TEX]\bar{B}[/TEX)+p(B)*p(), soit p*(1-p)+p*(1-p), ce qui donne 2p-2p², soit 0,5 avec p=0,5.

[prgasp77]

Non, non, ton calcul est juste. Prgasp77 faisait juste remarquer que tu mélangeais les événements et leurs probabilités.

Oui, désolé si je me suis mal fait comprendre.
Le résultat est correct (P = 0,5), et s'accorde avec la logique.

[EspritTordu]

Oui et pourtant je ne suis pas entièrement convaincu :
si je généralise la chose, je me retrouve avec des probabilités supérieures à 1 .

C'est-à-dire si désormais le nombre de sac est de Z, et dans chaque sac, j'ai X blanches et Y noires, donc en somme N boules par sac, est-ce que la probabilité finale PF d'avoir une seule boule blanche se calcule comme çà :

soit P1(avoir une boule blanche dans un sac) =X/N
et P2 (celle d'avoir une boule noire dans le sac)=Y/N

soit PF= (P1.P2)*Z

?

[yat]

si désormais le nombre de sac est de Z, et dans chaque sac, j'ai X blanches et Y noires, donc en somme N boules par sac, est-ce que la probabilité finale PF d'avoir une seule boule blanche se calcule comme çà

Non

soit P1(avoir une boule blanche dans un sac) =X/N
et P2 (celle d'avoir une boule noire dans le sac)=Y/N
soit PF= (P1.P2)*Z
?

Je ne comprends pas bien ton calcul, alors je reprends :
Soit Pi la probabilité d'avoir une boule blanche dans le sac i.
Pi=P1*P2^(Z-1) (parce qu'il faut avoir une boule blanche dans le sac i et une noire dans chacun des Z-1 autres).

Et on a donc PF=Z*Pi, parce que la boule blanche peut se trouver dans n'importe quel des Z sacs.

La formule finale est donc PF=(P1.P2^(Z-1))*Z, sauf erreur de ma part. Je vois la ressemblance avec ta formule, maintenant. Tu as donc simplement oublié qu'il fallait qu'il y ait une boule noire dans chacun des autres sacs, et pas dans un unique autre sac arbitraire

[EspritTordu]

Merci, voilà un oubli qui était gênant!