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sin < x



  1. #1
    chr57

    sin < x


    ------

    Bonjour,

    je dois démontrer que pour tout réel x positif:
    sin x < x

    On sait que -1<sin(x)<1

    -> J'ai pensé d'abord à prouver l'affirmation sur
    [1;+infini[, car dans ce cas sin < x est vérifié.
    Puis sur [0;1], mais là je bloque.

    -> Sinon:
    sin(x) < x
    sin(x) - x < 0

    J'ai fait plusieurs tentatives (dérivée, limite avec th des gendarmes), mais inutiles.

    Merci de votre aide.

    -----
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

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  3. #2
    Coincoin

    Re : sin < x

    Salut,
    Etudie la fonction x->sin(x)-x sur [0,1]...
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    chr57

    Re : sin < x

    Ok, dans ce cas je garde mon premier point:

    -> Sur [1;+infini[, sin(x)<x est vérifié car
    -1<sin(x)<1.

    -> Sur [0;1] :
    soit f(x)= sin(x) - x.
    On a f '(x)= -cos(x) - 1.

    Encadrons f'(x):
    -2 < f'(x) < 0
    f '(x)=0 pour x congru à pi modulo 2pi.
    Donc, f '(x)=0 n'a pas de solution dans [0;1]

    Sur [0;1], f '(x)<0 donc f(x) est décroissant sur [0;1].
    Sachant de plus que f(0)=0, on peut conclure que sur
    [0;1], f(x)<0 et donc sin x < x.


    Voili, ça doit être correct, non ?
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  5. #4
    Coincoin

    Re : sin < x

    Il manque juste un "strictement" à un endroit...

    Et si on veut chipoter, c'est f qui est décroissante pas f(x)
    Encore une victoire de Canard !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    chr57

    Re : sin < x

    ça doit etre ici que le "égal" était en trop:

    Sur [1;+infini[, sin(x)<x est vérifié.

    x=sin (x) seulement si x=0

    merci en tout cas du coup de main
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  8. #6
    zeraoulia rafik

    Re : sin < x

    Alors on a sin2(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)
    En x=1, la demonstration est claire
    x>1 équivalant de x/2>1/2, et x/2<x ,x positif ,on a aussi la relation qui nous obtenons tel que x supérieur à 1

    2sin(x/2)cos(x/2)<2 implique sin(x/2)cos(x/2)<1<x ,x positif et sin fonction borne

    Et implique aussi sin(x/2)cos(x/2)<1<x/2<x…….1

    Alors on peux déduire à partir de la relation 1 que:

    sin(x/2)cos(x/2)< x/2 ………2, ;on multiple par 2 et on divise en 2

    on peux exister

    2 sin(x/2)cos(x/2)/2 < x/2, ce dernier équivalant à

    Sin(2(x/2))/2< x/2→(sinx)/2< x/2Sinx<x, v x>1 .

    Et on peux utilise théorème des accroissement finie, on choisir c€]1,x[ et on applique la règle qui dit; v c€]1,x[ ,f(x)-f(1)=f'(c)(x-1); et on existe f'(c) et merci

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  10. #7
    zeraoulia rafik

    Re : sin < x

    Alors on a sin2(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)
    En x=1, la demonstration est claire
    x>1 équivalant de x/2>1/2, et x/2<x ,x positif ,on a aussi la relation qui nous obtenons tel que x supérieur à 1

    2sin(x/2)cos(x/2)<2 implique sin(x/2)cos(x/2)<1<x ,x positif et sin fonction borne

    Et implique aussi sin(x/2)cos(x/2)<1<x/2<x…….1

    Alors on peux déduire à partir de la relation 1 que:

    sin(x/2)cos(x/2)< x/2 ………2, ;on multiple par 2 et on divise en 2

    on peux exister

    2 sin(x/2)cos(x/2)/2 < x/2, ce dernier équivalant à

    Sin(2(x/2))/2< x/2→(sinx)/2< x/2 implique Sinx<x, v x>1 .

    Et on peux utilise théorème des accroissement finie, on choisir c€]1,x[ et on applique la règle qui dit; v c€]1,x[ ,f(x)-f(1)=f'(c)(x-1); et on existe f'(c) et merci

  11. #8
    mimo13

    Re : sin < x

    Bonjour
    Étudier le signe de la fonction je trouve cela un peu trop long voici ce que je propose:
    Soit et On a en integrant entre 0 et x on obtient:

    Donc

  12. #9
    jnjc22

    Re : sin < x

    Salut mimo13,

    tu écris:
    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    Bonjour
    Soit et On a en integrant entre 0 et x on obtient:
    cette démo semble géniale de simplicité. Je ne suis pourtant pas sûr qu'il y ait implication
    Pourrais-tu éclairer ma lanterne? (je me replonge dans les maths. Je suis bien rouillé)
    Merci

  13. #10
    Thorin

    Re : sin < x

    La démo est simple mais utilise un outil plutôt profond, et cache donc naturellement le fait qu'il y a eu beaucoup de travail en arrière plan pour arriver à ce genre de propriété.

    la propriété en question est la croissance de l'intégrale (ou la positivité , au choix), et est vraie (et c'est très intuitif : si une fonction est positive, l'aire sous la courbe l'est aussi)
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  14. #11
    jnjc22

    Re : sin < x

    Bonsoir Thorin,

    OK pour ce qui est de la croissance de l'intégrale. Ce que je voulais dire, c'est que dans un intervalle [0;1] par exemple, on peut trouver nombre de fonctions continues positives pour lesquelles pour au moins un x: f(x) >= x et pour lesquelles cependant cependant pas sur n'importe quel intervalle [0;x] avec x<1.

    Merci.

  15. #12
    mimo13

    Re : sin < x

    Bonjour
    Citation Envoyé par jnjc22 Voir le message
    cette démo semble géniale de simplicité. Je ne suis pourtant pas sûr qu'il y ait implication
    Merci
    Ici je crois que tu veut dire
    Citation Envoyé par jnjc22 Voir le message
    Pourrais-tu éclairer ma lanterne? (je me replonge dans les maths. Je suis bien rouillé)
    Merci
    Effectivement il y a implication, intégrer une inégalité comme celle ci demande 2 conditions: que la variable avec qui on intègre (x dans ce cas) doit etre dans l'intervalle ou l'inégalité est verifié et que parce que sinon le sens de l'inégalité va changer.(sans oublier aussi le fait que la fonction doit être positive)
    De plus la démo reste correct pour tout dans, pas besoin de diviser le domaine de notre étude.
    Dernière modification par mimo13 ; 08/04/2009 à 01h09.

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  17. #13
    mimo13

    Re : sin < x

    Citation Envoyé par jnjc22 Voir le message
    Bonsoir Thorin,
    c'est que dans un intervalle [0;1] par exemple, on peut trouver nombre de fonctions continues positives pour lesquelles pour au moins un x: f(x) >= x et pour lesquelles cependant cependant pas sur n'importe quel intervalle [0;x] avec x<1.
    Merci.
    Par exemple ??

  18. #14
    Thorin

    Re : sin < x

    jnjc22, il n'y a pas de rapport entre ce que tu dis et la propriété de l'intégrale ; si tu veux mettre en échec la propriété de croissance de l'intégrale, il faut trouver 2 fonction telles que f<g, et intégrale de f > intégrale de g.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  19. #15
    Ema-31

    Re : sin < x

    Tu peux tout simplement utiliser g(x) = sinx -x
    on a g'(x) = cos x - 1 qui est négative
    donc g(x) est décroissante
    x supérieure à 0 , donc g(x) inférieur à g(0) =0
    soit sinx et inférieure à x

  20. #16
    gg0

    Re : sin < x

    C'est bien Ema !.

    Mais redire un an et demi après le dernier message ce qui était écrit au deuxième n'apporte pas beaucoup de nouveauté !

    Cordialement

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