sin < x

[invited9092432]

Bonjour,

je dois démontrer que pour tout réel x positif:
sin x < x

On sait que -1<sin(x)<1

-> J'ai pensé d'abord à prouver l'affirmation sur
[1;+infini[, car dans ce cas sin < x est vérifié.
Puis sur [0;1], mais là je bloque.

-> Sinon:
sin(x) < x
sin(x) - x < 0

J'ai fait plusieurs tentatives (dérivée, limite avec th des gendarmes), mais inutiles.

Merci de votre aide.
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
Etudie la fonction x->sin(x)-x sur [0,1]...

[invited9092432]

Ok, dans ce cas je garde mon premier point:

-> Sur [1;+infini[, sin(x)<x est vérifié car
-1<sin(x)<1.

-> Sur [0;1] :
soit f(x)= sin(x) - x.
On a f '(x)= -cos(x) - 1.

Encadrons f'(x):
-2 < f'(x) < 0
f '(x)=0 pour x congru à pi modulo 2pi.
Donc, f '(x)=0 n'a pas de solution dans [0;1]

Sur [0;1], f '(x)<0 donc f(x) est décroissant sur [0;1].
Sachant de plus que f(0)=0, on peut conclure que sur
[0;1], f(x)<0 et donc sin x < x.


Voili, ça doit être correct, non ?

[invite88ef51f0]

Il manque juste un "strictement" à un endroit...

Et si on veut chipoter, c'est f qui est décroissante pas f(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9092432]

ça doit etre ici que le "égal" était en trop:

Sur [1;+infini[, sin(x)<x est vérifié.

x=sin (x) seulement si x=0

merci en tout cas du coup de main

[invite65ff4bb8]

Alors on a sin2(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)
En x=1, la demonstration est claire
x>1 équivalant de x/2>1/2, et x/2<x ,x positif ,on a aussi la relation qui nous obtenons tel que x supérieur à 1

2sin(x/2)cos(x/2)<2 implique sin(x/2)cos(x/2)<1<x ,x positif et sin fonction borne

Et implique aussi sin(x/2)cos(x/2)<1<x/2<x…….1

Alors on peux déduire à partir de la relation 1 que:

sin(x/2)cos(x/2)< x/2 ………2, ;on multiple par 2 et on divise en 2

on peux exister

2 sin(x/2)cos(x/2)/2 < x/2, ce dernier équivalant à

Sin(2(x/2))/2< x/2→(sinx)/2< x/2Sinx<x, v x>1 .

Et on peux utilise théorème des accroissement finie, on choisir c€]1,x[ et on applique la règle qui dit; v c€]1,x[ ,f(x)-f(1)=f'(c)(x-1); et on existe f'(c) et merci

[invite65ff4bb8]

Alors on a sin2(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)
En x=1, la demonstration est claire
x>1 équivalant de x/2>1/2, et x/2<x ,x positif ,on a aussi la relation qui nous obtenons tel que x supérieur à 1

2sin(x/2)cos(x/2)<2 implique sin(x/2)cos(x/2)<1<x ,x positif et sin fonction borne

Et implique aussi sin(x/2)cos(x/2)<1<x/2<x…….1

Alors on peux déduire à partir de la relation 1 que:

sin(x/2)cos(x/2)< x/2 ………2, ;on multiple par 2 et on divise en 2

on peux exister

2 sin(x/2)cos(x/2)/2 < x/2, ce dernier équivalant à

Sin(2(x/2))/2< x/2→(sinx)/2< x/2 implique Sinx<x, v x>1 .

Et on peux utilise théorème des accroissement finie, on choisir c€]1,x[ et on applique la règle qui dit; v c€]1,x[ ,f(x)-f(1)=f'(c)(x-1); et on existe f'(c) et merci

[invitebe08d051]

Bonjour
Étudier le signe de la fonction je trouve cela un peu trop long voici ce que je propose:
Soit et On a en integrant entre 0 et x on obtient:

Donc

[invitea265c1f0]

Salut mimo13,

tu écris:

Bonjour
Soit et On a en integrant entre 0 et x on obtient:

cette démo semble géniale de simplicité. Je ne suis pourtant pas sûr qu'il y ait implication
Pourrais-tu éclairer ma lanterne? (je me replonge dans les maths. Je suis bien rouillé)
Merci

[invitec317278e]

La démo est simple mais utilise un outil plutôt profond, et cache donc naturellement le fait qu'il y a eu beaucoup de travail en arrière plan pour arriver à ce genre de propriété.

la propriété en question est la croissance de l'intégrale (ou la positivité , au choix), et est vraie (et c'est très intuitif : si une fonction est positive, l'aire sous la courbe l'est aussi)

[invitea265c1f0]

Bonsoir Thorin,

OK pour ce qui est de la croissance de l'intégrale. Ce que je voulais dire, c'est que dans un intervalle [0;1] par exemple, on peut trouver nombre de fonctions continues positives pour lesquelles pour au moins un x: f(x) >= x et pour lesquelles cependant cependant pas sur n'importe quel intervalle [0;x] avec x<1.

Merci.

[invitebe08d051]

Bonjour

cette démo semble géniale de simplicité. Je ne suis pourtant pas sûr qu'il y ait implication
Merci

Ici je crois que tu veut dire

Pourrais-tu éclairer ma lanterne? (je me replonge dans les maths. Je suis bien rouillé)
Merci

Effectivement il y a implication, intégrer une inégalité comme celle ci demande 2 conditions: que la variable avec qui on intègre (x dans ce cas) doit etre dans l'intervalle ou l'inégalité est verifié et que parce que sinon le sens de l'inégalité va changer.(sans oublier aussi le fait que la fonction doit être positive)
De plus la démo reste correct pour tout dans, pas besoin de diviser le domaine de notre étude.

[invitebe08d051]

Bonsoir Thorin,
c'est que dans un intervalle [0;1] par exemple, on peut trouver nombre de fonctions continues positives pour lesquelles pour au moins un x: f(x) >= x et pour lesquelles cependant cependant pas sur n'importe quel intervalle [0;x] avec x<1.
Merci.

Par exemple ??

[invitec317278e]

jnjc22, il n'y a pas de rapport entre ce que tu dis et la propriété de l'intégrale ; si tu veux mettre en échec la propriété de croissance de l'intégrale, il faut trouver 2 fonction telles que f<g, et intégrale de f > intégrale de g.

[invite9cb982b3]

Tu peux tout simplement utiliser g(x) = sinx -x
on a g'(x) = cos x - 1 qui est négative
donc g(x) est décroissante
x supérieure à 0 , donc g(x) inférieur à g(0) =0
soit sinx et inférieure à x

[gg0]

C'est bien Ema !.

Mais redire un an et demi après le dernier message ce qui était écrit au deuxième n'apporte pas beaucoup de nouveauté !

Cordialement