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Petit exercice de complexe



  1. #1
    hekla

    Arrow Petit exercice de complexe


    ------

    Bonjour à tous,

    Je vous mets l'énoncé ci dessous d'un exercice sur les complexes où je suis bloqué , je ne vois pas ce qu'il faut faire (n'ayant pas encore fait de cours sur les complexes).

    "On se propose de rechercher les triplets de nombres complexes (z1,z2,z3) tels que:
    - les trois nombres complexes aient tous 1 comme module
    - les trois nombres complexes aient pour somme 1
    - les trois nombres complexes aient pour produit 1

    Le polynome P défini pour tout complexe z par P(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3) admet comme seules racines les trois complexes z1,z2 et z3.

    Développer P, donner une expression simple de P permettant de déterminer tous les triplets répondant à l'énoncé. Donner alors toutes les solutions."

    Alors en développant puis en factorisant j'obtiens:
    P(z)=z^3-z^2(z1+z2+z3)+z(z1z3+z2z3+z1z2 )-z1z2z2
    Je ne sais pas si c'est utile mais j'espere que vous pourrez m'éclairer.

    Merci à tous
    à bientot

    -----

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  3. #2
    anonymus

    Re : Petit exercice de complexe

    T'as pas encore fait de cours sur les complexes ?
    Bon un ptit aperçu alors :

    i² = -1
    Soit z un nombre complexe, z = x + iy avec x et y réels.
    On dit que x est le partie réelle de z, Re(z) = x
    Et iy la partie imaginaire de z, Im(z) = iy

    Bon revenons à notre exo,

    z1 + z2 + z3 = 1
    z1*z2*z3 = 1
    Or t'as trouvé que P(z) = blabla
    tu remplaces, ce qui donne P(z) = ???
    Et tu continues
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  4. #3
    kNz

    Re : Petit exercice de complexe

    En fait, il te manque z1z2+z2z3+z1z3, tu peux essayer de le calculer avec les deux égalités qu'on te donne, tu devrais y arriver.

  5. #4
    hekla

    Re : Petit exercice de complexe

    J'ai trouvé que z1z2+z2z3+z1z3=1
    J'obtiens finalement: P(z)=z3-z2+z-1

    Mais comment puis je résoudre l'équation P(z)=0, c'est un polynome du troisième degré...

    En tout cas merci pour vos indications
    Cordialement

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    kNz

    Re : Petit exercice de complexe

    Ok t'es bien parti, vérifie si y a pas par hasard des solutions évidentes

  8. #6
    anonymus

    Re : Petit exercice de complexe

    Puis utilises le théorème de la racine/de factorisation

    Un indice, -i²
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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  10. #7
    hekla

    Re : Petit exercice de complexe

    Oki grâce à vos indices, cette fois j'obtiens:
    P(z)=(z-1)(z2+1)

    Donc en fait la seule racine de P est 1, cela voudrait il dire que z1, z2 et z3 doivent être égaux à 1?
    Merci encore

  11. #8
    hekla

    Re : Petit exercice de complexe

    Ah non, j'ai oublié que les complexes sortent des réels...
    sinon ils peuvent être égaux à i?

  12. #9
    anonymus

    Re : Petit exercice de complexe

    P(z) = (z-1)(z²+1)
    P(z) = 0 <=> z = 1 ou z² = -1, soit z² = i² d'où z = +i ou -i

    Pour vérifier, fais la somme : 1 + i - i = 1
    Ou calcule le module : |1| = |i| = |-i| = 1
    Ou encore le produit : 1*i*(-i) = 1*(-i²) = 1*1 = 1
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  13. #10
    Duke Alchemist

    Re : Petit exercice de complexe

    Bonjour.
    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    ... Soit z un nombre complexe, z = x + iy avec x et y réels.
    On dit que x est le partie réelle de z, Re(z) = x
    Et iy la partie imaginaire de z, Im(z) = iy...
    Personnellement, j'aurais plutôt écrit
    "Et y la partie imaginaire de z, Im(z) = y"

    Ce doit être une faute d'inattention de la part d'anonymus

    Voilà.
    Bonne journée.
    Duke.

  14. #11
    anonymus

    Re : Petit exercice de complexe

    Oui oui pardon !
    Sinon ça peut fausser plein de choses
    Grosse faute d'inattention (hihi)
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  15. #12
    hekla

    Re : Petit exercice de complexe

    Pour conclure je trouve six couples:
    (1,-i,i)
    (1,i,-i)
    (i,-i,1)
    (i,1,-i)
    (-i,i,1)
    (-i,1,i)

    Est ce bien la conclusion de cet exercice?
    merci encore du temps que vous me consacrez
    cordialement

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  17. #13
    anonymus

    Re : Petit exercice de complexe

    C'est tout bon
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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