Petit exercice de complexe

[hekla]

Bonjour à tous,

Je vous mets l'énoncé ci dessous d'un exercice sur les complexes où je suis bloqué , je ne vois pas ce qu'il faut faire (n'ayant pas encore fait de cours sur les complexes).

"On se propose de rechercher les triplets de nombres complexes (z1,z2,z3) tels que:
- les trois nombres complexes aient tous 1 comme module
- les trois nombres complexes aient pour somme 1
- les trois nombres complexes aient pour produit 1

Le polynome P défini pour tout complexe z par P(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3) admet comme seules racines les trois complexes z1,z2 et z3.

Développer P, donner une expression simple de P permettant de déterminer tous les triplets répondant à l'énoncé. Donner alors toutes les solutions."

Alors en développant puis en factorisant j'obtiens:
P(z)=z^3-z^2(z1+z2+z3)+z(z1z3+z2z3+z1z2 )-z1z2z2
Je ne sais pas si c'est utile mais j'espere que vous pourrez m'éclairer.

Merci à tous
à bientot
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[invitefc60305c]

T'as pas encore fait de cours sur les complexes ?
Bon un ptit aperçu alors :

i² = -1
Soit z un nombre complexe, z = x + iy avec x et y réels.
On dit que x est le partie réelle de z, Re(z) = x
Et iy la partie imaginaire de z, Im(z) = iy

Bon revenons à notre exo,

z1 + z2 + z3 = 1
z1*z2*z3 = 1
Or t'as trouvé que P(z) = blabla
tu remplaces, ce qui donne P(z) = ???
Et tu continues

[kNz]

En fait, il te manque z1z2+z2z3+z1z3, tu peux essayer de le calculer avec les deux égalités qu'on te donne, tu devrais y arriver.

[hekla]

J'ai trouvé que z1z2+z2z3+z1z3=1
J'obtiens finalement: P(z)=z³-z²+z-1

Mais comment puis je résoudre l'équation P(z)=0, c'est un polynome du troisième degré...

En tout cas merci pour vos indications
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Ok t'es bien parti, vérifie si y a pas par hasard des solutions évidentes

[invitefc60305c]

Puis utilises le théorème de la racine/de factorisation

Un indice, -i²

[hekla]

Oki grâce à vos indices, cette fois j'obtiens:
P(z)=(z-1)(z²+1)

Donc en fait la seule racine de P est 1, cela voudrait il dire que z1, z2 et z3 doivent être égaux à 1?
Merci encore

[hekla]

Ah non, j'ai oublié que les complexes sortent des réels...
sinon ils peuvent être égaux à i?

[invitefc60305c]

P(z) = (z-1)(z²+1)
P(z) = 0 <=> z = 1 ou z² = -1, soit z² = i² d'où z = +i ou -i

Pour vérifier, fais la somme : 1 + i - i = 1
Ou calcule le module : |1| = |i| = |-i| = 1
Ou encore le produit : 1*i*(-i) = 1*(-i²) = 1*1 = 1

[Duke Alchemist]

Bonjour.

... Soit z un nombre complexe, z = x + iy avec x et y réels.
On dit que x est le partie réelle de z, Re(z) = x
Et iy la partie imaginaire de z, Im(z) = iy...

Personnellement, j'aurais plutôt écrit
"Et y la partie imaginaire de z, Im(z) = y"

Ce doit être une faute d'inattention de la part d'anonymus

Voilà.
Bonne journée.
Duke.

[invitefc60305c]

Oui oui pardon !
Sinon ça peut fausser plein de choses
Grosse faute d'inattention (hihi)

[hekla]

Pour conclure je trouve six couples:
(1,-i,i)
(1,i,-i)
(i,-i,1)
(i,1,-i)
(-i,i,1)
(-i,1,i)

Est ce bien la conclusion de cet exercice?
merci encore du temps que vous me consacrez
cordialement

[invitefc60305c]

C'est tout bon