comprendre intuitivement dx

[invitebeb55539]

Salut.

Une question qui peut paraitre bête mais je n'arrive pas à appréhender ce concept qu'est "dx". On dit que c'est une variation infinitésimale. Mathématiquement il est définit comme un intervalle qui tend vers 0. Quelqu'un saurait il commenter un peu ce "dx" pour mieux le comprendre ?

Pendant un moment je pensais que c'était le plus petit déplacement possible sur l'axe x, en simple l'écart entre deux points les plus proches, toutefois cette vision ne colle pas avec les techniques comme la dérivée.

Merci d'avance de l'éventuelle aide, bonne soirée.
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[invite6ed3677d]

Bonsoir,
Ton interprétation est correcte.
Qu'est-ce qui ne va pas avec la dérivée ?
C'est bien la variation de y sur la variation de x donc, une pente !

[invitebeb55539]

Si je calcule la dérivée en un point, elle m'informe de la variation au voisinage de ce point (de chaque coté de ce point). Il faut donc prendre en compte au moins le point d'avant et le point d'après, ce qui fait un intervalle minimum de "2dx" et non dx.

De plus les deux points au voisinage, plus celui considéré ne sont pas forcément alignés, la dérivée en un point ne devrait pas être une constante.

[invite6ed3677d]

Si dx est infiniment petit, la dérivée en un point représente la variation infinitésimale en ce point (pas avant ou après puisque qu'on se place infiniment près du point). Les points dont tu parles sont donc alignés.

Exemple : considérons 2 points distants de L sur un cercle. Si L est très petit devant le rayon du cercle, on peut considérer que la courbure du cercle sur l'intervalle L est nulle (sur 2km, la Terre est plate !). Maintenant, si la distance L devient infinitésimale, la courbure EST nulle (c'est un comportement à la limite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebeb55539]

Salut.

Si on ne prend en compte ni le point infiniment proche à droite (x +dx), ni le point infiniment proche à gauche (x-dx), on a seulement le point considéré.
Un point tout seul correspond à un intervalle nul. Infiniment petit c'est tout petit mais non nul, il faut donc forcément un point supplémentaire pour avoir un intervalle infinitésimal dx non nul

[invité576543]

Salut.

Si on ne prend en compte ni le point infiniment proche à droite (x +dx), ni le point infiniment proche à gauche (x-dx), on a seulement le point considéré.
Un point tout seul correspond à un intervalle nul. Infiniment petit c'est tout petit mais non nul, il faut donc forcément un point supplémentaire pour avoir un intervalle infinitésimal dx non nul

Bonjour,

La notation dx implique toujours une limite. Peut-être est-ce plus simple à partir de la dérivée...

Si une fonction se comporte bien, on peut écrire f(x+ε) = f(x) + εf'(x) + ε²g_x(ε) avec une fonction g_x(ε) qui est bornée au voisinage de ε=0.

Cela permet d'écrire f'(x) = (f(x+ε) - f(x))/ε + εg_x(ε) , et f'(x) apparaît comme la limite de cette expression quand ε tend vers 0.

Par raccourci, on écrit cela en remplaçant ε par dx, et en n'écrivant pas le terme supplémentaire, la limite étant implicite par l'usage de l'écriture dx; par exemple f(x+dx) ≈ f(x) + f'(x)dx

En résumé dx est quelque chose de petit, typiquement tel que (dx)² est négligeable devant les termes indiqués, mais qui n'a de sens que par le passage à la limite dx -> 0. C'est juste une écriture pour alléger l'écriture rigoureuse qui exige d'expliciter les passage à la limite.

En espérant que cela aide...

Cordialement,

[invite4793db90]

Salut,

[mode=inutile]

La notation dx implique toujours une limite.

Du point de vue strictement mathématique pas toujours, mais ce n'est plus du niveau du lycée... En fait, la bonne façon de voir dx, c'est comme un vecteur de l'espace cotangent, ou mieux comme une section du fibré cotangent, ce qui justifie toutes les manips des physiciens.
[/mode]

Cordialement.

[invite36dac211]

Martini : l'art la manière de faire simple quand on peut faire compliqué J'aime beaucoup !

Il faut donc prendre en compte au moins le point d'avant et le point d'après, ce qui fait un intervalle minimum de "2dx" et non dx.

dx, c'est justement ce qui sépare le point d'avant et le point d'après.
Tu ne peux pas définir dx pour un point seul.
DELTA(x), c'est l'évolution de x entre deux instants.
dx, c'est DELTA(x) pour deux instants très proches.

Si on ne prend en compte ni le point infiniment proche à droite (x +dx), ni le point infiniment proche à gauche (x-dx), on a seulement le point considéré.
Un point tout seul correspond à un intervalle nul. Infiniment petit c'est tout petit mais non nul, il faut donc forcément un point supplémentaire pour avoir un intervalle infinitésimal dx non nul

Là je ne comprends pas. Tu parles d'intervalles ou de points ?
Si tu parles de points, alors que tu as des fonctions denses dans R, en général, tu as toujours un nombre à droite et un nombre à gauche dans l'intervalle (sauf pour sup et min, mais on va pas chipoter maintenant).

[inviteab2b41c6]

En fait, la bonne façon de voir dx, c'est comme un vecteur de l'espace cotangent, ou mieux comme une section du fibré cotangent, ce qui justifie toutes les manips des physiciens.

C'est effectivement la meilleure façon d'appréhender ça au lycée
Moi j'aime bien penser que c'est une longueur infiniement petite, ce qui colle bien avec la dérivée et l'intégrale comme somme d'aires de rectangle infiniement peu larges.
a+

[invitebeb55539]

Salut.

Merci beaucoup pour les réponses.

Au final je crois que ce n'est pas dx que je ne comprenais pas mais la technique de la dérivée. Même si dans les calculs ça fonctionne, intuitivement ça me parait ne pas fonctionner.
"dx" nait simplement du paradoxe de Zénon, toute chose quantifiable (=non nulle et non infinie) est forcément discontinue et composée d'unités indivisibles (en maths dumoins).

En faisant des recherches j'ai lu que d'après Berkeley la technique de la dérivée fonctionnait dans le calcul parce que cette technique comportait des erreurs qui se compensaient. Je n'ai pas trouvé de quelles erreurs il pouvait bien parler, le savez-vous ?

Bonne continuation.

[invité576543]

En faisant des recherches j'ai lu que d'après Berkeley la technique de la dérivée fonctionnait dans le calcul parce que cette technique comportait des erreurs qui se compensaient. Je n'ai pas trouvé de quelles erreurs il pouvait bien parler, le savez-vous ?

Bonjour,

Je ne connais pas citation (pourrais-tu être plus précis?). Mais il me semble qu'il faut distinguer la physique et les mathématiques. Cette approche est tout à fait valable pour la physique, mais "fausse" en mathématique.

Les maths postulent des fonctions "lisses", pour lesquelles la notion de dérivée est parfairement bien définie.

En physique, on modélise divers phénomènes par des fonctions mathématiquement "lisses", tout en sachant que c'est faux. Cela fonctionne bien parce que "dx" est à la fois 1) petit par rapport à la précision attendue du résultat, et 2) très grand par rapport à l'échelle à laquelle la réalité est "granuleuse".

Ce qui est "moyenné", ces erreurs qui se compensent, sont alors ces "granulations". Dans de nombreux cas la loi des grands nombres fait que l'erreur résultant de cette granulation reste négligeable. Dans le domaine classique, des exemples typiques sont la température ou la pression: le modèle atomique indique que ces fonctions sont sujettes à la granulation des chocs des molécules, mais que l'erreur résultante est négligeable à notre échelle, grâce à la valeur très grande du nombre de molécules à notre échelle, incarnée par le nombre d'Avodagro, de l'ordre de 6 10²³.

Cordialement,

[invitebeb55539]

Salut.

Je ne connais pas citation (pourrais-tu être plus précis?).

C'est tiré d'un livre sur l'histoire et les fondements des mathématiques. Il est simplement dit que Berkeley a critiqué la méthode de Newton, disant que la technique comporte des erreurs et que la justesse vient du fait que celles-ci se compensent. Pas d'informations précises.
Les articles que j'ai trouvé sont payants ("Berkeley's criticism of infinitesimal").

Merci et bonne continuation

[invité576543]

Les articles que j'ai trouvé sont payants ("Berkeley's criticism of infinitesimal").

Le texte d'origine est là

Evidemment, c'est un peu plus difficile à lire qu'une exégèse moderne...

Cordialement,