Etude d'une fonction rationnelle

[invite8937d22e]

bonjour, merci pour votre aide :
Soit f la fonction definie par f(x)=(x²-1)/(x-2) et soit C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( o i j) unité 1 cm sur l'axe des abscisses ; 5mm sur l'axe des ordonnées.

1) determiner l'ensemble de definition de f
2) calculer les limites de f aux bornes de cet ensemble
3) déduire de la question précédente une asymptote D à C
4) etudier les variations de f
5) determiner les réels a,b,c tels que pour tout x appartient a R- {2} : f(x)= ax+b+(c)/(x-2)
6) montrer que la droite Δ d'équation y= x+2 est asymptote de C vers +∞ et vers -∞
7) etudier la position relative de C et de Δ
8) determiner le coefficient directeur de la tangente T1 à C au point A d'abscisse 0
9) determiner une équation de la tangent T2 à C au point B d'abscisse 1
10) determiner tous les points de C ayant une tangente paralléle à T1

determiner les points d'intersections de C avec les axes de coordonnées tracer D1,Δ,T1,T2 et C
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[invite8937d22e]

la 1ere question me géne pour le début

[invite8937d22e]

l'ensemble de definition de f est tout les reels R-{2}
Q2) lim de x²-1/(x-2) lorsque x tend vers + ∞ = FI(forme indeterminé) (car lim x²-1 lorsque x tend vers +∞ = +∞ et lim x-2 lorsque tend vers +∞=+∞), donc on factorise le numérateur é le dénominateur par le monome de plus haut degré :
x²(1-(1/x²)) / x(1-(2/x)) on simplifie on a : x(1-(1/x²) / 1-(2/x)
puis on calcule la limite de chaque facteur : lim de x lorsque x tend vers +∞ =+∞
lim de 1-(1/x²) lorsque x tend vers +∞= 1 , lim de 1-(2/x) lorsque x tend vers +∞ = 1 donc lim x²-1/(x-2) lorsque x tend vers + ∞ =+∞

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

...Soit f la fonction definie par f(x)=(x²-1)/(x-2) et soit C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( o i j) unité 1 cm sur l'axe des abscisses ; 5mm sur l'axe des ordonnées.

1) determiner l'ensemble de definition de f

Comme tu l'as écrit : R\{2}

2) calculer les limites de f aux bornes de cet ensemble

lim en -∞ = -∞ ; lim en +∞ = +∞ (comme tu l'as écrit)
mais il y a les limites en 2^- et en 2⁺ à déterminer...

3) déduire de la question précédente une asymptote D à C

Quand tu auras déterminé les limites en 2 ce sera plus facile

4) etudier les variations de f

Une petite dérivée (??) type u/v

5) determiner les réels a,b,c tels que pour tout x appartient a R- {2} : f(x)= ax+b+(c)/(x-2)

Toujours le même principe : pars de la forme ax+b+c/(x-2), tu mets tout au même dénominateur puis tu compares à l'expression de f(x) de départ (identification des coefficients)... Ou alors tu fais apparaître x²-4 au numérateur et la réponse est immédiate !...

6) montrer que la droite Δ d'équation y= x+2 est asymptote de C vers +∞ et vers -∞

Utilise le résultat de la 5. ... Tu remarqueras (peut-être) qu'il y a les réponses aux coefficients a et b, juste là

7) etudier la position relative de C et de Δ

Etudie le signe de f(x) - (x+2)...

8) determiner le coefficient directeur de la tangente T1 à C au point A d'abscisse 0

Equation de la tangente à Cf en x₀ : y = f'(x₀)*(x-x₀) + f(x₀) (...A SAVOIR...)

9) determiner une équation de la tangent T2 à C au point B d'abscisse 1

même principe que la 8.

10) determiner tous les points de C ayant une tangente paralléle à T1

Que signifie (en terme de dérivée) "parallèle à T1" ?

determiner les points d'intersections de C avec les axes de coordonnées tracer D1,Δ,T1,T2 et C

Il y a bug dans la question, non ?... mais ça ne semble pas être le plus dur

Voilà.

Essaye de faire ça. Bon courage.

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kNz]

Salut,

Pour compléter la réponse complète de Duke
Au lieu de faire une identification des polynomes, tu peux faire beaucoup plus rapide, tu pars de l'expression que l'on te donne, et tu essaies de factoriser le numérateur par le dénominateur, de manière à simplifier par la suite, en corrigeant ce que tu auras en trop

Ok c'est pas très clair..

Par exemple, pour :

[Duke Alchemist]

Je l'ai rajouté avec le "x²-4" à la question 5.

[kNz]

Oups oups oups, réponse ultra complète alors
Au temps pour moi.

[invite8937d22e]

lim [f(x)-(x+2)] , lim lorsque x tend vers +∞ [x+2+ 3/x-2 - x+2 ] = lim lorsque x tend vers +∞ de
3/x-2 =0
lim [f(x)-(x+2)] , lim lorsque x tend vers -∞ [x+2+ 3/x-2 - x+2 ] = lim lorsque x tend vers -∞ de
3/x-2 =0
donc la droite y=x+2 est asymptote oblique a la courbe en +∞ et -∞