[TS] Suites

[invited19ac2e6]

Bonjour, j'ai un petit souci pour une démonstration sur les suites... Je bloque pour l'hérédité... Pouvez vous m'eclairer? merci d'avance.

I est l'intervalle [0;1]. On considere la fonction f definie sur I par f(x)=(3x+2) /(x+4)

On considère la suite u définie par u(0) = 0 et u(n+1)=f(n)

Montrer que pour tout n, u(n) appartient à I.

Posons P(n): u(n) E [0;1]

Initialisation
P(0): u(0)=0, 0 E [0;1] donc P(0) est vraie.

Hérédité
Supposons que pour tout n entier, P(n) soit vraie, montrons que P(n+1) est vraie.

u(n+1) = f(u(n))

f(u(n))= [3u(n) + 2]/[u(n) + 4]

Ensuite je bloque un peu.. j'ai commencer par encadrer u(n) mais ca me parait bizarre..
Vous pouvez me donner des pistes? merci
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[invite4793db90]

Salut,

étudie f sur l'intervalle [0, 1] et montre en particulier que .

Cordialement.

[invited19ac2e6]

Merci de cette reponse rapide.

f'(x)= [3(x+4) -(3x+2)]/ (x+4)²
f'(x)= 3x +12 -3x -2 /(x+4)²
f'(x)=10/(x+4)²

f'(x) strictement positive sur I
f(x) strictement croissante sur I

f(0)=1/2
f(1)=1

f([0;1]) C [0;1]

mais on a pas demontrer que pour tout n, u(n) appartenait a I... non?

[invite4793db90]

Re,

mais on a pas demontrer que pour tout n, u(n) appartenait a I... non?

L'hypothèse de récurrence est que pour un certain entier n, P(n) est vraie : ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited19ac2e6]

Merci pour tout!
Je vais essayer d'expliquer le raisonnement pour voir si j'ai bien compris...
On a vu que P(0) était vraie car u(0)=0 et 0E[0;1]
On a supposer que pour tout n, P(n) était vraie, autrement dit, pour tout n, u(n) E [0;1]
On a calculer l'heredité P(n+1) en etudiant la fonction auxilliaire f(u(n)) car u(n+1)=f(u(n)) et ce sur l'intervalle [0;1] car d'apres l'hypothese, u(n) appartient a [0;1]
Nous avons vu que f([0;1])C[0;1], et donc nous pouvons dire que l'heredité est etablie.
Pour tout n, nous avons bien u(n) E [0;1]

Merci de me corriger si j'ai toujours pas compris

[invite4793db90]

Salut,

c'est bon pour moi, sinon un point de rédaction :

On a supposer que pour tout n, P(n) était vraie,

Ca c'est ce que l'on veut montrer... Ecris plutôt : « on suppose que pour un certain n, P(n) est vraie ».

Cordialement.

[invited19ac2e6]

Merci beaucoup ton aide m'a été très précieux
Bonnes Fêtes à toi