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[TS] Suites



  1. #1
    amaew

    [TS] Suites


    ------

    Bonjour, j'ai un petit souci pour une démonstration sur les suites... Je bloque pour l'hérédité... Pouvez vous m'eclairer? merci d'avance.

    I est l'intervalle [0;1]. On considere la fonction f definie sur I par f(x)=(3x+2) /(x+4)

    On considère la suite u définie par u(0) = 0 et u(n+1)=f(n)

    Montrer que pour tout n, u(n) appartient à I.

    Posons P(n): u(n) E [0;1]

    Initialisation
    P(0): u(0)=0, 0 E [0;1] donc P(0) est vraie.

    Hérédité
    Supposons que pour tout n entier, P(n) soit vraie, montrons que P(n+1) est vraie.

    u(n+1) = f(u(n))

    f(u(n))= [3u(n) + 2]/[u(n) + 4]

    Ensuite je bloque un peu.. j'ai commencer par encadrer u(n) mais ca me parait bizarre..
    Vous pouvez me donner des pistes? merci

    -----

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  4. #2
    martini_bird

    Re : [TS] Suites

    Salut,

    étudie f sur l'intervalle [0, 1] et montre en particulier que .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #3
    amaew

    Re : [TS] Suites

    Merci de cette reponse rapide.

    f'(x)= [3(x+4) -(3x+2)]/ (x+4)²
    f'(x)= 3x +12 -3x -2 /(x+4)²
    f'(x)=10/(x+4)²

    f'(x) strictement positive sur I
    f(x) strictement croissante sur I

    f(0)=1/2
    f(1)=1

    f([0;1]) C [0;1]

    mais on a pas demontrer que pour tout n, u(n) appartenait a I... non?

  6. #4
    martini_bird

    Re : [TS] Suites

    Re,

    mais on a pas demontrer que pour tout n, u(n) appartenait a I... non?
    L'hypothèse de récurrence est que pour un certain entier n, P(n) est vraie : ...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  8. #5
    amaew

    Re : [TS] Suites

    Merci pour tout!
    Je vais essayer d'expliquer le raisonnement pour voir si j'ai bien compris...
    On a vu que P(0) était vraie car u(0)=0 et 0E[0;1]
    On a supposer que pour tout n, P(n) était vraie, autrement dit, pour tout n, u(n) E [0;1]
    On a calculer l'heredité P(n+1) en etudiant la fonction auxilliaire f(u(n)) car u(n+1)=f(u(n)) et ce sur l'intervalle [0;1] car d'apres l'hypothese, u(n) appartient a [0;1]
    Nous avons vu que f([0;1])C[0;1], et donc nous pouvons dire que l'heredité est etablie.
    Pour tout n, nous avons bien u(n) E [0;1]

    Merci de me corriger si j'ai toujours pas compris

  9. #6
    martini_bird

    Re : [TS] Suites

    Salut,

    c'est bon pour moi, sinon un point de rédaction :
    On a supposer que pour tout n, P(n) était vraie,
    Ca c'est ce que l'on veut montrer... Ecris plutôt : « on suppose que pour un certain n, P(n) est vraie ».

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  11. #7
    amaew

    Re : [TS] Suites

    Merci beaucoup ton aide m'a été très précieux
    Bonnes Fêtes à toi

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