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Question sur la relation entre deux sigma



  1. #1
    Universus

    Question sur la relation entre deux sigma


    ------

    Salut à tous,

    Je me posais la question suivante :

    On sait que la somme des n premiers nombres naturles k à la puissance 2 (le premier k étant 1) s'écrit selon la règle :



    Parallèlement, nous pouvons définir chaque possibilité de grâce à une autre règle* :



    De cette façon, peut-on dire :

    ?

    Si oui, existe une notation plus dense encore?

    Merci de votre aide

    Universus

    * Aussi, peut-on dire :

    , ce qui, si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, sont équivalents? Merci encore.

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Salut,

    Citation Envoyé par Universus Voir le message
    De cette façon, peut-on dire :

    ?
    Oui à condition de bien préciser que : il faut faire attention aux indices sur lesquels portent les sommes. Au passage, pour éviter les confusions, la lettre est rarement utilisée pour désigner un entier.

    Si oui, existe une notation plus dense encore?
    On peut écrire

    .

    On pourrait aussi écrire



    avec , mais ça ne présente pas beaucoup d'intérêt ici (surtout qu'on y perd en lisibilité !).

    * Aussi, peut-on dire :

    , ce qui, si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, sont équivalents? Merci encore.
    Oui, il suffit de scinder la somme :



    puis de factoriser 2 dans le premier terme et de calculer la seconde somme qui vaut x+1.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 06/01/2007 à 01h17.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    Universus

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Merci beaucoup martini_bird, j'apprends un peu plus à utiliser les notations

    Amicalement

  5. #4
    Universus

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Salut à tous,

    Peut-être ne devrais-je pas déterrer ce vieux fil, mais au lieu d'en ouvrir un autre au propos similaire, je me suis dit...

    Alors, voici ma question :

    Existe-t-il une façon de... "résoudre" une équation du type :

    ?

    J'ai conscience que c'est une équation pour le moins... large et très peu précise, mais je ne peux être plus précis...

    Merci

    Universus

    PS : Ah oui, il est à noter que xj dépend de i... je ne sais pas si ça change quoique ce soit, mais bon Merci

  6. #5
    Ledescat

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Si c'est une équation avec pour inconnue x, alors cela revient à la résolution d'équations polynomiales.
    Jusqu'au degré 3 on a des formules, après tu sais que c'est vite infaisable (déjà pour 3...).
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Universus

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Salut Ledescat,

    Ma question était vraiment mal formulée et je pense (c'est pas certain encore) avoir trouver la voie à prendre pour résoudre mon problème. Ça a effectivement trait aux équations polynomiales, mais j'avoues ne pas trop comprendre le sens de ton message... Néanmoins, merci pour ta réponse

    Amicalement

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  10. #7
    invite43219988

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Universus, ta double somme n'a pas vraiment d'interêt puisque résoudre ton équation revient à résoudre
    (où an est un mix de tes ai et de tes bj)
    Ce qui est une équation polynômiale comme :
    x²=1
    x²+x+1=0
    x^3+x²+3x-2=0

    Or on ne sait résoudre ces équations dans le cas général que jusqu'à n=4 ! (en fait jusqu'à n=4, on peut exprimer les solutions sous forme de radicaux, pour des n supérieurs c'est parfois possible, parfois non)

  11. #8
    Ledescat

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Or on ne sait résoudre ces équations dans le cas général que jusqu'à n=4 ! (en fait jusqu'à n=4, on peut exprimer les solutions sous forme de radicaux, pour des n supérieurs c'est parfois possible, parfois non)
    Ah d'accord, j'étais plus pessimiste avec mon degré 3 . Je pensais que cardan était la pire chose qui puisse exister, mais je suis curieux de voir pour le degré 4 !
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    invite43219988

    Re : Question sur la relation entre deux sigma


  13. #10
    Ledescat

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Ah la blague !
    Je me disais que c'était presque moins long que cardan, mais non! Au bout de 20 lignes on arrive à une résolution par cardan, brrr .
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    Universus

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Salut,

    Je pose presque toujours des questions qui me dépassent Donc, pour être sûr, qu'entendez-vous par "résolution" (étant donné que mon emploi du terme résolution était une erreur de formulation...)? Voulez-vous dire que pour , il n'y a plus réellement moyen de trouver la valeur de x en ne connaissant que la variable y (par variable, je n'attend pas les paramètres)?

    Il est fort possible que je ne vois pas de réponse d'ici une semaine, alors normal que je ne me manifeste pas si vous répondez

    Merci

  15. #12
    martini_bird

    Re : Question sur la relation entre deux sigma

    Salut,

    une équation de degré au moins 5 admet des solutions qui ne sont en général pas exprimables à l'aide de radicaux. Mais il est clair que par exemple l'équation admet pour solutions x=2 (et dans C). Par ailleurs, l'équation générale de degré 5 peut se résoudre en terme de fonctions elliptiques.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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