Barycentres 1èreS

[invitef4d3ed0c]

Bonjour,

J’ai deux exercices du livre de Maths déclic 1èreS que je n’arrive pas à faire en partie, il s’agit du chapitre 13 sur les barycentres. A l’aide !!!

Ex 53 page 345

ABCD est un parallélogramme.
I désigne le milieu de [AD] et E me centre de gravité du triangle ACD.
On définit le point F par vecteurBF=1/4 vecteurBC
Enfin, K désigne le milieu de [EB].

1-Démontrer que K est le barycentre de (A ;1), (B ;3), (C ;1) et (D ;1).

En effectuant le calcul du dit barycentre je trouve :

vecteurAK=1/2vecteurAB + 1/6vecteurAC + 1/6vecteurAD

Mais je ne sais pas comment m’y prendre avec les données que j’ai et ce calcul, comment justifier en fait.


Ex 31 page 342

1-Construire un triangle ABC vérifiant :
AC=12, BA=10 et CB=8
Placer le barycentre G de (A ; 1) (b ;2) et (c ;1) (unité graphique : 1cm)

J’ai bien entendu réalisé la figure et placé G avec vecteurAG=1/2vecteurAB + 1/4vecteurAC
C’est la suite qui pose problème.

2-Déterminer et construire l’ensemble E des points M du plan tels que :
||vecteurMA + 2vecteurMB + vecteurMC||=||AC||

3-F désigne l’ensemble des points N du plan tels que :
||vecteurNA + 2vecteurNB + vecteur NC||=||vecteurBA + vecteurBC||

a) montrer que le point B appartient à F.
b) déterminer et représenter l’ensemble F.

4-Déterminer et représenter l’ensemble des points P tels que :
||vecteurPA + 2vecteurPB + vecteurPC||=||3vecteurPA + vecteurPC||


Merci d’avance !
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[invitea3eb043e]

Pour le n°1, il est commode de s'intéresser au point O, intersection des diagonales et de tout repérer par rapport à ce point-là, notamment en faisant intervenir les vecteurs OA, OB, etc..

Que vaut le vecteur OE ?
Que vaut alors le vecteur OK ?
Conclus sur le barycentre.

[invitef4d3ed0c]

Merci! Bien, je vais m'y atteler... Et en ce qui concerne le deuxième?

[invitedb6df3a3]

La question 2 est pourtant assez simple ! (je parle du 2eme exo)
||MA + 2MB + MC|| = ||AC|| (il s’agit bien sûr de vecteurs.)
Or MA + 2MB + MC = 4MG car G bary de (A,1) (B,2) (C,1)
On obtient donc :
||4MG|| = ||AC||
4MG = AC (attention : ce ne sont plus des vecteurs mais des longueurs)
MG = 1/4AC
Ce qui fait que M appartient au cercle de centre G et de rayon 1/4AC = 12/4 = 3 cm.
Par contre je dois t’avouer que pour la 3 je sèche…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb6df3a3]

Désolé, je ne trouve vraiment pas les réponses pour la 3…
En revanche, pour la 4 c’est bon :
||PA + 2PB + PC|| = ||3PA + PC||
PA + 2AB + PC = 4PG (vecteurs)
Et : Soit K barycentre de (A,3) et (C,1) :3PA + PC = 4PK
On obtient alors :
||4PG|| = ||4PK||
4PG = 4PK (longueurs)
PG = PK
P appartient à la médiatrice de [GK]. Ne reste plus qu’à positionner K :
Si K bary de (A,3) (C,1) :
3KA + KC = 0 (le tout en vecteurs bien sûr)
3KA + KA + AC = 0
4KA = -AC
Ce qui nous donne : AK = 1/4AC
Allez il te reste plus qu'à réflechir à une question

[invite880b3292]

Bonsoir.
Voilà, j'ai également un exercice de ce livre qui me pose quelques problèmes .

C'est l'exercice 44 page 391 :

" Dans un tétraèdre régulier ABCD d'arête a, déterminer le lieu géométrique L des points M de l'espace qui vérifient :
|| vecteurMA + vecteurMB + vecteurMC + vecteurMD || = a racine de 6 "

Voilà si vous pouvez m'aider ça serait gentil

Merci d'avance.

[invitea3eb043e]

On sent à des kilomètres qu'il faut introduire l'isobarycentre des 4 points A, B, C, D.
Ensuite, il faut le situer dans le tétraèdre, ce qui est à peine moins facile.

[invite880b3292]

Ok merci.
je vais essayer