Fonction x^x, e^x et dérivé

[invite42f885fe]

Bonjour à tous, je suis elève de terminale S, et ayant vue la fonction expo en début d'année, je me suis demandé comment ils l'avaient trouvé.

Car ses caractéristiques étant y'=y et y(0)=1, je me suis demandé quelle est sa démonstration.
Car dans le cours finalement on voit son unicité, mais ça nous dit pas comment Euler l'a trouvé.

En même temps je cherchais un peu les propriétés de la fonction x^x, et sa dérivation... Que j'arrive pas à faire !



Donc si vous pouviez déjà m'aider sur ce point...

Enfin avec ma calculatrice, je me suis rendu compte que si on donnait à l'exposé un valeur fixe inférieure à e, sa dérivé lui était inférieure (ex : y(x) = 2^x, y(5) = 2^5 = 32, et y'(x) = ~22 )

Par contre avec un nb supérieur à e, sa dérivé est supérieure (ex : y(x) = 4^x, y(5) = 256, y'(x) = ~355)


Et de là une autre question : comme Euler est il parvenu à trouver le chiffre e ? Par de très nb calcul afin d'avoir sa valeur approximative, puis en démontrant son unicité ? Ou y'a t-il une démonstration directe ?


Merci bcp
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[indian58]

Pour dériver x^x; c'est simple c'est une composition de fonctions: (x^x)'= (e^(xlnx))'=(xlnx)'* (e^(xlnx))=(1*lnx+x*1/x)*x^x=(1+lnx)*x^x.

[invite42f885fe]

Merci de ta réponse, mais j'ai pas compris de comment tu passe de x^x à e^(xlnx) ???

[invitec2b75671]

pour a>0
ln(a^b)=b*ln(a)

pour x>0

e(ln(x))=x

donc x^x=e(ln(x^x))=e(x*ln(x))

tu peux ainsi réécrire toute les fonction puissance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42f885fe]

Oui merci, ce qui me genait c'était (e^(ln(x)))^x écrit sous la forme e^(xlnx) mais en fait c normal ^^


Merci qd même

[invite78eb52a2]

merci beaucoup pour votre aide .... mais pourquoi la fonction x^x n'est pas definie sur R*par exp: (-1)^(-1)=-1..... c'est definie ....!!! quelle est le problème ???.....

[Jeanpaul]

Au lieu de prendre x entier, prends donc x = -0.5

[invite78eb52a2]

oui cé vrai ... mais x=-1 aussi correct !!!??? .... qu'est-ce que vous voulez dire .....???

[Jeanpaul]

Qu'il y a quelques cas très spéciaux qui marchent (les entiers négatifs) mais la plupart du temps, ça ne marche pas parce qu'on passe par les log et que les log de choses négatives, ça n'existe pas.

[invite78eb52a2]

ah.. d'accord Merci..