Domaine d'intégration

[invite1ea97de8]

Bonjour, je suis présentement un cours dans lequel on doit faire des intégrales triples et double. Ce qui me cause souvent problème c'est de bien identifier mon domaine d'intégration.
Par exemple, les fonctions du style :
x^2+y^2+z^2 = z me donne du fil a retorde
Je sais que c'est une sphère, mais de rayoon sqrt(z) ???

On dit aussi de ce domaine qu'il est limité par le cone d'équation z^2=3*(x^2+y^2)

ALors j'imagine que ca ressemble a un cornet de crème galcé avec une boule de crème à la glace dessus. Mais j'ai plusieurs questionnement. Commencon par le premier
L'équation x^2+y^2+z^2 = z ... que veut dire le z ?? Je ne la comprend pas.

Deuxième question, dison que je passe en coordonné sphérique jai alors
x^2+y^2+z^2= z
r^2=rcos(A)
r=cos(A)

Ensuite r^2cos^2(A) = 3*(r^2sin^2(A))
r^2(1-sin^2(A))-3r^2sin^2(A)) = 0
on peut simplifier les r^2
1-4sin^2(A) = 0
1/4 = sin^2(A)
1/2 = sin(A)
A=pi/6

À partir de la je peux aussi me dire que Teta doit varier de 0 à 2pi...
mais ce qui me tracasse c'Est comment je suis sensé faire pour deviner que r varie de 0 a cos(A) . pourquoi il ne varierait pas de cos(A) à ? et pourquoi A (phi en l'occurence) varie de 0 a pi/6 et non pas de Pi/6 à autre chose? Comment on fait pour deviner ca? Et pi sans l'exemple de mon livre j'aurais jamais pu dessiner la figure correctement donc je n'aurais pas déduit mes bornes.. bref j'ai un probleme
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[invited40176e2]

salut,

alors pour répondre à ta première question, effectivement l'équation
x^2+y^2+z^2=r^2 désigne la sphère de rayon r (constant)(centrée à l'origine) dans l'espace à trois dimensions.
on peut aussi considérer comme tu le fais

x^2+y^2+z^2=r^2(z), où le rayon de la "sphère" dépend de l'altitude (si on travaille dans un repère où l'axe z est vers le haut). grosso modo pour chaque valeur de z donnée tu aura dans le plan (x,y) l'équation d'un cercle dont le rayon dépendra de la valeur de z.

bon dans ton cas,
x^2+y^2+z^2=z, z=r^2, tu peux voir que cela se réécrit comme
x^2+y^2=z-z^2, ou encore x^2+y^2=z(1-z), bon là tu vois que le membre de gauche est >0 et donc cela implique que z(1-z)>0 aussi et tu ass alors des bornes pour z: z>0 et z<1.
peut-être que ça peut t'aider pour l'intégration.

[invite1ea97de8]

Bien j'ai finit par résoudre le problème. En fait
x^2+y^2+z^2-z = 0
on peut écrire
x^2+y^2+(z-1/2)^(2)-1/4=0
on a donc une sphère centré en (0,0,1/2) de rayon 1/2.