[Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère
Bonjour
Nous sommes plusieurs à chercher le problème suivant, alors autant vous en faire profiter
Un cercle de rayon r est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Il touche [AB] au point P et [CD] au point Q. On a AP=19, PB=26, CQ=37 et QD=23. Trouver r.
Indices : (IC) est la bissectrice de ^C, (IB) est la bissectrice de ^B, (IA) est la bissectrice de ^A et (ID) est la bissectrice de ^D ; la somme des angles dans un quadrilatère veut 360° ; utilisation des propriétés des triangles semblables ?
Je pense que c'est un début, j'essayee de trouver la solution
En fait, je crois qu'on en a pas besoin, j'ai trouvé quelque chose, je n'ai aps le temps de vraiment vérifier, j'ai d'autres devoirs à faire, mais je la poste quand même, histoire qu'on me corrige si cela est faux.
Dans le triangle rectangle IQC, d'après la loi des sinus on a :
Or l'angle C est un angle droit, donc sin C = 1. On a alors :
Ca sent la solution fausse, mais bon ...
Héhé, mince c'est faux en effet, vu que IQC n'est pas cirsonscrit au cercle ...
J'ai trouvé une autre méthode, je pense que cette fois-çi c'est la bonne. J'ai utilisé la formule dite de Brahmagupta, qui est une généralisation de la formule de Héron, visant à calculer l'aire d'un quadrilatère convexe en ne connaissant que ses 4 côtés.
où
Soit A l'aire du quadrilatère BADC avec BA = 45, AD = 42, DC = 60, BC = 63 et p = 105, on a alors :
Posons maintenant A(1), A(2), A(3) et A(4) les aires des quadrilatères respectifs CFIQ, DQIE, EIPA et PBFI on a alors :
De la même manière on a A(2) = 23r, A(3) = 19r et A(4) = 26r.
Or,
A = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) <=><=>
Donc
Salut Guillaume
Cette formule ne s'applique-t-elle pas uniquement si les sommets du quadrilatère sont alignés sur un cercle ? Car j'avais pensé à l'utiliser aussi.
Sinon ehlor a trouvé la réponse sur l'ile (qui s'approche de la tienne) en utilisant une formule que je ne connaissais pas.
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120559.html#fin
Ahh, moi je trouve
Fractal > Mais tu es sûr qu'on peut appliquer ta formule pour un quadrilatère convexe quelconque ?
Car imagine un losange que l'on applatirait, la longueur des côtés resterait la même mais quant à l'aire...
La formule de Brahmagupta ne s'applique que si les 4 sommets sont sur un cercle, ce qui l'empêche de s'écraser. Pas de raison que ça s'applique ici.
Bonsoir Jean Paul et merci d'avoir confirmé
Merci aussi à Guillaume de s'être intéressé au problème
Plus je regarde cet exo plus il me paraît bizarre.
Intuitivement, j'ai l'impression que si on prend un quadrilatère déformable, le plus souvent il n'y a pas de cercle inscrit, il faut un cas bien particulier pour qu'un cercle touche les 4 côtés.
Ici, en plus, on impose avec précision les positions des points de contact. Il faut que les mesures aient été soigneusement sélectionnées pour que ça marche.
En bref, je pense qu'il y a trop de données.
Bonjour Jean Paul
L'énoncé ne précisait pas que les sommets du quadrilatère se situaient sur un cercle. Vous pouvez allez voir sur le lien que j'ai donné hier, une personne y apporte une réponse sans avoir recours à la dite formule.
Exact, ce genre de quadrilatère est appelé "quadrilatère circonscriptible", quand les côtés de celui-çi sont tangents à un même cercle. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel quadrilatère ABCD convexe soit circonscriptible est qu'il faut que ses côtés vérifient la relation : AB + CD = AD + BCIntuitivement, j'ai l'impression que si on prend un quadrilatère déformable, le plus souvent il n'y a pas de cercle inscrit, il faut un cas bien particulier pour qu'un cercle touche les 4 côtés.
Je découvre là, c'est intéressant, je vais essayer d'en savoir plus sur la démonstration.
Pas besoin, je vous la fournie, elle est tirée d'un de mes bouquins "Les olympiades de mathématiques : réflexes et stratégies" de Soualmi Tarik (en pièce jointe)
Bonjour ! Je suis intéressé par la correction de l'exercice. Merci d'avance !
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
