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[Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère



  1. #1
    Infophile

    Thumbs up [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère


    ------

    Bonjour

    Nous sommes plusieurs à chercher le problème suivant, alors autant vous en faire profiter

    Un cercle de rayon r est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Il touche [AB] au point P et [CD] au point Q. On a AP=19, PB=26, CQ=37 et QD=23. Trouver r.

    -----
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  3. #2
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Indices : (IC) est la bissectrice de ^C, (IB) est la bissectrice de ^B, (IA) est la bissectrice de ^A et (ID) est la bissectrice de ^D ; la somme des angles dans un quadrilatère veut 360° ; utilisation des propriétés des triangles semblables ?

    Je pense que c'est un début, j'essayee de trouver la solution

  4. #3
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    En fait, je crois qu'on en a pas besoin, j'ai trouvé quelque chose, je n'ai aps le temps de vraiment vérifier, j'ai d'autres devoirs à faire, mais je la poste quand même, histoire qu'on me corrige si cela est faux.

    Dans le triangle rectangle IQC, d'après la loi des sinus on a :



    Or l'angle C est un angle droit, donc sin C = 1. On a alors :







    Ca sent la solution fausse, mais bon ...
    Dernière modification par Guillaume.B ; 12/02/2007 à 17h25.

  5. #4
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Héhé, mince c'est faux en effet, vu que IQC n'est pas cirsonscrit au cercle ...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    J'ai trouvé une autre méthode, je pense que cette fois-çi c'est la bonne. J'ai utilisé la formule dite de Brahmagupta, qui est une généralisation de la formule de Héron, visant à calculer l'aire d'un quadrilatère convexe en ne connaissant que ses 4 côtés.





    Soit A l'aire du quadrilatère BADC avec BA = 45, AD = 42, DC = 60, BC = 63 et p = 105, on a alors :



    Posons maintenant A(1), A(2), A(3) et A(4) les aires des quadrilatères respectifs CFIQ, DQIE, EIPA et PBFI on a alors :



    De la même manière on a A(2) = 23r, A(3) = 19r et A(4) = 26r.

    Or,

    A = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) <=> <=>

    Donc

  8. #6
    Infophile

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Salut Guillaume

    Cette formule ne s'applique-t-elle pas uniquement si les sommets du quadrilatère sont alignés sur un cercle ? Car j'avais pensé à l'utiliser aussi.

    Sinon ehlor a trouvé la réponse sur l'ile (qui s'approche de la tienne) en utilisant une formule que je ne connaissais pas.

    http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120559.html#fin

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  10. #7
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Ahh, moi je trouve ça doit être bon avec cette formule, j'dois avoir mal calculé quelque chose pour avoir un écart d'une unité avec ehlor ^^

  11. #8
    Infophile

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Fractal > Mais tu es sûr qu'on peut appliquer ta formule pour un quadrilatère convexe quelconque ?

    Car imagine un losange que l'on applatirait, la longueur des côtés resterait la même mais quant à l'aire...


  12. #9
    Jeanpaul

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    La formule de Brahmagupta ne s'applique que si les 4 sommets sont sur un cercle, ce qui l'empêche de s'écraser. Pas de raison que ça s'applique ici.

  13. #10
    Infophile

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Bonsoir Jean Paul et merci d'avoir confirmé

    Merci aussi à Guillaume de s'être intéressé au problème

  14. #11
    Jeanpaul

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Plus je regarde cet exo plus il me paraît bizarre.
    Intuitivement, j'ai l'impression que si on prend un quadrilatère déformable, le plus souvent il n'y a pas de cercle inscrit, il faut un cas bien particulier pour qu'un cercle touche les 4 côtés.
    Ici, en plus, on impose avec précision les positions des points de contact. Il faut que les mesures aient été soigneusement sélectionnées pour que ça marche.
    En bref, je pense qu'il y a trop de données.

  15. #12
    Infophile

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Bonjour Jean Paul

    L'énoncé ne précisait pas que les sommets du quadrilatère se situaient sur un cercle. Vous pouvez allez voir sur le lien que j'ai donné hier, une personne y apporte une réponse sans avoir recours à la dite formule.

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  17. #13
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Intuitivement, j'ai l'impression que si on prend un quadrilatère déformable, le plus souvent il n'y a pas de cercle inscrit, il faut un cas bien particulier pour qu'un cercle touche les 4 côtés.
    Exact, ce genre de quadrilatère est appelé "quadrilatère circonscriptible", quand les côtés de celui-çi sont tangents à un même cercle. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel quadrilatère ABCD convexe soit circonscriptible est qu'il faut que ses côtés vérifient la relation : AB + CD = AD + BC

  18. #14
    Jeanpaul

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Je découvre là, c'est intéressant, je vais essayer d'en savoir plus sur la démonstration.

  19. #15
    Guillaume.B

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Pas besoin, je vous la fournie, elle est tirée d'un de mes bouquins "Les olympiades de mathématiques : réflexes et stratégies" de Soualmi Tarik (en pièce jointe)
    Images attachées Images attachées  

  20. #16
    danyvio

    Re : [Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

    Bonjour ! Je suis intéressé par la correction de l'exercice. Merci d'avance !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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