[FICHE] Equations trigonométriques

[Bruno]

Note de la modération : ce fil est un espace de rédaction où l'auteur a toute liberté pour effectuer ses modifications / corrections etc.. Le message final sera intégré dans les méthodes à retenir. Merci à Bruno.

Pour la modération,
martini_bird.

Version en cours de finalisation.

:: RESOLUTION D'EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES ::
Equations et inéquations.

Notation : k est un entier


1. RAPPELS : EQUATIONS FONDAMENTALES.

Alors ça c'est simple :

1) sin x = sin a

2) cos x = cos a

ou

3) tg x = tg a

ET !!!

2. EQUATIONS REDUCTIBLES AU TYPE FONDAMENTAL PAR FACTORISATION.

Il vous suffira parfois de factoriser votre expression

exemple :
sin x + sin 2x + sin 3x = 0
2sin (2x) . cos (-x) + sin (2x) = 0
sin (2x).(2cos x + 1) = 0

Et vous résolvez chaque membre séparemment..

Euh..... comment t'as fait ? : Tout simplement grâce aux formules trigonométriques, je sais que c'est embêtant mais vous DEVEZ les connaître si vous voulez pas galérer par la suite !

2. EQUATIONS TYPE "a.cos x + b.sin x = c".

a, b et c sont différents de zéro, sinon c'est trop facile

Alors là il existe deux méthodes principales :

2.1 Première méthode.

Commençons par la plus longue

Je vais d'abord faire un schéma de cette méthode et ensuite l'appliquer à un exemple :

1 - on divise b et c par a
2 - on pose , beta étant strictement compris entre et et
3 - on pose

Bon, ça c'est pour le plan, car je suis sur que si vous n'avez jamais vu ça, vous avez surement décroché au 2 (ou alors vous êtes surdoué :S). Prenons donc un exemple :

Trouver x : 3cox (x) + sin (x) =

//bon alors là à première vue vous êtes complètement paumé
//je vous propos donc d'appliquer notre méthode :S

// commençons par le 1
// on nous dit qu'il faut tout diviser par a, ici le a vaut le nombre 3 :

3cox (x) + sin (x) =

devient

cox (x) + sin (x) =

//le point 2 maintenant : il nous dit de poser une tangente, telle qu'elle soit égale au quotient b/a :

tg (A) = b/a = \frac{\sqr{3}}{2}

Le A valant

// notre équation devient donc :



// et si on développe tout ça :

// or on connais la valeur du A (pi/6), le membre de droit est donc :
// par la formule formule trigonométrique, le membre de droit devient , et l'équation se ramène donc à :

Et ça vous savez résoudre !

2.2 Deuxième méthode.

Celle-ci est plus rapide : en effet on va prodéder à la même substituion que l'on utilise dans le calcul intégral :

Poser

Et on a donc :

Et si vous substituez tout ça dans notre équation type a.cox (x) + b.sin (x) = c , vous tomberez sur ceci :

(c+a).t² - 2bt + (c-a) = 0

Et ça, c'est une bête équation du second degré que vous résolvez en cherchant le discriminant (le "delta" pour les bêtes, et le "rho" pour les malins)etc... puis vous trouver deux valeurs pour t...

Ensuite vous avez donc vos deux valeurs (les racines) pour t, appellons les t' et t''

On avait posé

Donc

Et vous venez de trouver x !

3. EQUATIONS SYMETRIQUES EN SIN (X) ET EN COS (X).

Qu'est-ce que c'est que ça ? Prenez votre équation, et permuttez les cos et sin. Si vous retombez sur la même fonction, c'est une fonction symétrique !

Si vous avez affaire à une telle équation, foncez directement dans cette substitution :

Poser

Et vos sin et cos deviennent ceci :

Après, vous mettez tout ça en musique dans votre équation, et vous retomberez alors sur une expression simplifiable grâce à vos formules trigonométriques que vous connaissez tous par coeur !

Un petit exemple :

Résoudre : sin x + cos (x) = 2sin x . cos x

// si on permutte les sin et cos ensemble, on retombe bien sur la même fonction, donc on peut faire la substitution !

//on arrive donc à ceci :

//et revoilà une fonction du second degré facilement résolvable
//une fois que vous avez trouvé les valeurs de y, vous reprenez vos y et y ajoutez pour avoir vos x ! (car substitution plus haut).

4. EQUATIONS TYPE "a.(sin x + cos x) + b.sin x . cos x = 0"

Il vous suffit de poser y = sin x + cos x , et le produit de ces deux là devient :

Vous retombez sur une fonction du second degré, trouvez les valeurs du y et....

et vous réutilisez ce que vous avez appris au point précédent (le 3), à savoir, comment résoudre ceci :

y = sin x + cos x (équation symétrique !).

Vous résolvez bien sur pour les deux valeurs de y

5. EQUATIONS HOMOGENES TYPE "a.sin² x + b.sin x .cos x + c.cos² x = 0".

Il faut dans un premier temps tout diviser par cos² x, vous retombez sur ceci :

a.tg² x + b.tg x + c = 0

Vous pouvez poser t = tg² x, ou bien directement résoudre votre équation du second degré (cela revient au même, la première façon étant plus "logique" ).

6. LES INEQUATIONS.

Rappel :

1) sin x < a

<=> sin x < sin , en posant sin = a
|a| < 1 [/B]

2) cos x < a

<=> cos x < cos , en posant cos = a
|a| < 1 [/B]

3) tg x < a

<=> tg x < tg , en posant tg = a

4) cotg x < a

<=> cotg x < cotg , en posant cotg = a

N.B. : Quand vous avez affaire à une inéquation, et qu'elle n'est pas immédiate (càd du type que celles ci-dessus), il vous suffit de tout mettre dans un seul membre, de trouver les racines, et de faire votre tableau de signe.
-----

[invité576543]

Salut,

Pour le 2., je l'aurais présenté comme se ramener à sin(u)cos(x)+cos(u)sin(x) = sin(u+x) = quelque chose

On cherche d'abord à trouver u tel que sin(u) = a/(sqrt(a²+b²) et cos(u) = b/(sqrt(a²+b²), ce qui revient à prendre arctg(a/b) et à ajouter pi quand nécessaire selon les signes (ou arcos, ou arcsin...). Puis on résoud sin(u+x) = c/(sqrt(a²+b²)

Cordialement,

[Bruno]

Salut,

Pour le 2., je l'aurais présenté comme se ramener à sin(u)cos(x)+cos(u)sin(x) = sin(u+x) = quelque chose

On cherche d'abord à trouver u tel que sin(u) = a/(sqrt(a²+b²) et cos(u) = b/(sqrt(a²+b²), ce qui revient à prendre arctg(a/b) et à ajouter pi quand nécessaire selon les signes (ou arcos, ou arcsin...). Puis on résoud sin(u+x) = c/(sqrt(a²+b²)

Cordialement,

Tu peux développer ta méthode ?

[invité576543]

Tu peux développer ta méthode ?

Elle me semblait déjà développée... La même chose autrement...

On part de a cos(x)+b sin(x) = c (au fait, il y a deux sections 2., je parlais de la seconde section 2. )

On divise par sqrt(a²+b²) (si c'est nul, je laisse au lecteur le soin de résoudre l'équation ), on obtient a' cos(x)+b' sin(x) = c', avec a'²+b'²=1

On cherche l'angle u, unique entre 0 et 2pi, tel que sin(u) = a' et cos(u)=b'. En prenant par exemple u=arccos(b') + signe(a') pi.

L'équation se réécrit alors sin(x+u) = c', que l'on résoud comme indiqué section 1.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea283c2fa]

:: RESOLUTION D'EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES ::
Equations et inéquations.

Notation : k est un entier


1. RAPPELS : EQUATIONS FONDAMENTALES.

Alors ça c'est simple :

1) sin x = sin a

euh

ce serait pas plutôt ou


???

[Bruno]

euh

ce serait pas plutôt ou


???

En fait il y a eu inversion (et oubli d'un pi) entre la 1) et la 2)

ce qui devient donc


1. RAPPELS : EQUATIONS FONDAMENTALES.

Alors ça c'est simple :

1) sin x = sin a

ou

2) cos x = cos a