Logique Booléenne

[invite693d963c]

Bonjour,

J'ai fait des recherches sur la Logique Booléenne et il y a des truc qui me tracasse

Tout d'abord, qu'est ce que signifie les traits que l'on peut voir au dessus de lettres ?

Merci
-----

[invite6de5f0ac]

Tout d'abord, qu'est ce que signifie les traits que l'on peut voir au dessus de lettres ?

Bonjour,

Le trait au-dessus d'une lettre (par exemple Ā) indique la négation: ici Ā = (non A). On peut aussi placer le trait au-dessus de toute une expression mais je ne sais pas le faire avec LaTeX, désolé.

Il faut dire que les notations en logique booléenne ne sont pas très bien standardisées.

-- françois

[invite693d963c]

Ok, donc

Si l'ensemmble de l'expression suivante a un trait au dessu ainsi que les lettres => non ( non x et non y)

[invitefc60305c]

Ā signifie le complémentaire de A.
C'est-à-dire que A+Ā = 1
Ou si tu veux, que A+Ā forment l'univers.
Pour illustrer, supposons que ton corps = univers, et A = ta main droite, Ā est tout ton corps privé de ta main droite. Ainsi A+Ā = tout ton corps.

Je suppose que t'as lu ce document ?
http://lifc.univ-fcomte.fr/~garcia/E...iCours3pdf.pdf

Il est facile à comprendre, et illustre bien de quoi il en retourne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Désolé, je m'étais absenté un moment... Bon, j'essaye avec LaTeX. Si j'ai bien compris tu as

Donc d'après De Morgan ça donne

c'est-à-dire simplement

Voilà.

-- françois

[invite693d963c]

Ok

Ensuite, je voudrais savoir commment on se prend pour calculer des valeurs de vérité ?

Exemple,

R => Faux
S => Vrai

les valeur de vérité de, on va prendre pa exemple,
R( avec le trait au dessu) et S => ?
Je ne comprend pas comment on peut resoudre cette expression ?

[invite6de5f0ac]

Le plus simple, quand il n'y a pas trop de variables, est de faire un tableau. Par exemple ton expression est

Alors tu fais le tableau

(et zut, désolé, je ne sais plus pourquoi le LaTeX du Forum met des <br/>, mais bon, ça reste lisible).

Dans des cas plus compliqués il faut jongler avec les identités de De Morgan et les lois de distributivité pour simplifier l'expression au maximum. &#0199;a demande de l'habitude et du feeling...

-- françois

[invite693d963c]

Donc, je suis ton raisonnement, je fais mon tableau de vérité pour 4 propositions ( P, Q, R et S )

P => Vrai
Q => Faux
R => Faux
S => Vrai

Avec ces valeurs de verité comment je peut determiner des valeur de verité t =R avec un trait et S ? en Binaire ?

[invite6de5f0ac]

Oh, je note 0 et 1 au lieu de Faux et Vrai par commodité... et aussi parce que j'ai pas mal bossé dans l'informatique. C'est juste une question de convention.

Le tableau de vérité c'est surtout valable quand on veut avoir toutes les possibilités (ça en fait 16 avec 4 variables). Mais pour un calcul spécifique, il faut connaître par coeur les règles de base:

P = Vrai => P barre = Faux
P = Faux => P barre = Vrai

P = Vrai et Q = Vrai => (P et Q) = Vrai
(P et Q) = Faux dans tous les autres cas

P = Faux et Q = Faux => (P ou Q) = Faux
(P ou Q) = Vrai dans tous les autres cas

-- françois

[invite693d963c]

Je commence à comprendre, merci beaucoup

Donc,

R = Faux = 0 => R barre = 1
S = Vrai = 1
Donc le tout = 1 soit vrai

Est ce que il y a une difference de resultat si on avait "ou" a la place de "et", exemple,

R barre ou S barre ?

Si cela ne change rien, le resultat doit etre le suivant,
R = Faux = 0 => R barre = 1
S = Vrai = 1 => R barre = 0

la solution je pourrais pas te le dire, je ne la trouve pas

[invite6de5f0ac]

A priori il y a une différence... Mais il y a quelques identités à connaître par coeur (au moins autant que (a+b)² en algèbre) qui s'appellent identités de De Morgan:

(P ou Q) barre = (P barre) et (Q barre)
(P et Q) barre = (P barre) ou (Q barre)

et évidemment (P barre) barre = P.

Dans ton exemple,

(R barre) et S = (R ou (S barre)) barre

À toi de voir la forme qui t'est la plus agréable. Ou la plus commode. En électronique c'est surtout dicté par la disponibilité des portes AND et OR, on n'en a pas toujours à volonté.

-- françois

[invite693d963c]

D'accord, dans le resultat est ce que "et" ou "ou" intervient, cad est ce que l'on peux dire que :

(P barre) et (Q barre) = (P barre) ou (Q barre)
1 et 1 = 1 ou 1

[invite693d963c]

D'accord, dans le resultat est ce que "et" ou "ou" intervient, cad est ce que l'on peux dire que :

(P barre) et (Q barre) = (P barre) ou (Q barre)
1 et 1 = 1 ou 1

Je dirais (P ou Q) = Vrai vu que,
P = Faux et Q = Faux => (P ou Q) = Faux
(P ou Q) = Vrai dans tous les autres cas

[invite6de5f0ac]

Aaargh! Si "et" et "ou" étaient équivalents il n'y aurait pas deux mots différents...

(P barre) et (Q barre) = (P ou Q) barre par De Morgan. Le fait que "1 et 1" = "1 ou 1" (ce qui est exact) ne permet pas de déduire quoi que ce soit dans les autres cas...

Essaye d'interpréter "intuitivement". (P ou Q) barre s'appelle également "ni P ni Q". Là ça devrait être clair: non (P ou Q) veut dire "ni P ni Q" donc pas P et pas Q. Tu devrais relire "Logique sans peine" de Lewis Caroll, c'est plein de petits exemples pseudo-concrets complètement déjantés mais qui permettent de s'exercer au raisonnement formel.

-- françois

[invite693d963c]

Bon ben, pour voir si j'ai bien comprit, j'ai fais des exercices que j'ai trouvé, pourrais tu me dire si cela est correct ?

P => Vrai = 1
Q => Faux = 0
R => Faux = 0
S => Vrai = 1

Donc faut que je trouve, si c'est vrai ou faux

1) R barre et S => Faux barre et Vrai => Vrai et Vrai
Ici, R et S sont vrai alors l'expression ( R barre et S) est vrai

P = Vrai et Q = Vrai => (P et Q) = Vrai
(P et Q) = Faux dans tous les autres cas

Reponse => 1

2) P barre ou Q barre => Vrai barre ou Faux barre => Faux ou Vrai
Ici, seul P est faux alors l'expression ( P barre ou Q barre ) est vrai

P = Faux et Q = Faux => (P ou Q) = Faux
(P ou Q) = Vrai dans tous les autres cas

3) Q et R barre => Faux et faux barre => faux et vrai
Ici seul R est vrai alors l'expression ( Q et R barre ) est fausse

P = Vrai et Q = Vrai => (P et Q) = Vrai
(P et Q) = Faux dans tous les autres cas

4) ( P barre et Q ) Barre => Donc d'après De Morgan ça donne => P et Q barre => Vrai et Faux barre => Vrai et vrai
Ici P et Q sont vrai alors l'expression ( P barre et Q ) Barre est vraie

P = Vrai et Q = Vrai => (P et Q) = Vrai
(P et Q) = Faux dans tous les autres cas

Voila, je pense avoir réussit enfin je l'espere, merci a toi de m'aidez et de m'avoir initier aux loi De Morgan

[invite6de5f0ac]

Eh bin voilà! Mais évite de noter des trucs comme "P => vrai" qui suggère une implication. Écris plutôt franchement "P = vrai" (ou "P = 1") parce que ce sont bel et bien des égalités. Le fait que les variables ne puissent prendre que deux valeurs ({"vrai", "faux"}, ou {0,1}, peu importent les notations, l'essentiel est d'avoir deux symboles distincts) ne doit pas te perturber.

Pour info, l'implication "P ⇒ Q" parfois notée "P ⊃ Q" a pour table de vérité

En fait, considère les relations entre les sous-ensembles. Si tu definis P = {x ∊ E | p(x) = vrai} et Q = {x ∊ E | q(x) = vrai}, alors:
P ∩ Q = {x ∊ E | p(x) et q(x) = vrai}
P ∪ Q = {x ∊ E | p(x) ou q(x) = vrai}
et il y a des correspondances comme ça pour tous les connecteurs binaires... bon courage!

-- françois

EDIT: marre de ces <br/>... comment on fait pour les virer?

[invite4793db90]

Salut,

je n'ai pas lu tout le fil, je viens juste en aide à fderwelt.

EDIT: marre de ces <br/>... comment on fait pour les virer?

Ne fait pas de retour chariot au sein de balises tex (c'est propre à mimetex, le parser latex du forum).

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

Ne fait pas de retour chariot au sein de balises tex (c'est propre à mimetex, le parser latex du forum).

Merci martini_bird! Et en plus je l'ai su, mais comme je n'utilise pratiquement jamais TeX je l'avais oublié...

-- françois

[invite693d963c]

Je voulais juste savoir si,

Non( P ou Q) devient Non p et Non Q que pour ce cas present ?

Sinan, Non ( A barre ou V barre ) devient A ou V ?

[invite6de5f0ac]

Non( P ou Q) devient Non p et Non Q que pour ce cas present ?

Sinan, Non ( A barre ou V barre ) devient A ou V ?

La relation de De Morgan s'écrit

non (p ou q) = (non p) et (non q)

soit encore

(p ou q) barre = (p barre) et (q barre)

Dans ton deuxième exemple:

non (A barre ou V barre) = ((A barre) barre) et ((V barre) barre) = A et V

-- françois

[invite693d963c]

Merci beaucoup

Je viens de rencontrer des triple implication

On va prendre un exemple, on va dire que benoit est allemend , joue du piano , ne se maquille pas et ne roule pas en piano.
En math, ca fait Benoit = A, P, Non M et Non V

On peut dire que Benoit est :

A ou V
P et M ou V
Non M et Non V
P ou V et A

j'avais jamais vu de triple implication avant enfin si cela s'appelle des triple implication

[invite693d963c]

Merci beaucoup

Je viens de rencontrer des triple implication

On va prendre un exemple, on va dire que benoit est allemend , joue du piano , ne se maquille pas et ne roule pas en piano.
En math, ca fait Benoit = A, P, Non M et Non V

On peut dire que Benoit est :

A ou V
P et M ou V
Non M et Non V
P ou V et A

j'avais jamais vu de triple implication avant enfin si cela s'appelle des triple implication

Est ce bon ? puis je faire 2 implication à la suite ?