Produits scalaires and co.

[invite77ea1bd5]

Bonjour à tous et à toutes !

Bon voila, je n'arrive pas à faire un exo de maths, du moins je bloque sur une question ! Voila mon exo :

A et B sont des points distinct du plan.
On cherche E l'ensemble des points M du plan tel que MA / MB = 2 (jusque là tout va très bien)

1. Démontrer qu'il existe exactement deux points de E sur la droite (AB) : le barycentre I de (A;1) et (B;2) ainsi que le barycentre J de (A;1) et (B;-2)

2.
(a) Démontrer que la condition MA/MB = 2 équivaut (MA +2MB) scalaire (MA-2MB) = 0 (le tout en vecteurs)

(b) En déduire la nature de l'ensemble E.

Je bloque à cette question. J'ai passé plus de 3/4 d'heure à plancher sur ma feuille, mais rien de productif. Même mes amis ne voient pas la solution.

Auriez vous trouvé ne serait-ce qu'une petite piste, même rikiki, pour m'aider ??? s'il vous plait...

Merci beaucoup d'avance !!!
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[cedbont]

Bonjour,
est-ce que tu ne peux pas simplifier (MA + 2MB) et (MA - 2MB) avec des barycentres ?
Fais-le et tu vas obtenir une relation que tu connais concernant les cercles et leurs diamètres ...

[invite77ea1bd5]

j'ai l'air vraiment gogole, mais, j'obtiens 3MI scalaire - MJ = 0, mais ça n'a aucun sens, vu que M est censé représenter les points de l'ensemble E et donc M = I = J..Là je bugue !

[cedbont]

Non, pose G₁ le barycentre de {(A,1),(B,2)} et G₂ le barycentre de {(A,1),(B,-2)}.
Ensuite, tu transformes (MA + 2*MB) et (MA - 2*MB) en fonction de G₁ et G₂.
Tu obtiens deux vecteurs perpendiculaires. Cela ne te rappelle rien ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77ea1bd5]

J'obtiens (en posant G1 et G2) :
(MA +2*MB) scalaire (MA -2*MB) = 0
= 3MG1 scalaire - MG2 = 0

Mais là j'ai re-un problème, on peut pas dire que le point M est sur le cercle de diamètre [3G1-G2]...!

Signé : Le boulet de service

[cedbont]

Ahh la la ce n'est pas difficile :
3*MG₁.-MG₂ = 0 est équivalent à :
-3*MG₁.MG₂ = 0
MG₁.MG₂ = 0
D'où, l'ensemble des M est le cercle de diamètre [G₁G₂].

[invite77ea1bd5]

merci beaucoup pour ton énorme patience, et ton extrême gentillesse !!!