petite question : mathématiques + vecteurs

[invite19aee40b]

bonjour!

voilà j'aurais une petite question :
imaginons que l'on me donne ces vecteurs:

u (4,1,0)
v(1,-2,3)
w(7,4,-3)
x(2,-4,6)

et on me demande :

vect u, v et w sont-ils coplanaires?
comment faire pour y répondre??

merci
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[cedbont]

Bonjour,
tu as beaucoup de méthodes, mais si tu es au lycée, je te conseille d'écrire l'équation du plan engendré par u et v. Ensuite, tu vérifies si w y appartient (fais par exemple le produit scalaire de w avec le vecteur normal à ce plan).

[shokin]

Sais-tu calculer le déterminant d'une matrice ?

Sais-tu effectuer le produit vectoriel de deux vecteurs ?

Si tu ne sais pas, ton enseignant, les livres et google peuvent t'aider.

Shokin

[Hamb]

Bonjour,
Je suis également au lycée, et pour savoir si trois vecteurs u(a,b,c) v(a',b',c') et w(a'',b'',c'') sont coplanaires ne suffit-il pas de vérifier si le système :
ax+by=c et a'x+b'y=c' et a"x+b"y=c"
admet un couple (x,y) appartenant à R² solution ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[cedbont]

Bonjour,
Hamb, je ne comprends pas ta méthode. Veux-tu dire qu'il faut vérifier si les équations :
a*x + b*y + c*z = d
a'*x + b'*y + c'*z = d'
a"*x + b"*y + c"*z = d"
sont linéairement liées ?

[Hamb]

On apprend au lycée que 3 vecteurs sont coplanaires lorsque l'un est combinaison linéaire des deux autres.
Par exemple u = xv+yw
Et si x et y existent, alors on a la meme relation pour les coordonnées des vecteurs, d'ou les 3 équations du système. Si le système a au moins 1 solution, on peut trouver x et y pour que l'un des vecteurs soit une combinaison linéaire des deux autres et donc ils sont coplanaires. Je me trompe ?

Si les équations sont linéairement liées (je comprends qu'il y a proportionnalité entre elles), alors le système n'a pas de solution (donc vecteurs non coplanaires) ou alors les vecteurs était confondus et la question est abusrde. Si il y a une erreur dans tout ca dites le moi.

[cedbont]

Ah oui pas bête :

On apprend au lycée que 3 vecteurs sont coplanaires lorsque l'un est combinaison linéaire des deux autres.
Par exemple u = xv+yw
Et si x et y existent, alors on a la meme relation pour les coordonnées des vecteurs, d'ou les 3 équations du système. Si le système a au moins 1 solution, on peut trouver x et y pour que l'un des vecteurs soit une combinaison linéaire des deux autres et donc ils sont coplanaires.

[shokin]

Sais-tu calculer le déterminant d'une matrice ?

Sais-tu effectuer le produit vectoriel de deux vecteurs ?

Si tu ne sais pas, ton enseignant, les livres et google peuvent t'aider.

Shokin

On apprend également que si le déterminant de la matrice formée par 3 vecteurs est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.

On sait également que le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires est un vecteur orthogonal à chacun des deux vecteurs.

Shokin

[Hamb]

calculer le déterminant de la matrice des 3 vecteurs c'est pas tout simplement chercher l'existence des solutions comme je l'ai dit avant ?
car dans ce cas ils seraient justement non complanaires quand le déterminant est nul non ?

[shokin]

car dans ce cas ils seraient justement non complanaires quand le déterminant est nul non ?

Si un des trois vecteurs (tous non nuls) peut être exprimé en fonction des deux autres :

-u-> = a*-v-> + b*-w->

<=>

0 = a*-v-> + b*-w-> - -u-> (s)

Il existe donc un couple (a;b) [a et b réels] tel que l'équation s soit vérifiée.

Tu as alors trois vecteurs :

-v->
-w->
a*-v-> + b*-w->

Inscris-les tels quels dans la matrice et calcule le déterminant.

Shokin

[Hamb]

Oui effectivement j'avais pas compris les choses comme ca ^^ merci bien pour cet éclaircissement.