[spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

[invitefc60305c]

Bonjour à tous.
Me revoilà !
http://forums.futura-sciences.com/BA...eSjuin2004.pdf

1) avec

a) Mq si a existe alors a impair.

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Par l'absurde, supposons a pair soit a=2k, alors a²+9 est impair, or pair, ce qui est absurde.

b) Mq en raisonnant modulo 4 que l'équation proposée n'a pas de solutions.

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et puisque
donc on a <=> <=> ce qui est impossible.

2) avec

a) Mq si alors congru à 1 ou 4 modulo 4.

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Par l'absurde, supposons que ou 2 [4]
Ce qui est impossible est tjrs impair or un nombre impair ne peut etre divisible par 4. De même, etre congru à 2 modulo 4 implique être pair, or est impair.

b) Mq si a existe alors a pair et en déduire que n pair.

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Par l'absurde, tjrs impair et a²+9 tjrs pair (si a impair), ce qui est impossible.

a pair donc
Donc est congru à 1 modulo 4. Or <=> .

Preuve : si n = 2q, alors
Si n = 2q+1 alors

c) On pose n = 2p avec p un naturel supérieur ou égal à 2. Déduire d'une factorisation de que l'équation proposée n'a pas de solutions.

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ce qui implique que ce qui est impossible.

3) avec

a) En raisonnant modulo 3, mq que l'équation n'a pas de solutions si n impair.

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n impair implique <=> donc <=> <=> OU <=> ou -1 [3]
Donc devient ou Ce qui est impossible.

b) On pose n=2p. Démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.

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AUCUNE IDEE

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[invite35452583]

Pour le 2)c), il faut aussi montrer que la décomposition 9=9x1 n'aboutit pas à un couple solution (a;n).

Pour le 3)b), factoriser comme au 2), deux cas 9=3x3 et 9=9x1, une amène à une solution unique l'autre à rien.

[invitefc60305c]

Oui j'avais oublié ce cas pr la 2)c).

La 3)a) est juste ?!

Sinon pour la 3)b), j'vois pas comment bien rédiger la réponse :/

[invited7005a5b]

En fait pour 3)b), tu fait pareil comme tu as fait a la question 2)c). Tu factorises et tu obtiens l'egalité simple (3^p-a)(3^p+a)=9=9x1=3x3
Et la tu distingues chaque cas; 3^p-a=3^p+a=3 et l'autre cas, 3^p+a=9 et 3^p-a=1. Tu verras rapidement que dans le premier cas tu n'as pas de solution, et dans le second tu as une unique solution que je te laisse determiner.
Et note bien que pour le second cas, j'ai posé 3^p+a=9 et non 3^p-a=9 parce que (3^p+a)>(3^p-a) donc on a plutot 3^p+a=9

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

Je suppose qu'à la place des 3, je dois lire des 5

On a
5^p + a = 9 (L1)
5^p - a = 1 <=> 5^p = 1+a
donc (L1) devient 2a=8 <=> a = 4.

Mais la 3)a)? =(

[invited7005a5b]

En fait pour 3)b), tu fait pareil comme tu as fait a la question 2)c). Tu factorises et tu obtiens l'egalité simple (5^p-a)(5^p+a)=9=9x1=3x3
Et la tu distingues chaque cas; 5^p-a=5^p+a=3 et l'autre cas, 5^p+a=9 et 5^p-a=1. Tu verras rapidement que dans le premier cas tu n'as pas de solution, et dans le second tu as une unique solution que je te laisse determiner.
Et note bien que pour le second cas, j'ai posé 5^p+a=9 et non 5^p-a=9 parce que (5^p+a)>(5^p-a) donc on a plutot 5^p+a=9

[invited7005a5b]

Ok je m'excuse j'ai melangé 3 et 5; sinon voila ce que je voulais dire

En fait pour 3)b), tu fait pareil comme tu as fait a la question 2)c). Tu factorises et tu obtiens l'egalité simple (5^p-a)(5^p+a)=9=9x1=3x3
Et la tu distingues chaque cas; 5^p-a=5^p+a=3 et l'autre cas, 5^p+a=9 et 5^p-a=1. Tu verras rapidement que dans le premier cas tu n'as pas de solution, et dans le second tu as une unique solution que je te laisse determiner.
Et note bien que pour le second cas, j'ai posé 5^p+a=9 et non 5^p-a=9 parce que (5^p+a)>(5^p-a) donc on a plutot 5^p+a=9

Mais qu'est ce que tu veut dire par la 3)a)? Ton probleme est resolut, tu as a=4, p=1 et n=2p=2.

[invitefc60305c]

Merci de me répondre déjà

Pour le 3)b) pas de soucis. Mais pour le 3)a) c'est juste (ça m'étonnerai) ? faux ?

[invited7005a5b]

Mais je ne vois pas trop ce qui t'etonne, tu as toi meme demontrer que a existe si et seulement si n est pair. Pour demontrer cela, tu as fait la demonstration par l'absurde en suposant n impair. Donc tu peux ecrire
5^n=5^(2p)x5. Donc 5^n=2[3]; or 5^n=a²+9 et 9=0[3]. Donc a²=2[3]. Or tu sais bien que pour tout entier a, on a soit a=0[3], soit a=1[3] ou a=2[3]. Ce qui implique que soit a²=0[3]ou soit a²=1[3]. Or cela ne colle pas avec ce que l'equation a²+9=5^n te donne quand n est impair puisque dans ce cas on obtient a²=2[3].
Donc n ne peut etre que pair.CQFD

[invitefc60305c]

D'accord.
J'ai un autre raisonnement pour montrer que a est forcément pair.

On a
Le chiffre des unités de est 5.
Celui de 9 est 9.
Donc celui de est 6 (6+9=15, on a le 5 du )
Donc est pair, donc a est pair.

C'est compréhensible ?

[invitea7fcfc37]

Bof.

a² = 5ⁿ-9 = 0 [2] beaucoup plus non ?

[invited7005a5b]

C'est tres bien vu de votre part, cela est plus simple que ma demonstration. Sinon KnZ a plutot remarquablement simplifié la démonstration.