sens du logarithme neperien

[hterrolle]

Bonjour,

Je bloque sur le sens, l'utilisation et l'objectif du logarithme neperien.

J'ai bien compris qu'il permet de retrouver une fonction puisque :

e^(x²) = y => ln y = (x²)

a e^(x²) = y => ln y - ln a = (x²)

je compris qu'il etait pratique pour calculer l'aire d'une integral de f(x) = 1/x (a partir de x=1).

par contre j'ai remarqué que la fonction e^ se retrouve tres regulierement dans les equations differenciel. j'ai aussi vue une utilité pour le calcul vectoriel mais la je n'ais pas compris le sens de l'utilisation des nombres complexe sinon que i,j et k represente les vecteur de position.

J'ai decider d'approfondir mais notion de mathematique. Mais comme je n'est plus l'age d'aller a l'ecole, je travail seul avec les bouquin que je trouve.

Donc j'aimerais bien comprendre

1) le role de la fonction e^ dans le domaine des equations diferenciel. Pourquoi utlise ton cette fonction ?

2) le role de e^ dans le calcul vectoriel.


Merci d'avance pour votre aide et votre participation.

PS: essayer de tenir une approche pedagogique plus que demonstative.
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[invite7553e94d]

Bonjour.
Avant tout je tiens à te féliciter pour reprendre tes cours de maths seul, ça ne dois pas être facile. Ne te décourage pas, et viens parler de tes découvertes de temps en temps sur ces forums

Pour répondre à tes questions :
1\ On croise souvent la fonction exponentielle dans les calculs différentiels car la fonction a la propriété suivante : ; la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
On croise aussi beaucoup les fonctions sinus et cosinus, en effet elles vérifient et

2\ La fonction exponentielle a d'abord été défini sur l'ensemble des réels . Par la suite, sa définition a été poussée à l'ensemble des complexes qui est lui-même construit à partir de muni des opérateurs + et .
est donc pratique pour l'analyse vectorielle dans le plan. Voici la définition de l'exponentielle dans les complexes : où .
On représente des points ou des vecteurs grâce à leur "affixe" : le nombre complexe qui lui est associé. Par exemple, au vecteur de coordonnées on associera le complexe . Ses coordonnées dites polaires (, ) seront telles que soit et



Je m'excuse de cracher tout ça comme ça, mais je n'ai pas le temps de faire plus long. Ce message n'est qu'un indice, je ne fais que te montrer où chercher. Tu trouvera toutes les informations que tu cherches au près des autres forumeurs et des bouquins traitant du sujet (si tu connais quelqu'un en terminale S, empreinte-lui son libre de math, généralement bien fait).


Bonne chance pour al suite.

[invite9de6d49f]

les nombres complexes permettent de résoudre certaines équations qui ne trouvent de solutions dans le réel (exemple: les équations du second degré dont le discriminant est négatif). cela permet de trouver des solutions à des problèmes physiques ou chimiques (regarde par exemple les cours de sup ou de L1 d'électricité ils te fourniront des exemple concrets).

[hterrolle]

merci pour la participation prgasp77,

Je pense que mon premier post a été un peux trop general.

en fait dans un premier temps se qui m'interrese de comprendre c'est pourquoi on a utilisé e^ et ln alors que les racines carres font tres bien l'affaire (le probleme etant la derivabilité plus difficille).

Si je pose :

e^(x²) = y => ln y = (x²)

si je pose

x² = y => racinecarre de (y) = x²
x²+n = y => racinecarre de (y-n) =x²
x²-n = y => racinecarre de (y+n) = x²
ax² = y => racinecarre de (y/a) = x²

Donc ma premiere est pourquoi utilise t'on alors e^et ln

1)est ce seulement pour simplifier le calcule des derivée ?

2)comment a eté defini cette fonction. qu'elle est sont fondement. Pourquoi e^(-1) = 0.367879 et e^(1) = 2,7183. aurait il été possible de choisir d'autre valeur ?

3) se qui me surprends le plus et que e^(-n) * e^(n) soit toujours egale a 1

voila en fait ma premiere interrogation. Je me base plutot dans une demarche de comprehension du pourquoi et du comment e^et ln.

Il y a bien une raison a ce que ces deux fonction est eté priviliégié.

J'espere que se petit detour exponentiel sera utile a d'autre.

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9de6d49f]

1) pas seulement. ces fonctions permettent de traduire mathématiquement l'évolution de certains phénomène physiques. je pense notamment à la charge-décharge d'un condensateur que l'on définit grace au ln (c'est un exemple parmi tant d'autres).
2) pour la définition de l'exp je te conseille de lire ce lien:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle
3) exp est une constante à la puissance x.
donc exp(-n) * exp(n) = exp(n-n) = exp(0) = 1

[invite0e5af214]

en fait dans un premier temps se qui m'interrese de comprendre c'est pourquoi on a utilisé e^ et ln alors que les racines carres font tres bien l'affaire (le probleme etant la derivabilité plus difficille).

Si je pose :

e^(x²) = y => ln y = (x²)

si je pose

x² = y => racinecarre de (y) = x²
x²+n = y => racinecarre de (y-n) =x²
x²-n = y => racinecarre de (y+n) = x²
ax² = y => racinecarre de (y/a) = x²

Bonjour,
Je ne comprend pas trop ou est-ce que tu vois un rapport entre le ln et la racine carrée.

Comme l'a dit Widget dans le post précedent, il est bien de se rendre compte que l'exponentiel consiste en une simple constante que tu met à la puissance x.

Tu peux très bien construire 2^x, 3^x, 4^x, etc.... Et bien les mathématiciens ont construit 2,71.....^x = e^x

Lorsqu'on te donne 2^x, 3^x, ... et que tu veux retrouver x, alors tu utilises un logarithme, un logarithme a une base :
y=2^x -> x = (lire log en base 2 de y)
y=3^x -> x = (lire log en base 3 de y)

Et de la meme facon :
y=2,71.....^x -> x =

L'histoire a fait que e=2,71.... s'appelle le nombre de Neper (c'est le bonhomme qui l'a créé), donc un log en base e s'appelle maintenant log neperien.


Maintenant pourquoi ce nombre, 2,71..... et pas un autre ??

Tout viens de la théorie des primitives, on a cherché longtemps la primitive de la fonction y=1/x, on a trouvé qu'il s'agissait d'un logarithme mais sans savoir dans quel base il était. On a appelé cette base e, puis on a cherché ce nombre (certainement par tatonnement) tel que , l'exponentiel venait de naitre , entrainant avec lui les conséquences qu'on connait : e^x se dérive en lui meme, il permet de manipuler des cosinus en moins de temps qu'il ne faut pour le dire, etc....

En esperant avoir aidé

[hterrolle]

merci prgasp77,

la reponse me convient parfaitement. C'est toujours interressant de comprendre le pourquoi et le comment. Et au moins c'est clair.

D'ailleur en parlant de comment. Il y a cette autre question que tu as souligne concernant la relation entre e^ et la trigonometrie.

J'avoue que la dessus je suis un peux larguer. Est qu'il serait possible que quelqu'un m'explique le role de "i" nombres complexe dans les equations.(voir l post 2 de prgasp77). Et comment faire la remation entre e^ et un vecteur.

merci d'avance pour votre aide.

[invitec053041c]

Bonsoir, prgasp77 l'a plutôt bien expliqué.
As-tu quelques connaissances en matière de nombres complexes ?
Le point de coordonnées (x,y) du plan peut être assimilé au nombre complexe x+iy, on définit ensuite le produit de nombres complexes, etc... et il s'avère qu'ils sont très pratique pour la résolution de problèmes géométriques. Malheureusement, on ne peut mettre une telle structure de corps sur R^3 (l'espace) qu'on aurait appelé les hypercomplexes par exemple , ce qui nous aurait grandement facilité la vie, bref! tant pis pour R^3!
Revenons à nos moutons.
Au niveau terminale, on définit d'abord l'e^ complexe comme une notation juste symbolique qui permet de faciliter la multiplication des complexes. Après, dans le supérieur, on se rend compte qu'on peut réellement étendre l'exponentielle réelle aux complexes, mais c'est une autre paire de manches .

[invite0e5af214]

Il y a cette autre question que tu as souligne concernant la relation entre e^ et la trigonometrie

C'est là qu'est toute la magie des maths

Tu apprend d'un coté les complexes, d'un autres l'exponentiel, plus loin les fonctions trigonométriques ... Tu ne vois a priori aucun rapport entre tout ca.
Et un jour on t'explique que tout s'entrelace très bien comme par magie.

Un petit phénomène qui peut mettre la puce à l'oreille : les fonctions trigo ne se dérivent pas en elles mêmes....mais pas loin !! I y aurait de l'exponentiel dans les parages que ca n'étonnerai pas ...

Pour faire court, un même nombre complexe peut s'exprimer de trois manières :





Tu vois qu'en faite, manipuler un exponentiel, c'est manipuler deux fonctions trigonométriques en même temps, le cosinus et le sinus. L'interet étant que cet exponentiel se manipule beaucoup plus facilement que les sin et cos séparés.

Dans la pratique, et bien quand on a à faire un calcul avec un cosinus, on lui rajoute de l'information, (i * sinus), on en fait un bel exponentiel sympa pour les calculs, et à la fin on enlève ce qu'on avait rajouté et qui ne nous sert à rien.

Facile les maths hein ??

[hterrolle]

merci cherwam07,

serait il possible de me mettre ton example sous une forme numerique (avec des reél). Parce que j'ai du mal a mis retrouver avec les demonstrations.

merci d'avance.

[invitebb921944]

Bonjour

x² = y => racinecarre de (y) = x²
x²+n = y => racinecarre de (y-n) =x²
x²-n = y => racinecarre de (y+n) = x²
ax² = y => racinecarre de (y/a) = x²

J'espère que tu as fait des erreurs d'inattention parce que c'est tout faux.

[hterrolle]

merci ganash,

c'est clair. Je me suis planté en fait c'est.

x² = y => racinecarre de (y) = x
x²+n = y => racinecarre de (y-n) =x
x²-n = y => racinecarre de (y+n) = x
ax² = y => racinecarre de (y/a) = x

merci de m'avoir prevenu.


Tu pourrait peut être m'expliquer comment on passe de :

e^ix = cos x + i sin x

a un exemple numerique. J'ai pas trouver.

[invitebb921944]

merci ganash,

c'est clair. Je me suis planté en fait c'est.

x² = y => racinecarre de (y) = x
x²+n = y => racinecarre de (y-n) =x
x²-n = y => racinecarre de (y+n) = x
ax² = y => racinecarre de (y/a) = x

merci de m'avoir prevenu.

En fait ce n'est pas tout à fait vrai !
x² = y => racinecarre de (y) = x ou -x (puisque (-x)² = x² = y )
Il faut faire attention à cette petite subtilité.

Tu pourrait peut être m'expliquer comment on passe de :
e^ix = cos x + i sin x
a un exemple numerique. J'ai pas trouver.

Bah à vrai dire c'est juste une formule comme ça...

e^i(Pi/2) = cos(Pi/2) + isin(Pi/2) = 0+i = i

Si tu as d'autres questions n'hésite pas !

[invitebb921944]

Pour t'entraîner par exemple, fais cet exercice :

Ecrire les nombres complexes suivant en notation exponentielle :

1) i
2) 1+i
3 ) -1 + i*racinecarre(3)

(Actuellement ils sont écrits en notation algébrique ! )

Puis exprimer cos(3x) et sin(3x) en fonction de cosx et sinx

[hterrolle]

Merci Ganash,

sympa pour la subtilité,je vais essayer de ne pas oublier.

pour l'exercice c'est gentil,mais j'avoue ne pas être apable de comprendre ce qu'il faut faire.

En fait cest le sens de "i" qui me trouble. J'ai relue un de mes cours(ancien) sur les complexes. J'ai bien conscience de son utiliyé pour le calcul vectoriel(position) sur lequel le planche en se moment. Mais representer un nombres complexe en natation exponentiel. je ne comprend deja pas le terme de natation exponentiel. il y a bien exp et e^ mais a par ca, je bug.

En fait j'ai du mal a ma faire a ce genre de phrase

Puis exprimer cos(3x) en fonction de cos x.

se qui me viens pas la tête c'est ! exprimer quoi ?

[invitebb921944]

Pour la subtilité, ca permet entre autre de distinguer l'équivalence de l'implication.

Par exemple, x=y <=> 2x=2y car x=y => 2x=2y et 2x=2y => x=y

Par contre x=y n'équivaut par à x²=y² car même si on a bien x=y => x²=y², on n'a pas x²=y² => x=y car on peut avoir x=-y.

Sinon, le i des nombres complexes, c'est un nombre imaginaire qui vérifie i²=-1. On distingue le plan complexe de R².

Dans R², le point A(2,1) s'écrit 2*i+1*j ou i et j sont les vecteurs unitaires désignant les deux axes.
Dans le plan complexe, on désigne le point A(1,0) par son affixe qui vaut :
a=2+i*1 (en gros, le premier chiffre qui est un réel designe l'abscisse du point, le deuxième qui est en multiplication de i (pas le i vecteur mais le i tel que i²=-1) qui désigne l'ordonnée du point).

La notation z=a+ib d'un complexe s'appelle notation algébrique.
Maintenant, il existe d'autres notations comme la notation exponentielle (qui fait apparaitre une exponentielle). Pour passer de l'une à l'autre, on utilise le fait que exp(ix)=cos(x)+isin(x)

Par exemple, z=i est l'écriture algébrique du point Z(0,1), son écriture exponentielle est : z=exp(i*Pi/2) car exp(i*Pi/2)=cos(Pi/2)+isin(Pi/2)=0+i*1=i

Prenons un autre exemple :
z=1+i est l'affixe du point Z(1,1) (écriture algébrique).
Je veux la passer en exponentielle, le but est de faire apparaitre quelque chose de la forme : z=r*(a+ib) où a=cos(x) et b=sin(x)

qui est donc l'écriture exponentielle de z=1+i.

[invite7d436771]

Bonjour,

Il manque encore des valeurs absolues car racine(x²)=|x| et non x ...

ensuite par exemple e^i*Pi = cos(Pi) + i sin(Pi) = -1 + i * 0 = -1 ...

Cordialement,

Nox

[hterrolle]

merci Ganash pour la patinete explication,

Se qui me tracasse donc c'est bien l'utilisation de l'exponentiel. J'ai bien compris la demonstration. pourtant si je tape e^(pi/4) sur ma calculatrice le resultat et 2.19. Je trouve donc des valeurs qui n'ont rien a voir avec l'addition des cos et sin.

c'est ca qui me pause un probleme. Je du mal a comprendre a quoi peut bien servir la notation exponentiel ? dans qu'elle domaine a t'elle son utilitée ?

en tout cas pas mal la demonstration final avec racine de 2. ca m'as retourner la cerveau. racine de 2 est a la fois la longeur du vecteur dans rac2e^(pi/4) et le facteur comun pour rac2/2.

Il y a quelque chose a develloper a partir de cela il me semble ?

ganash tu m'as l'air plutot bon est subtile.

[invite35452583]

Bonjour,
même sujet mais dans une autre voix que celle que tu explores en ce moment avec l'aide de Ganash j'ai trouvé ce lien qui pourrait t'intéresser (un résumé du travail de Neper) : Neper

[invite3a8c0277]

Je n'ai pas vraiment tout lu mais au moins l'essentiel et je ne feras pas mieux si ce n"'est répéter ce qui a déa été dit.
En physique tu auras beaucoup d'utilisation de l'exponentielle: en éléctricité avec les dipoles RC RL RLC ( R: resistance C: condensateur, L: bobine ou solénoide) ou l'on suit des évolution exponentielles, en mécanique aussi avec l'évolution d'une vitesse qui peut évoluer de facon exponentielle.
C'est parce que il y a présence de fonction dérivées: avec des valeurs par exemple d'acceleration ( d'une fonction donc v'(x)) on va chercher une fonction v qui va pouvoir représenter l'évolution de la vitesse
Il nous faut une relation qui mette en jeu les 2 fonctions.
Comme pour un systeme linéaire ou tu as un x et un y trouver par exemple. Là tu n'as besoin que d'une équation.
Si une fonction dérivée et une fonction v' est présente, on peut avoir une relation entre ces 2 fonctions ( par exemple: v'=v)
La seule solution qui existe ( et cela peut se démontrer ) est la fonction exponentielle: on a alors v=e^(x)
Pour les nombres complexes on a décidé de cette notation sur une observation simple
Les coordonnées trigonométriques d'un point sont telles que z=cos @+i sin @
On prend f(@)=cos@+i sin @
En dérivant, on obtient f' (@)= -sin @+ i cos@
f'(@)=i² sin @+ i cos@
f'(@)= i (cos@+ i sin @)
f'(@)=if (@)

La solution est alors telle que f(@)= e^(i@) " solution de l'equation " mais ce n'est qu'une notation et c'est tout du moins pratique pour les complexe ( détermination simple du module et de l'argument)
Mais ce n'est pas par les complexes que l'on a trouvé la notation exponentielle mais surtout par l'histoire d'équation fonctionnelles mais aussi par la présence de sa fonction réciproque, la fonction ln, qui transforme les produits en somme. ( voir les autres posts)

Namsam

[invitebb921944]

pourtant si je tape e^(pi/4) sur ma calculatrice le resultat et 2.19. Je trouve donc des valeurs qui n'ont rien a voir avec l'addition des cos et sin.

Oui mais si tu tapes e^(i*pi/4), je serai bien surpris que ta calculatrice te donne 2.19
e^(x) ou x appartient à R est nécessairement un réel.
e^(i*x) ou x appartient à R peut ne pas être réel (c'est à dire complexe)

Attention, les calculatrices ont une touche spéciale pour ce i en question. (le i qui vérifie i²=-1)

c'est ca qui me pause un probleme. Je du mal a comprendre a quoi peut bien servir la notation exponentiel ? dans qu'elle domaine a t'elle son utilitée ?

La vraie question est : à quoi servent les complexes.

Si tu as admis les complexes, alors la notation exponentielle est simplement un moyen d'écrire un nombre complexe.
Elle permet très souvent de simplifier des calculs ou de démontrer des propriétés très facilement.

Lorsqu'on écrit un complexe sous la forme algébrique : z=a+ib, on peut décrire tous les points du plan de cette manière (chaque point admet une écriture algébrique unique qui lui est propre)
Et bien si l'on utilise z=exp(i*teta), on peut aussi décrire tous les points du plan.
En fait, c'est en quelque sorte les "coordonnées polaires" du plan complexe.
exp(i*teta) pour teta varie de 0 à 2Pi représente le cercle unité (c'est à dire le cercle de centre O (l'origine du repère) et de rayon 1.
Si je veux écrire le point de coordonnées (1,0) alors il me suffit d'écrire : z=exp(i*0)=cos(0)+isin(0)=1
(car le point en question se situe à une distance de l'origine qui vaut 1 et il se situe sur l'axe des abscisses, donc l'angle teta vaut 0).

Le point (0,1) s'écrit : z=exp(i*Pi/2)=cos(Pi/2)+isin(Pi/2)=i
(car le point en question se situe à une distance de l'origine qui vaut 1 et il se situe sur l'axe des ordonnées, donc l'angle teta vaut Pi/2)
L'angle teta représente en fait l'angle entre l'axe des abscisses et la demi droite qui relie O au point qui nous interesse (l'angle se lit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est à dire le sens trigonométrique).

Et la tu vas me dire qu'on ne peut de cette manière représenter que les points du plan qui se situent sur le cercle unité. Eh bien pour pallier cela, on multiplie notre exponentielle par un nombre qu'on appelle le rayon.

Ainsi, z=r*exp(i*teta) nous permet de décrire tous les points du plan.

Cette notation nous permet de simplifier bien des calculs et de démontrer certaines choses très facilement.
Par exemple la formule de Moivre :
(cos(x)+isin(x))^n=(cos(nx)+is in(nx))

On la démontre de la manière suivante :
(cos(x)+isin(x))^n=[exp(ix)]^n=exp(i*nx)=(cos(nx)+isin(nx) )

La notation complexe est très utile par exemple en géométrie pour démontrer tout un tas de truc genre orthogonalité de droite etc...

[hterrolle]

je tiens a vous remerciez tous,

j'avoue que je ne m'attendais pas a autant de complexité( a mon niveau). Il va me falloir un petit momment pour integrer tout cela.

Mais toute vos information m'on permis de voir (pas encore compris) ou la notion d'exponentiel peux se presenter.

1) consideront un cercle de royon = 1. il nous est tres facile de conaitre les coordonnées d'un point de se cercle grace au fonction cos(pi/?) =x et sin(pi/?) =y. il nous est aussi possible de connaitre la longeur du segment de courbe puisqu'il est egale a pi/x et le rayon = rac((cos(pi/?))² + (sin(pi/?))²)

2) le seule facon que je puisse voir de concilier tout cela avec une notion d'exponentiel tiens au fait que si nous tirons les droite entre les coordonnées (0.0) et cos(pi/?) et sin(pi/?). il est tres clair que le croisement du vecteur perpendiculaire a x=1 va recevoir nos droite echelloner exponentiellement. d'ailleurs 90 degres reste une limite a l'infini.

c'est la seul facon pour moi de concilier la notion d'exponentiel.

je voudais bien vous faire un dessin mais je ne sais pas comment l'integre dans le post. c'est d'ailleur le post de Ganash qui m'as permis de me representer cela.

Mais je pense que je viens juste de faire un pas dans les mathematique et je vous remercie de votre aide. Même si pour l'instant tout reste encore assez confus quand a l'utilisation de e^

PS: je crois que ma calculatrice ne prenne pas en consideration "i". C'est une TI80 est elle a plus de 10 ans. J'ai ais beaucoup plus

[invitebb921944]

En fait c'est quelque chose d'assez peu intuitif...
C'est un petit peu comme quand on introduit les vecteurs, au début on ne sait pas à quoi ça sert, et puis plus tard on se rend compte que ca permet de résoudre certains exercices bien plus facilement qu'en utilisant d'autres outils géométriques !
Ici c'est la même chose.
On peut très bien me donner une figure avec des points dont on me donne les coordonnées et me demander de démontrer que deux droites son perpendiculaires. Il sera parfois beaucoup plus facile de démontrer cela en utilisant les notations complexes que les notations cartésiennes classiques.
Après, dans les notations complexes, le passage de la notation exponentielle à la notation algébrique est principalement un moyen de simplifier certains calculs ou certaines expressions.

Après il faut connaitre certaines propriétés géométriques des complexes sans quoi on ne peut résoudre aucun exercice.
Par exemple, pour montrer que deux droites sont perpendiculaires avec les vecteurs, je vais montrer que le produit scalaire de deux vecteurs directeurs de ces droites est nul.
En complexe, il suffira de montrer que a=i*b ou a est l'affixe d'un vecteur directeur d'une droite et b l'affixe d'un vecteur directeur de la seconde !

Ou encore par exemple :
Condition de cocyclicité : A(a), B(b), C(c) et D(d) sont alignés ou cocycliques si et seulement si : est un réel.

Sinon je n'ai pas très bien compris ton histoire de droite issues de x, y et (0,0) mais ca a l'air interessant !

[hterrolle]

merci a tous,

le lien sur NEPER etait interressant même si cela ressemble a une sorte de potion magique son histoire de GB.

M'enfin tout cela ne reponds toujours pas a la question ppourquoi e^1 = 2.7182 et pas autre chose ?

est ce que ce chiffre est une limite ?

[invitec053041c]

Désolé de faire remonter ce fil, mais peut-être qu'hterolle passera par là:

Oui, e est la limite de plusieurs suites, à ma connaissance:

Il n'y a pas de doute que le nombre d'euler vale 2.7182...

[invite1c3dc18e]

quelque chose qui n'a pas encore été dit je crois, c'est que le grand intérêt du nombre népérien est que .

A++

[invitec053041c]

Bonjour.

1\ On croise souvent la fonction exponentielle dans les calculs différentiels car la fonction a la propriété suivante : ; la fonction exponentielle est sa propre dérivée.

François