Aide pour variation d'une suite

[mattveil]

Bonjour,

je n'arrive pas à trouver de quelle manière résoudre la question que je vais énoncée :

Soit pour tout entier naturel n u₀=0 et

Démontrer que pour tout entier naturel n, les différences et sont de mêmes signes.
On a déjà montré au préalable que
Donc j'ai fait le calcul des deux différences et je trouve des dénominateurs différents mais positifs mais un même numérateur :

Elles sont donc bien de même signe.

Cependant on me demande d'en déduie la variation de et là je sèche lamentablement.
Donc un peu d'aide serait la bienvenue.

Merci d'avance.
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[invite3df1c846]

Salut!!!

Dommage t avais presque tout fait!! Faut juste que tu démontres que soit la différence Un+2-Un+1 est supérieure ou inférieure à 0 pour en déduire le sens de variation!!!

Et comme tu dis que ton déno est positif, reste plus qu à prouver que -Un² - Un + 1 est négatif (ou positif) pour tout entier n !!!

[mattveil]

Oui mais quel est l'intérêt de savoir que les deux différences sont de mêmes signes dans ce cas. Je ne pense pas que ça soit ça la réponse car on n'en déduirai rien enfin je pense.

De plus :


Donc ça ne me donne pas le signe.

A moins que j'ai fait ou compris quelque chose de travers?

[invitefc60305c]

Bonjour.
-u_{n}^{2}-u_{n}+1 est un trinôme du 2nd degré, donc tu sais facilement trouver son signe.

Pour le "en déduire", à mon avis, tu prends une valeur arbitraire pour n et tu calcules la différence. Son signe donnera la variation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mattveil]

Bonjour.
-u_{n}^{2}-u_{n}+1 est un trinôme du 2nd degré, donc tu sais facilement trouver son signe.

Justement son signe ne permet pas de conclure non plus puisque je sais que un est bornée par 0 et 1 et pas plus précisément.

Pour le "en déduire", à mon avis, tu prends une valeur arbitraire pour n et tu calcules la différence. Son signe donnera la variation.

Oui effectivement peut-être mais quel est l'intérêt de montrer que deux différences sont de mêmes signes dans ce cas?

[invitefc60305c]

(u_n) bornée par 0 et 1, ça ok.
Met là, t'as un trinôme du 2nd degrée, or le signe d'un trinôme du second degré est celui de... ?
Si ça peut t'aider, met des "x" à la place des u_n

[mattveil]

Merci mais je pense que c'est plutôt toi qui ne comprend pas!

Je sais comment trouver le signe d'un trinôme mais là il ne permet pas de trouver le signe de la diffrénce car :
les racines du trinôme sont -1.618 et 0.618 à quelque chose près.
Donc "signe de a à l'extérieur" donc le trinôme est négatif lorsque et
Or on sait seulement que
donc le trinôme peut très bien être négatif ou positif c'est bien pour ça que j'ai mis au-dessus :
"Justement son signe ne permet pas de conclure non plus puisque je sais que un est bornée par 0 et 1 et pas plus précisément".

[invited7005a5b]

Je pense que le probleme vient de l'encadrement 0<U(n)<1, il n'est pas assez precis pour determiner le signe du numérateur. Par hasard, il n'y aurait pas quelque chose dans l'énoncé que tu as oublié?

[mattveil]

Hé bien non je ne pense pas.
Tout ce qu'on me donne c'est u₀ puis u_n+1

La première question c'est observer le graph pour conjecturer qu'elle converge vers un nombre
Puis la deuxième c'est montrer que
Enfin la 3ème c'est de montrer que les deux différences ont le même signe et d'en déduire la variation de la suite.

C'est tout et je sèche donc je viens demander de l'aide si vous avez des idées sans forcément me dire la réponse ce qui m'intéresse c'est pouvoir trouver mais sans idée sur la manière d'une méthode je ne vois vraiment pas.

[invite3df1c846]

Re!!!

Dsl pour la piste un peu foireuse pour tout a l heure effectivement j avais calculé vite fait les racines et je pensais qu on arrivait à un encadrement de Un qui allait correspondre à celui de l énoncé!!!

Pour démontrer le sens de variation de ta suite sinon je pense qu il faut se resservir de ce que tu viens de démontrer à savoir Un+2 - Un+1 et Un+1 - Un sont de mêmes signes!! Et quand je vois ça j utiliserais bien une bonne vieille récurence!!^^

Initialisation vraie puis hérédité avec hypothèse de récurence!!

Cordialement,
Jerem

[invite3df1c846]

Oups j oublie le plus important dsl l hypothèse de récurence est que Un+1 -Un supérieure ou égale à 0

PS : dsl du post sup

[mattveil]

Ok je vais voir ça.
Si c'est bien le cas j'aurais du y penser... surtout que c'est une suite définie pas récurrence.

EDIT : effectivement c'est bien comme ça et c'est tout simple. Je suis vraiment bête j'aurai du y penser! Enfin merci beaucoup de ton aide. Bonne soirée.

[invited7005a5b]

Franchement -1<U(n)<1, n'aide pas beaucoup a mon avis;Sinon j'ai une autre méthode un peu farfelue mais bon. Je calcule U(n+1)-U(n) et je m'interesse au signe du numerateur, car celui du denominateur est positif. Le numérateur vaut -U(n)²-U(n)+1=-[Un+(1+racine(5))/2][Un+(1-racine(5))/2]
Tu sais que Un+(1+racine(5))/2>0. Donc il nous reste a etudier le signe de Un+(1-racine(5))/2. A ce stade je pose L=-(1-racine(5))/2=(racine(5)-1)/2. Maintenant Je calcule la différence Un-L et j'etudie son signe pour voir si Un+(1-racine(5))/2=Un-L est positif ou negatif. Pour cela je remplace Un par Un=[U(n-1)+1]/[U(n-1)+2] et la apres calcul et simplifications j'obtiens au final Un-L=[U(n-1)+1]/[U(n-1)+2]-L=(racine(5)-2)[(1-(1/2)U(n-1)/(Un+1)].
A ce niveau la conclusion(Si tu utilises -1<U(n-1)<1 )est evidente et je te laisse finir

[invite3df1c846]

^^ Effectivement le problème était pas trop dur mais bon il arrive qu en commençant à buter sur un exo on pense qu il y a une solution super hard et on cherche en conséquence sans aller au plus simple!!

Moralité : Ne pas commencer à buter sur un exo (pourri comme moral)

Bonne soirée à toi!! ^^