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Equation du 3eme degrés



  1. #1
    sailx

    Equation du 3eme degrés

    Bonjour à tous.
    Alors voilà. Je suis confronté à un probleme.
    Une équation pour être plus précis. Et je ne sais pas la résoudre.
    il s'agit de la fonction polynome suivante :

    Et je ne sais pas la résoudre... (on ne peut pas factoriser...)
    Cependant, je sais que l'une des 3 solution est
    Car c'est précisément la valeur exacte de que je cherche...
    J'aimerai donc que quelqu'un me dise comment trouver les solution à cette équation...
    Merci.

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Equation du 3eme degrés

    Peux-tu vérifier tes données ? Je trouve une racine de l'ordre de 0,2 pas du tout le cosinus que tu dis.

  4. #3
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    Rahh, oui, j'ai oublié un moin, désolé. escusez moi

    avec la calculette, je trouve 3 racine : deux negatif et une qui est exactement la valeur de cos 2pi / 7 mais j'aimerai trouver la valeur exacte...

  5. #4
    homotopie

    Re : Equation du 3eme degrés

    Pour obtenir les solutions exactes d'une équation du 3ème degré, le Classique est la méthode de Cardan que tu peux trouver entre autres .
    ici

    Bon courage pour les calculs.

  6. #5
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    Ouahh, effectivement, j'vais m'amuser un moment... enfin, je vais m'y mettre. Merci pour le lien.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par sailx Voir le message
    Ouahh, effectivement, j'vais m'amuser un moment... enfin, je vais m'y mettre. Merci pour le lien.
    Bonjour.
    Connaissant une des 3 racines , tu peux factoriser ton polynôme en (x-cos(2pi/7))*Q(x).
    Avec deg Q=2
    Tu peux ensuite déterminer les 2 autres racines (qui seront très certainement en fonction de ce cosinus), et connaissant la somme, le produit des racines et les produits 2 à 2(grâce aux coeff de ton polynôme), tu pourras remonter à la valeur du cosinus cherché.
    Je réfléchis cependant à une méthode plus courte...
    Dernière modification par Ledescat ; 22/06/2007 à 17h58.
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    ben je crois que tu a trouvé ^^
    J'avait pas penser à ça....
    J'avait penser à factoriser maizs pas de la maniere dont tu fait. Je vais le faire de suite. Je vous donnerez ce que je trouve.
    Merci beaucoup Ledescat. Sa va grandement me simplifier la vie. (j'avait un peu du mal avec la methode Cardan ...)

    Au passage quelqu'un à une methode pour trouver ce fameux cosinus ? parcequ'en faite, j'ai utiliser un heptagone dans un cercle trigonometrique pour avoir cette equation. Et je pense qu'il y a d'autres moyen d'arriver à trouver cette valeur.


    EDIT : en faite ça marche pas. Vu qu'on divise l'equation par (x-cos(2pi/7)), on à le cosinus qui nous empeche d'avancer ...
    Dernière modification par sailx ; 22/06/2007 à 19h42.

  11. #8
    Ledescat

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par sailx Voir le message

    EDIT : en faite ça marche pas. Vu qu'on divise l'equation par (x-cos(2pi/7)), on à le cosinus qui nous empeche d'avancer ...
    Mince, quel dommage.En tout cas, avant d'utiliser les méthodes de cardan, je peux t'assurer qu'il existera toujours une méthode pour un exercice qui ne doit pas prendre énormément de temps.La méthode de cardan est périlleuse...
    Bon je me remet en mode rélexion (pas de miroir )...
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    Ledescat

    Re : Equation du 3eme degrés

    D'ailleurs! Est-ce un exercice ou bien un problème que tu t'es posé ?!
    Car si c'est un problème que tu te poses, il y a malheureusement beaucoup de (mal)chance que tu sois obligé de te frotter à cardan!
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    univscien

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Bonjour.
    Connaissant une des 3 racines , tu peux factoriser ton polynôme en (x-cos(2pi/7))*Q(x).
    Avec deg Q=2
    Tu peux ensuite déterminer les 2 autres racines (qui seront très certainement en fonction de ce cosinus), et connaissant la somme, le produit des racines et les produits 2 à 2(grâce aux coeff de ton polynôme), tu pourras remonter à la valeur du cosinus cherché.
    Je réfléchis cependant à une méthode plus courte...
    Pourquoi çà ne marcherais pas cette méthode?
    Nous on la apprit en première S (cette année), et on na jamais rencontré de probléme particuliers...

  14. #11
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    c'est un probleme que je me suis posé
    En faite, je me suis inspiré de cette exercise
    http://forums.futura-sciences.com/thread152496.html
    Pour trouver la valeur de ce fameux cosinus. Seulement avec l'angle chercher dans l'exercise on à un polynome du 2nd degres. Et là on a un polynome du 3eme ...( d'ailleur je pense que si on cherche 2pi/9, on s'amusera avec un polynome du 4eme degres, etc...)

    Edit : pour universcien ça marche si tu introduit la valeur exacte de cos 2pi/7 mais si on la cherche justement, on ne peut pas l'utiliser (essaye de resoudre comme ça, tu verra...)

  15. #12
    univscien

    Re : Equation du 3eme degrés

    Je crain ne pas avoir bien compris l'énoncé. ^^
    Donc le but est de trouver la valeur de cos (2pi/7)??

    Si c'est çà on à 2 inconus alors non? On peu considérer y = cos (2pi/7)???
    J'ai ptétre une idée mais je vérais çà demain... (vous aurez surement trouvé d'ici là ^^)

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  17. #13
    Jeanpaul

    Re : Equation du 3eme degrés

    La méthode de Cardan n'est quand même pas si compliquée avec des nombres aussi petits.

  18. #14
    Ledescat

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par univscien Voir le message
    Pourquoi çà ne marcherais pas cette méthode?
    Nous on la apprit en première S (cette année), et on na jamais rencontré de probléme particuliers...
    Car en fait on se mord la queue.On utilise ce qu'on cherche comme une donnée.Je pensais que ça donnerait quelque chose avec la somme des racines, leur produit etc...Mais j'ai essayé, et au final lorsqu'on veut résoudre Q(x)=0, on se retrouve avec des cos(2pi/7)^3, or notre but est d'extraire des sommes et des produits de racine LA VALEUR de ce cosinus.Et donc cela reviendra encore et toujours à une résolution d'une équation du 3ème degré, d'où le mordage de queue si je puis dire .
    Cordialement.

    La méthode de Cardan n'est quand même pas si compliquée avec des
    nombres aussi petits.
    Certes, mais quand on peut éviter .
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    homotopie

    Re : Equation du 3eme degrés

    Je reviens pour dire que je crains que la méthode de Cardan elle-même ne sera pas satisfaisante (à moins de se satisfaire d'une expression avec des "").
    D'ailleurs si ma mémoire ne me fait pas trop défaut, je crois me souvenir que les seuls cos(2pi/n) (ou cos(pi/n) ou sin(pi/n) ça revient au même) avec n entier qui s'exprime avec uniquement des entiers et des radicaux d'entiers sont n=3,5,9,17,33..., (2^n)+1 ...

  20. #16
    agnesi

    Re : Equation du 3eme degrés

    bonjour,

    si cos(2pi/7) est racine de l'équation, par symetrie cos(x)=sin(pi/2-x) une autre
    racine serait sin(3pi/14)...

  21. #17
    CM63

    Re : Equation du 3eme degrés

    Cardan a montré que jusqu'au degré 4, les solutions polynomiales pouvaient s'exprimer avec des radicaux, il ne faut pas espérer aller plus loin.

  22. #18
    homotopie

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Cardan a montré que jusqu'au degré 4, les solutions polynomiales pouvaient s'exprimer avec des radicaux, il ne faut pas espérer aller plus loin.
    Si. est racine de polynômes mais tous de degré multiple de 2520 mais c'est bien un radical.
    Ensuite, c'est Abel (n=5) puis Galois (cas général) et non Cardan qui ont montré ce résultat, le résultat dit plus précisément qu'à partir de n=5, il existe des polynômes dont les racines ne s'expriment pas en fonction des coefficients du polynôme et de leurs radicaux.
    Pour les cos(2pi/n), mon véritable doute est n doit-il être de la forme 2^k+1 ou 2^(2^k)+1. On les exprime avec des radicaux par le biais de changements de variables qui permettent de se ramener à des polynômes successifs dont on sait déterminer les racines avec les radicaux.

    Citation Envoyé par agnesi Voir le message
    bonjour,

    si cos(2pi/7) est racine de l'équation, par symetrie cos(x)=sin(pi/2-x) une autre
    racine serait sin(3pi/14)...
    Non, c'est la même racine mais exprimée autrement, cette racine peut aussi s'écrire ...

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  24. #19
    agnesi

    Re : Equation du 3eme degrés

    Bonjour,
    je l'ai vu mais après,et en écrivant 8cos^3x+4cos^2x-4cosx-1 et essayer de mettre cosx en facteur

  25. #20
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    si j'ai compris ce probleme n'a pas de solution (acceptable)... (d'aprés Homotopie, j'ai pas eu le temps de faire les calculs un petit peu chargé mon emploi du temps en ce moment).Seulement quand je regarde ma calculette, je voit bien les 3 racines sur la courbes... et ce sont des réels ...
    J'ai chercher aussi un peu sur internet et je n'ai pas trouver la valeur de cos pi/7 ...
    Par contre, j'ai vu qu'on pouvait calculer les valeurs exacte des cosinus à l'aide du triangle de pascal ... quelqu'un sait si on peut pas essayer ici ? Ou encore quelqu'un connait une maniere de trouver ce fichu cosinus

    (au passage, j'ai même retrouver ce fil dans google )

  26. #21
    agnesi

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par sailx Voir le message
    si j'ai compris ce probleme n'a pas de solution (acceptable)... (d'aprés Homotopie, j'ai pas eu le temps de faire les calculs un petit peu chargé mon emploi du temps en ce moment).Seulement quand je regarde ma calculette, je voit bien les 3 racines sur la courbes... et ce sont des réels ...
    J'ai chercher aussi un peu sur internet et je n'ai pas trouver la valeur de cos pi/7 ...
    Par contre, j'ai vu qu'on pouvait calculer les valeurs exacte des cosinus à l'aide du triangle de pascal ... quelqu'un sait si on peut pas essayer ici ? Ou encore quelqu'un connait une maniere de trouver ce fichu cosinus

    (au passage, j'ai même retrouver ce fil dans google )
    Peu-être...ici

    http://spoirier.lautre.net/equation.pdf

  27. #22
    kevin 882

    Re : Equation du 3eme degrés

    bien qu'ayant quitté les cours de es option maths depuis 1an,il me semble que en factorisant on obtient (2x - 1)^3.j'ai pas raison?
    et la reponse serait 1/2

  28. #23
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    nan, ça ne marche pas. regarde le develloppement :

    c'est pas tout à fait ce qu'on cherche ...
    d'ailleur j'ai toujour pas trouver le temps de chercher... quelqu'un a éssayer de resoudre avec un logiciel ? (j'ai essayer avec maple, mais j'ai pas compris comment ça marchait...)

  29. #24
    Syracuse_66

    Re : Equation du 3eme degrés

    J'ai trouvé un document pdf qui expliquait comment résoudre une équation de degré 3 ... mais ça prend vite la tête

    Une des solutions est :


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  31. #25
    sailx

    Re : Equation du 3eme degrés

    waa la solution facil à retenir
    comment l'a tu trouver ?

  32. #26
    Syracuse_66

    Re : Equation du 3eme degrés


  33. #27
    homotopie

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par Syracuse_66 Voir le message
    J'ai trouvé un document pdf qui expliquait comment résoudre une équation de degré 3 ... mais ça prend vite la tête

    Une des solutions est :

    Pas de l'équation préalable en tout cas, ce nombre est strictement supérieure à 2, bizzare pour un cosinus non ?
    D'ailleurs comme l'équation a 3 solutions réelles avec un polynôme réel, il n'y a pas d'autres solutions avec radicaux que des solutions avec radicaux de complexes purs.

  34. #28
    Syracuse_66

    Re : Equation du 3eme degrés

    Faute de frappe :


  35. #29
    homotopie

    Re : Equation du 3eme degrés

    Citation Envoyé par Syracuse_66 Voir le message
    Faute de frappe :

    Oui mais ceci est une racine de 8x^3+4x²+4x-1=0 donné au post#1 mais qui, elle aussi, était une erreur de frappe. L'équation dont l'unique racine positive parmi ces 3 racines réelles est 8x^3+4x²-4x-1=0, racine vaut approximativement 0,623.

  36. #30
    Syracuse_66

    Re : Equation du 3eme degrés

    Ah mais j'ai pas tout lu, dsl alors

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