Spirale de Pythagore, point C

[GalaxieA440]

Bonjour

Petit problème avec la spirale de Pythagore. D'abord, rappel pour ceux qui ne savent pas ce que c'est. Prenons un triangle rectangle isocèle, d'hypothénuse BC, de coté 1. On doit placer un point C', tel que CC' = 1 et BCC' soit rectanlge en C, et ainsi de suite, on superpose les triangle rectangle de côté 1.

En ce qui me concerne, je cherche à la dessiner sur un logiciel basic de programmation, genre sur une caltos (CASIO). Il me faut donc placer les coordonées des points, et ensutie tracer les lignes entre les points. Jusque la pas de problème, j'ai définit mon repère, j'ai placer un peu au pif mes deux premier point, et il d'agit ensuite de placer le point C vérifiant les conditions d'une spirale de Pythagore, puis la point C', puis C'', etc...

J'ai utilisé pour cela les vecteurs. SI ABC est le premier triangle rectangle en A. Je calcul les coord du vecteurs AB. Il me faut ensuite déterminer les coordonées du vecteur CC', pour pouvoir calculer celles de C'. Sachant qu'on veut que CC' ait une longueur N, et que BC et CC' soit perpendiculaire.

Voila le système à résoudre :
Si Vecteur BC a pour coord (A,B) et vecteur CC'(x,y)

Alors il faut résoudre : RACINE(x²+y²)=N
Ax + By = 0
J'utilise dans la deuxième ligne les propriété du produit scalaire pour deux vecteurs orthogonaux.

J'obtiens anisi les coord du vecteur CC', j'en déduit celles du point C'. Et je recommence l'opération pour C''

J'ai fait un programme pour allé plus vite avec la calculatrice. J'obtiens donc des coordonées de point, que je place dans mon repère, puis je trace les segments, et j'obtiens une belle spirale de pythagire........ Jusqu'à la 7 ou 8° étapes, (7 ou 8° triangle), ou la spirale change de sens sans que je sache pourquoi???


Donc la mystère. A savoir que dans la résolution de la norme, il ya du second degré, donc besoin de racine carré, il y a donc deux solutions, une positive, et une négatives, ce qui somme toute est logique, mais j'ai essayé toutes les solutions que j'obtiens, pas moyen d'obtenir une spirale correcte complète.

Quelqu'un saurait il m'aider la ??????
Je peux vous envoyer des dessins pour être plus clair, ainsi que les sources des programmes que j'ai utilisé sur ma CASION 65.

Merci d'avance

Arthur
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[invite35452583]

Je subodore une erreur dans le programme. Mis tu peux surtout éviter le recours au 2nd degré.
Déjà ne place pas bêtement tes points au hasard, place le point autour duquel ta spirale va tourner en O l'origine du repère.
Tu prends un point B1, il faut construire B(n+1) en fonction de B(n) dont tu as les coordonnées (xn,yn).
Orthogonalité xn(x(n+1)-xn)+y(n)(y(n+1)-yn)=0
xnx(n+1)+yny(n+1)=²+yn²=n (Ca tu l'as déjà)
OBnB(n+1) est rectangle en Bn. L'aire de ce triangle est égal à OB(n)xBnB(n+1)/2=OB(n)/2= racine(n)/2
Or l'aire peut se calculer avec le déterminant à savoir xny(n+1)-ynx(n+1) (avec cette convention la spirale tournera dans le sens trigonométrique, pour l'avoir dans l'autre sens prendre l'expression opposée)
Maintenant, tu as un système linéaire à résoudre

On en déduit :

Sauf erreur de ma part.

[GalaxieA440]

J'ai déja essayer de placer le centre de la spirale comme origine, mais le résultat ne change pas.
D'autre part, pour ce qui est du programme, je l'ai fait et refait, et j'ai même refait plusieurs calculs à la main, je ne pense pas qu'il s'agisse de cela...

J'essaierai demain ou plus tard la méthode que tu me propose, mais ça m'intrigue quand même de savoir pourquoi la spirale recul à partir d'une certain rang...

Merci quand même

[invite35452583]

Ce que tu cherches à construire est bien ceci :
escargot de Pythagore

J'ai utilisé pour cela les vecteurs. SI ABC est le premier triangle rectangle en A. Je calcul les coord du vecteurs AB. Il me faut ensuite déterminer les coordonées du vecteur CC', pour pouvoir calculer celles de C'. Sachant qu'on veut que CC' ait une longueur N, et que BC et CC' soit perpendiculaire.

Reprenons (tes notations ne sont pas forcément les mieux choisies).
Le 1er triangle est rectangle en A donc BA=CA=1, BC=
(BC) et (CC') étant perpendiculaires on tourne autour de B, le premier point de la spirale est a, le suivant C et le 3ème point est C' (qui deviendra après C qui permettera de calculer le C' suivant, etc...)

Voila le système à résoudre :
Si Vecteur BC a pour coord (A,B) et vecteur CC'(x,y)

Alors il faut résoudre : RACINE(x²+y²)=N
Ax + By = 0
J'utilise dans la deuxième ligne les propriété du produit scalaire pour deux vecteurs orthogonaux.

"Ax+By=0" (drole d'idée de noter A et B les coordonnées de alors que A et B était des points mais bon).
C est le dernier point construit de la spirale, C' est le point en construction.
Ax+By exprime donc que la droite passant par le centre B et C est orthogonale à la droite CC'. OK
"RACINE(x²+y²)=N" exprime que la longueur du segment CC' est égal à N et là il y a un problème, on a CC'=1, BC= et BC'=
Et là tu as peut-être le même problème que les roues des voitures dans les films de basse qualité, quelque chose qui tourne trop vite donne parfois l'impression de tourner à l'envers.
Remède : changer N en 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GalaxieA440]

Salut

J'utilisait sur la Casio une norme de 5 unités, pour que la spirale ne soit pas trop petite.
Tu crois que si j'essaie avec un norme de 1 le problème va être résolu ? Mais alors pourquoi avec 5 sa se met à tourner à l'envers ?

Arthur

[invite35452583]

Salut

J'utilisait sur la Casio une norme de 5 unités, pour que la spirale ne soit pas trop petite.
Tu crois que si j'essaie avec un norme de 1 le problème va être résolu ? Mais alors pourquoi avec 5 sa se met à tourner à l'envers ?

Arthur

Ce que j'ai repéré dans ce que tu as écrit n'est pas un problème d'unités (ça ne changera que la taille pas la forme) mais un problème de formule : si C est le dernier point construit et C' le point en construction et si apour coordonnées (x,y) on a et non pas N (le point C étant le N_ème point ou le (N-1)-ème point construit, ça dépend comment on les compte).

[GalaxieA440]

Attend il ya une mésentente la

Dans l'expression RACINE (x²+y²)= N, il fallait entendre par N une norme . Désolé si je bidouille un peu avec les notations. En fait l'escargot de pytagore utilise alors une norme de 1 normalement, mais on peut changer cette norme, et calculer l'hypothénuse avec une suite. Moi j'utilisai N=5.

Donc je résolvais
RACINE(x²+y²) = 5
Ax + By = 0

Ainsi je rajoutais toujours un vecteur othogonal de norme 5 à l'hypothénuse du précédent triangle rectangle. C'est pour ça que le seconde degré est logique, puisqu'il y a bien deux solution, le segment perpensiculaire peut être "vers le haut ou vers le bas".

Donc à priori l'erreur ne vient pas de la, à moins que j'ai mal compris ta remarque précédente

Merci bien de votre aide en tout cas...

Arthur

[invite35452583]

Donc à priori l'erreur ne vient pas de la, à moins que j'ai mal compris ta remarque précédente

Non c'est moi qui ai mal compris la signification de N, celle-ci expliqué l'erreur ne vient pas de là en effet.

Tu dis que le problème intervient entre la 7ème et la 8ème étape ? Or c'est à ces étapes que si tu prends (histoire de se comprendre, après tu fais ce que tu veux ) comme centre de la spirale O (origine) et le premier point sur [0x), le deuxième point (appartenant au 1er et au deuxième triangle) est dans le 1er quadrant. Jusqu'à la 8ème étape, les abscisses des points successifs sont décroissantes, mais elles croissent entre la 7ème et la 8ème jusque (je ne sais plus). Alors si tu as un critère du type le point suivant doit avoir un x inférieur au précédent pour faire le choix entre les deux points, c'est tout à fait norml qu'il y ait un problème.
Remède si le roblème est celui-ci : changer de critère pour choisir entre les deux points, il faut choisir un signe à Ay-Bx (- si tu veux qu'elle tourne dans le sens trigo, + si tu veux qu'elle tourne dans le sens des aiguilles d'une montre).

[GalaxieA440]

Salut

Les abcsisses croissent d'abord, puis décroissent, mais elles décroissent avant la 7-8° étape. En fait le problème aurait pu venir de fait que à partir de ce niveau, ce sont les ordonée du point C qui décroissent. Or sur la caltos, la spirale repare dans l'autre sens après que les abcisses du point C aient commencé à décroitre, un triangle rectangle après plus précisément, au 7° triangle très précisément...

[invite35452583]

Salut

Les abcsisses croissent d'abord, puis décroissent, mais elles décroissent avant la 7-8° étape. En fait le problème aurait pu venir de fait que à partir de ce niveau, ce sont les ordonée du point C qui décroissent. Or sur la caltos, la spirale repare dans l'autre sens après que les abcisses du point C aient commencé à décroitre, un triangle rectangle après plus précisément, au 7° triangle très précisément...

La question demeure : comment fais-tu ton choix entre les deux points dont les coordonnées sont solutions du système ?

[GalaxieA440]

J'ai choisi volonairement de prendre seulement les solution positives, ainsi la spirale commence à tourner dans le sans direct jusqu'au bugg de la 7° étape.
De même si je prends exclusivement les solutions négatives, je suppose que la spirale tournera dans le sens indirect, jusqu'au bugg (j'ai pas tester mais pourquoi en serait il autrement).

Donc, une fois arivé au Bugg, j'ai essayer en fait toutes les solutions que j'obtenais, mais aucune ne fonctionne.

Je posterais demain la méthode que j'ai utilisé pour mon programme. L'erreur est surment de là, mais c'est quand même bizzare que tout se passe bien pour le début de la spirale...

A +

Arthur

[GalaxieA440]

Voila alors je détail le programme que j'ai utilisé :
Je redéfini d'abord mes notations : B = centre de la spirale. Le triangle BIA est rectangle en I, AB est l'hypothénuse. Voila pour le premier triangle
Vecteur AB a pour cordonée (A, B). Vect AC(x,y)

A, B sont connus seul x et y sont inconnus

RACINE((25A²)/(A²+B²)) ou -RACINE((25A²)/(A²+B²)) : seconde deg donc deux solutions, donnent les deux possibilités pour y

Ensuite x = (-By)/A

Voila le plus gros est la, ensuite j'en déduis les coordonées du points C, connaissant celles de A, c'est compris dans le programme mais je ne développe pas, l'erreur ne venant pas de la...

Donc si erreur il y a dans le programme, c'est dans la résolution du système :
RACINE(x²+y²)= N (5)
Ax+By = 0

Qui me donne les expressions ci-dessus

Voila voila

Arthur

[invite3f4d4f48]

tu peux aussi dessiner directement ta spirale, c'est moins classe mais plus rapide .

Sa me rappelle le bon vieu temps ou on s'amusait à créer des morpions, des puissances 4 ( saleté de matrice )

Je n'ai pas la solution à ton probleme mais je voulais juste t'encourager et te remercier pour le moment de nostalgie

[GalaxieA440]

T'inquiète pas, le morpion c'est fait
De même que je l'ai déja dessiné directement, mais c'était plus à la base pour jouer un peu avec les maths que pour faire un dessin

...

[invite35452583]

J'ai choisi volonairement de prendre seulement les solution positives, ainsi la spirale commence à tourner dans le sans direct jusqu'au bugg de la 7° étape.

Voila alors je détail le programme que j'ai utilisé :
Je redéfini d'abord mes notations : B = centre de la spirale. Le triangle BIA est rectangle en I, AB est l'hypothénuse. Voila pour le premier triangle
Vecteur AB a pour cordonée (A, B). Vect AC(x,y)

A, B sont connus seul x et y sont inconnus

RACINE((25A²)/(A²+B²)) ou -RACINE((25A²)/(A²+B²)) : seconde deg donc deux solutions, donnent les deux possibilités pour y

Ensuite x = (-By)/A

Donc je suppose que tu prends toujours des y positif,donc c'est bien de là que vient le problème.
Pour tourner dans le sens direct :
Si le point A est dans le 1er quadrant, A>0, B>0, et x<0 y>0
Si le point A est dans le 2ème quadrant, A<0, B>0, et x<0 y<0
Si le point A est dans le 3ème quadrant, A<0, B<0, et x>0 y<0
Si le point A est dans le 4ème quadrant, A>0, B<0, et x>0 y>0
Ceci se résume en une seule formule Ay-Bx>0 (il suffit de le vérifier pour les 4 cas).
Tu laisses le début de la résolution comme avant,
tu introduis une conditionnelle
si Ay-Bx>0 laisser x et y inchangés
sinon prendre -x et -y.
Et là ça devrais tourner (en espérant que l'on ait jamais A=0 ce qui est fort probable)

[GalaxieA440]

Ah ouais d'accord

Alors je vais essayer cet aprem d'intégrer cette nouvelle condition, puis je calcul les nouveau point et j'essai de finir de dessiner cette ****** de spirale.

Pour A=0, on a cette valeur en fait pour le 2° triangle rectangle (il me semble), mais j'ai calculer autrement les coord du point C, après cela je ne sais pas si on risque d'avoir à nouveau ce problème, mais je ne pense pas, car lorsque l'on est à la moitié de la spirale, on n'obtient pas un angle de 180° précisément....

Bon je vous dirais si ça marche

[GalaxieA440]

CA marche toujours pas...
C'est un peu comme je te disais : à partir de ce bugg, j'essayais toutes les possibilités que j'avais : pas moyen

Donc la sérieusement je comprend plus ce qui va pas. Le nouveau segement est n'a rien forme tout sauf un angle droit avec le précédent hypothénuse, c'est à s'arracher les cheveux de la tête...

Je détail d'avantage mon programme de calcul

ViewWindow 1,127,0,1,63,0
60 -> V
35 -> W
Lbl 1
"A"
?->T
?->U
V-T -> A
W-U -> B
RACINE((25A²)/(A²+B²)) -> Y
-RACINE((25A²)/(A²+B²)) -> M
(-BY/A) -> X
(-BM/A) -> N
If AY-BX<0:Then Goto2:Else Goto3: Ifend
Lbl 2
"X1 ; Y1"
X+T
Y+U
Lbl3
"X2 : Y2"
M+T
N+U
Goto 1

Voila alors j'utilise des touches mémoires qui rendent le tout un peu balèze à comprndre : explications ...
V,W, (60,35) = coordonées du point B originie de la spirale.

(T,U), coordonées du point A
Le truc calcul ensuite les coordonées du vecteur AB, et les enregistres en A, et B (x et y)

Ensuite ça résoud le système, et sa calcul Y et X, ou -Y et -X, soit les coordonées du vecteurs AC

et ensuite sa recalcul les coordonées de C (x1 Y1) ou (x2 y2), connaissant celles de A, et vérifiant la condition ajoutée

Voila, et avec ça, beug à la 7° itération

OU EST LE PROBLEEEEMMME

...

[invite425270e0]

Bonjour à tous,

Après que GalaxieA440 m'ait raconté ses problèmes, j'm'y suis penché dessus aussi. Sauf que j'vais essayer de résoudre ça sur excel parce que j'vois pas pourquoi j'me casserai les fesses () a programmer sur une caltos alors que j'suis en vacances avec un pc à disposition (pendant les cours de maths avec notre profs en effet y'a que la caltos pour passer le temps j'suis d'accord )

Bref, j'ai fait quelques calculs afin de trouver une suite par récurrence des coordonnés des points consécutifs de la spirale de Pythagore. Le problème à déjà été expliqué, j'montre direct c'que j'ai fait sur word puis son application numérique sur excel.
Si quelqu'un pouvait m'aider à me faire comprendre pourquoi mes calculs sont faux... je les ai fait et refait de différentes manières pour aboutir aux mêmes résultats...

Cordialement, Universmaster.

[invite425270e0]

Rebonjour,

Hinhin en fait j'me rends compte que j'suis dans le même cas que GalaxieA440... c'est la 7ème itération qui bug
Personne n'a donc d'idées?

Cordialement, Universmaster.

[invite425270e0]

OUuuuuuuuuuuuuuuuuhhhhhh Bonsoir tout le monde!

Heureux d'avoir enfin réussi à tracer cette spirale sur excel
J'ai calculé la suite de coordonnées en polaire, ce qui simplifie énormément la suite, ensuite je converti en Carthésien pour tracer et voilà que ça marche !!

Cordialement, Universmaster.

[invite35452583]

CA marche toujours pas...

OU EST LE PROBLEEEEMMME

...

Désolé de ne pas être intervenu pendant quelques temps.
Je ne sais et ne vois pas.
essaie en simplifiant : finalement on a toujours dans les cas envisgés ici A et y de même signe (je te laisse vérifier).
Ainsi, on a y=signe(A)xracine(25A²/(A²+B²)) et x=-By/A.
Mes résultats sur Excell donnent la spirale voulue.

[invite425270e0]

Bonjour,

Homothétie tu peux regarder c'que j'ai mis en FJ sur la première page...? j'ai mis ma démarche de calcul sur word et son application sur excel, si tu pouvais m'expliquer mon erreur.

Cordialement, Universmaster.

[invite425270e0]

Homotopie pardon pas Homothétie (j'viens de me réveiller y'a pas longtemps veuillez me pardonnez

[GalaxieA440]

Salut

Ah ba merci homothopie, ça marche sur excel et on a bien une belle spirale . Donc maintenant que j'ai les points, jpourrai m'occupper quelques heures l'année prochaine ...

Problème résolut pour moi donc...

++

[polo974]

...
Ainsi, on a y=signe(A)xracine(25A²/(A²+B²)) et x=-By/A.
Mes résultats sur Excell donnent la spirale voulue.

y=signe(A)xracine(25A²/(A²+B²))
c'est
y=5*A/racine(A²+B²)
en plus simple ou moins compliqué, si je ne m'abuse...