Problème de x^x

invite43bf475e · 20/08/2007, 16h14

Bonjour @ tous,

J'ai un petit problème avec une fonction f(x)=x^x, voila je veux avoir son tableau de variation, bref je la réecris sous la forme f(x)=e^(xlnx)
Mais la gros problème : elle n'est définie que sur IR*+ , alors qu'à l'origine, x^x est définie pr tt x réels...

Je détermine les variations de f(x) mais uniquement sur IR*+, comment faire sur l'ensemble IR en entier...?

Merci, j'attends vos réponses.

**Coincoin** · 20/08/2007, 16h17

Salut,

x^x est définie pr tt x réels...

Es-tu sûr ? Tu peux me donner la valeur en -1/2 par exemple ?

**Dydo** · 20/08/2007, 16h48

Ca donnerait, avec $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

:þ Donc pas vraiment à valeur dans IR ^^

**Dydo** · 20/08/2007, 16h56

La fonction est pleinement définie sur $\text{[math]}$ , mais pour les x négatifs elle n'est définie, il me semble, que pour des nombres aboutissant à des racines (2n+1)-ièmes, correspondant à des inverses de puissances impaires, et donc ayant des solutions réelles; par contre tous les résultats correspondants, comme ici, à des racines 2n-ièmes ne sont pas définies, on tombe sur des expressions faisant intervenir des racines de nombres négatifs, donc des solutions complexes ... me semble-t-il ^^

Je m'avance, c'ets juste un résultat qui me semble logique et qui correspond à mes conjectures sur calculatrices

P.S : Désolé du doublé, mais j'ai pensé à rajouter cette précision après que le temps d'édition soit écoulé :/

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteec581d0f · 20/08/2007, 17h00

Bonjour,

en traçant la courbe de f(x) = x^x j'obtiens des points dans le domaine négatif et une (demi) parabole dans le domaine positif.. Pourquoi ????

**Nox** · 20/08/2007, 17h00

Bonjour !

Je ne suis pa stout à fait d'accord ... Tu inclus (Dydo) 0 dans ton domaine de définition et le ln n'ets pas très défini en 0 ... Par contre je n'ai pas dit qu'on pouvait étendre son domaine de définition en incluant 0 en prolongeant par continuité (sujet battu et rebattu) ...

Cordialement,

Nox

**Dydo** · 20/08/2007, 17h04

Oui c'est vrai, cependant par convention ne peut-on pas noter $\text{[math]}$ ?

Pour kimuto, il me semble avoir expliqué précédemment que la fonction se comporte différemment dans les deux cas, il est clair que pour des valeurs positives la fonction va croire à une allure très rapide, d'où la courbe ( est-ce une parabole ? ); pour le domaine négatif ça dépend des valeurs de x :P

inviteec581d0f · 20/08/2007, 17h12

Merci Dydo, je n'avais pas actualisé la page donc je n'avais pas vu ce que tu avais écris.

:P ^^

invite43bf475e · 20/08/2007, 18h11

Donc en récapitulant, je peux réaliser les variations de x^x sur IR+*, en précisant que sur IR-* elle n'est continue donc dérivable que pour cette valeur de x, tq x=2k? du style (x neg)^inverse de puissance impaire ?

**FonKy-** · 20/08/2007, 18h46

Envoyé par M I L A S

Donc en récapitulant, je peux réaliser les variations de x^x sur IR+*, en précisant que sur IR-* elle n'est continue donc dérivable que pour cette valeur de x, tq x=2k? du style (x neg)^inverse de puissance impaire ?

En principe on etudie pas sur R- :/ point

FonKy-

**Dydo** · 20/08/2007, 18h49

Oui surtout que j'imagine que pour des valeurs négatives de $\text{[math]}$ , je doute que ce que je t'ai dit précédemment soit très très juste, c'était question de simplifier un peu ( beaucoup :þ ) les choses

invitec053041c · 20/08/2007, 18h51

Envoyé par kimuto

Bonjour,

en traçant la courbe de f(x) = x^x j'obtiens des points dans le domaine négatif et une (demi) parabole dans le domaine positif.. Pourquoi ????

Parabole sûrement pas

.

**FonKy-** · 20/08/2007, 18h54

Envoyé par Ledescat

Parabole sûrement pas

.

en effet c pire qu'un exponentielle

alors ta parabole

**Dydo** · 20/08/2007, 18h54

Branche parabolique quand même

?

En passant, il y a un moyen d'étudier la "vitesse de croissance" de la fonction ? Juste pour comparer à $\text{[math]}$ ^^

**FonKy-** · 20/08/2007, 19h00

Envoyé par Dydo

Branche parabolique quand même

?

En passant, il y a un moyen d'étudier la "vitesse de croissance" de la fonction ? Juste pour comparer à $\text{[math]}$ ^^

bah branche parabolique non plus .. enfin je crois pas

n! = n(n-1)...2 < n.n.....n = nⁿ

invitec053041c · 20/08/2007, 19h01

Envoyé par Dydo

En passant, il y a un moyen d'étudier la "vitesse de croissance" de la fonction ? Juste pour comparer à $\text{[math]}$ ^^

Contrairement à ce qu'on peut penser,la factorielle s'écrase devant n^n

.

En effet $\text{[math]}$ ~ $\text{[math]}$ qui tend vers 0.

EDIT: Fonky a la qualité de ne pas sortir l'artillerie lourde comme je l'ai fait avec Stirling

.

**Dydo** · 20/08/2007, 19h04

Merci de vos réponses, c'est tout à coup plus évident comme tu le dis Fonky :þ

**FonKy-** · 20/08/2007, 19h08

ouaien fait Ledescat te dit que n!=o(nⁿ) mais faut savoir ce que c'est :/
sinon j'ai pensé au dérivés (x^x)'=(lnx+1)x^x, soit pire que l'exponenteielle qui monte tres vite ^^ car (e^x)'=e^x

puis je me suis rendu compte que la dérivé de la factorielle ben je la connaissais pas

FonKy-

invitec053041c · 20/08/2007, 19h14

Envoyé par FonKy-

puis je me suis rendu compte que la dérivé de la factorielle ben je la connaissais pas

FonKy-

T'as déjà vu la dérivée d'une suite

.

Si tu veux,considère la fonction $\text{[math]}$ qui a la caractéristique de correspondre à n! pour les entiers, mais honnêtement ça n'en vaut pas la peine

.

**FonKy-** · 20/08/2007, 19h28

J'y reflechie mais peu mais la je dois aller manger, si tu pouvais detailler

merci, FonKy-

si ca en vaut la peine lol

invitec053041c · 20/08/2007, 19h30

Envoyé par FonKy-

J'y reflechie mais peu mais la je dois aller manger, si tu pouvais detailler

merci, FonKy-

si ca en vaut la peine lol

Rends-toi là si la fonction gamma t'intéresse

:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma

invite43bf475e · 20/08/2007, 19h35

pr en revenir a x^x, on ne pt travailler que que sur IR+* alors? sachant que x^x=e^xlnx

**Dydo** · 20/08/2007, 19h40

Ben je dirais pas que c'est impossible sur certaines parties des réels négatifs mes bons ... je doute que ce soit très très évident

Dérivées de suites hum ... sérieux ? ça existe ?

*se suicide*

invite43bf475e · 20/08/2007, 19h44

c'est par pour nous ca encore hein dydo!

invitec053041c · 20/08/2007, 19h57

Envoyé par Dydo

Dérivées de suites hum ... sérieux ? ça existe ?

*se suicide*

Non

.
C'est juste qu'il existe une extension aux réels, même aux complexes (avec conditions) de la factorielle n! . On peut 's'en inspirer pour déterminer sa vitesse, mais bon honnêtement oublions pour l'instant

.

invite3811ba77 · 20/08/2007, 20h39

bonjour à tous, je voulais simplement vous dire qu'une suite ne se dérive pas (ma prof de maths cette année nous l'a assez répété pour que je mémorise!) le seul moyen si vous voulez avoir un derivation c'est de dire que (par exemple) : la suite U n = f(n) avec f(x)= CE QUE VOUS VOULEZ

et là vous pourrez dérivez

bonne soirée
amande02

**Dydo** · 20/08/2007, 20h41

Mouarf tu m'as fait peur

L'extension dont tu parle de la factorielle aux réel est définie simplement ou c'est encore un truc douteux :þ ? Parce que ça parait pas tellement évident d'avoir une factorielle de réel, mais j'imagine, encore une fois, que quand on nous a parlé de factorielle, on ne nous a pas tout dit hein ^^

**Gwyddon** · 20/08/2007, 20h42

Juste pour en pousser certains vers des abîmes de perplexité : on peut donner un sens à "dériver une suite", et même qu'il existe l'analogue pour les suites/séries de l'intégration par parties

Mais oubliez ça pour le lycée..

inviteec581d0f · 20/08/2007, 20h47

Envoyé par FonKy-

en effet c pire qu'un exponentielle

alors ta parabole

Je n'ai pas encore vu les exponentielles et ma calcuatrice m'a affiché une parabole

invitec053041c · 20/08/2007, 21h09

Envoyé par Dydo

Mouarf tu m'as fait peur

L'extension dont tu parle de la factorielle aux réel est définie simplement ou c'est encore un truc douteux :þ ? Parce que ça parait pas tellement évident d'avoir une factorielle de réel, mais j'imagine, encore une fois, que quand on nous a parlé de factorielle, on ne nous a pas tout dit hein ^^

La factorielle d'un nombre réel n'existe pas vraiment non

. C'est juste qu'on a construit une fonction qui coïncide avec la factorielle aux valeurs entières.
On t'a rien caché, n!=1.2.3....n sans soucis.

Envoyé par Gwyddon

Juste pour en pousser certains vers des abîmes de perplexité : on peut donner un sens à "dériver une suite", et même qu'il existe l'analogue pour les suites/séries de l'intégration par parties

Mince alors, j'ai perdu mon pari

( j'étais sûr que Médiat aurait parlé de cela avant toi

).

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