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Suite de Fibonacci



  1. #1
    kidnapped

    Suite de Fibonacci


    ------

    Bonjour, je suis tombée sur un exercice avec correction mais je n'ai pas très bien compris la correction d'une question:

    Soit la suite:

    u0=0
    u1=1
    et pour n appartenant à |N on a:
    Un+2= Un+1 + Un


    Montrer que pour toutn on a :
    Un=((1+)/2))-((1-)/2))

    Dans la correction on parle d'utiliser la récurrence forte

    voici a première ligne de la correction:

    on suppose nN avec N appartenant à |N

    UN+1=((1+)/2))-((1-)/2))+((1+)/2))-((1-)/2))
    Voilà en fait je n'ai pas compris comment on a trouvé cette écriture

    Cordialement

    -----
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Bonsoir.

    C'est vrai que ça embrouille plus qu'autre chose.
    Ce que je te conseille , c'est d'utiliser une récurrence double plutôt qu'une récurrence forte.
    Tu initialises 2 fois (U0 et U1)
    Tu supposes qu'à rang n on ait Un=... et qu'au rang (n+1) on ait un+1=...

    Et tu vérifies que Un+2 vaut bien ce qu'on te demande.

    Mais bon après peut-être que tu préfères suivre à la lettre la correction.


    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Nox

    Re : Suite de Fibonacci

    Bonjour,

    Si tu n'as pas fais de théorie des suites récurrentes en effet la seule démonstratoin possible est la récurrence. Ici je ne pense pas qu'une récurrence forte soit éncessaire : une récurrence double me semble par contre tout à fait appropriée ... Tu supposes ta propriété vraie au rang N et N-1 (N naturel fixé quelconque) et tu montres que c'est vrai au rang N+1. c'est pourquoi je m'interroge sur tes -1 dans ton écriture : ne devraient ils pas être dans l'exposant ? ce qui se ferait en latex par ^{N-1} ? Bref précise ton écriture parce que s'ils sont bien en exposant c'est seulement le principe de la récurrence ...

    Cordialement,

    Nox

    Edit : Comme d'hab Ledescat est là ! Donc un peu grillé j'avoue !
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Nox Voir le message
    Edit : Comme d'hab Ledescat est là ! Donc un peu grillé j'avoue !
    Ah mais non tu as éclairé ma lanterne, ce sont des (N-1) en exposant. Je me demandais ce que faisaient ces 1 .
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    Nox

    Re : Suite de Fibonacci

    Rebonsoir !

    Juste pour le faire plus joli et réviser un peu le latex ...


    Par définition , il ne reste plus qu'à vérifier que cela vaut non ? Pour le caractère héréditaire de la récurrence bien sûr ... Reste comme l'a dit Ledescat à rédiger l'initialisation ...

    Cordialement,

    Nox
    Dernière modification par Nox ; 29/08/2007 à 19h11. Motif: Faute de syntaxe
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Sans oublier de remarquer que sont solution de x²=x+1, c'est-à-dire:



    Et pareil pour l'autre .
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Suite de Fibonacci

    Bonsoir,

    Il me semble qu'il reste une erreur, qui est le signe "-" entre les deux puissances. Ce devrait être un "+" il me semble...

    Cordialement,

  11. #8
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Bonsoir,

    Il me semble qu'il reste une erreur, qui est le signe "-" entre les deux puissances. Ce devrait être un "+" il me semble...

    Cordialement,

    Ca me semble correct au contraire.

    Avec un "+", on aurait U0=2.

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    kidnapped

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Nox Voir le message
    Rebonsoir !

    Juste pour le faire plus joli et réviser un peu le latex ...


    Par définition , il ne reste plus qu'à vérifier que cela vaut non ? Pour le caractère héréditaire de la récurrence bien sûr ... Reste comme l'a dit Ledescat à rédiger l'initialisation ...

    Cordialement,

    Nox
    Voilà ce que ça devrait donner en Latex merci!
    Merci Nox et Ledescart pour vos réposes c'est plus clair maintenant et plus évident!
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

  13. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Avec un "+", on aurait U0=2.
    Mais on a u1 = racine de 5 avec le signe -.

    Tu as raison, ma correction n'est pas la bonne: ce qui manque c'est de tout diviser par racine de 5...

    Cordialement,

  14. #11
    Nox

    Re : Suite de Fibonacci

    En réponse au polynôme de Ledescat :
    Et c'est peut-être même de la que ça sort ce mystérieux ... Mais je doute que notre demandeur soit déjà formé à cela ... (c'est pourquoi je préférais le laisser se dépatouiller à la main - à son niveau on doit encore beaucoup insister sur le calcul ...)

    Cordialement,

    Nox
    Dernière modification par Nox ; 29/08/2007 à 19h23. Motif: Précision de contexte
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  15. #12
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Nox Voir le message
    Et c'est peut-être même de la que ça sort ce mystérieux ...
    Complètement même, mais chuuuut .
    Cogito ergo sum.

  16. Publicité
  17. #13
    Nox

    Re : Suite de Fibonacci

    Bonjour,

    Effectivement d'après mon bon vieux cours sur les suites vérifiant une relation de récurrence je serai tenté de dire que l'expression est fausse ... On obtient que
    et il faut encore déterminer et .

    Pour que la relation soit vraie aux rangs 0 et 1, on obtient le système et donc il devrait trainer du \sqrt{5} qui devrait peut-être trainer .. mais de mémoire il me semble pas .. je repasse après l'orage et le repas et après avoir réfléchi ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  18. #14
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Si c'est normal, on doit trouver:



    D'où:

    Cogito ergo sum.

  19. #15
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Allez pour le plaisir , quelqu'un qui fait une jolie démonstration du fameux:




    ?
    (courage, non quand même )
    Cogito ergo sum.

  20. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Allez pour le plaisir , quelqu'un qui fait une jolie démonstration du fameux:




    ?
    (courage, non quand même )
    C'est direct avec la formule proposée, puisque 1/φ<1...

    Cordialement,

  21. #17
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    C'est direct avec la formule proposée, puisque 1/φ<1...

    Cordialement,
    Oui bien-sûr, mais voyons voir ... !
    Cogito ergo sum.

  22. #18
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Enfin je dirais plutôt car

    François
    Cogito ergo sum.

  23. Publicité
  24. #19
    invité576543
    Invité

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Enfin je dirais plutôt car
    Si tu veux, mais



    suffit!

    Edit: Non, faut aussi ... Du coup, ça revient au même...
    Dernière modification par invité576543 ; 29/08/2007 à 21h01.

  25. #20
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Si tu veux, mais



    suffit!
    Oui, où avais-je la tête .
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Enfin je dirais plutôt car

    François
    Ou encore, plutôt que on peut utiliser

  27. #22
    Ledescat

    Re : Suite de Fibonacci

    Tous les chemins mènent à Rome ! (enfin c'est ce qu'on dit ).
    Cogito ergo sum.

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : Suite de Fibonacci

    C'est ce qui est marrant avec , il y a toujours plein de chemins.

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