Equat diff

[invite2e03b3ba]

Bonjour

Je voudrais savoir comment les mathématiciens ont fait pour résoudre une EDO de la forme suivante: y'=k*y?

Merci
Tibérium

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[invitec053041c]

Bonjour.

Ton équation équivaut à
y'-ky=0 <=> (y'-ky)exp(-kx)=0
<=>(y.exp(-kx))'=0
<=>(y.exp(-kx))=cst
<=>y=cst.exp(kx) (l'exponentielle ne s'annule jamais au passage)

François

[invite2e03b3ba]

Bonjour

Merci Ledescat pur cette explication, mais pourquoi la fonction exponentielle? Et comment fait-on pour résoudre dans des cas ou y serait d'ordre 5 (y'''''=k*y)?

Merci
Tibérium

[invitec053041c]

A tâton on peut poser pour k>0 et vérifier qu'elle vérifie bien l'équation.
Ensuite, en posant les conditions initiales nécésaires, on peut montrer l'unicité de la solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Le théorème de Cauchy Lipshitz la donne directement l'unicité, non ? y a rien à prouver...

Romain

[mamono666]

il me semble qu'à la base c'est euler qui a introduit la fonction exponentiel, pour résoudre ce genre d'équation diff. D'où la méthode d'euler d'ailleurs.

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_d'Euler

je ne suis pas sur à 100%

[mamono666]

De manière plus générale, j'appel I l'intervalle sur lequel on résoud l'equa diff, on peut alors la mettre sous la forme:



tel que

tel que