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Problème de bille et de vase conique



  1. #1
    Lighter

    Problème de bille et de vase conique


    ------

    Je suis entré aujourd'hui en première et notre prof nous a immédiatement gratifié d'un petit problème matheux plutôt ardu. Je voulais voir si vous pouviez me donner quelques pistyes de résolution

    On plonge une bille de rayon x dans un vase conique de rayon r et de hauteur h rempli d'eau. Pour quelle valeur de x le volume d'eau expulsé est-il maximal?

    Merci d'avance de tous vos éclaircissements!

    -----

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  3. #2
    Didinator

    Re : problème de bille et de vase conique

    j'pense a un truc mais j'suis aps sur:
    Tu reprente ton probleme par un triangle et un cercle inscrit dedans,
    Sois f la fonction qui decri l'aire du triangle - l'aire du cercle:
    f(x)=hr-2PIx
    tu trouve le mini de cette fonction et sa devrai le faire.

    hum attend y a un pti pb la dedans... le cercle peu avoir un rayon infini sa va pas.

  4. #3
    manimal

    Re : problème de bille et de vase conique

    Salut ,
    Je pense plutot qu il faut trouver le rayon du cercle inscrit (boule) dans le triangle isocèle (cone).
    Ca devient plus simple comme ça.
    Cordialement.
    Manimal.
    EDIT:fonctionner avec les bissectrices
    Dernière modification par manimal ; 05/09/2007 à 19h33.

  5. #4
    manimal

    Re : problème de bille et de vase conique

    Bonsoir ,
    Il faut faire un dessin.
    Avec le triangle isocèle et le cercle inscrit , tu considères l angle A tel que
    tg(A)=h/r
    La bissectrice coupe en deux cet angle et alors apparait l angle A/2.
    Tu as la formule de la tangente
    tg(2A)=sin(2A)/cos(2A)
    =2sin(A)cos(A)/(cos²(A)-sin²(A))
    On divise le numérateur et le dénominateur par cos²(A) , il vient
    tg(2A)=2tg(A)/(1-tg²(A))
    Donc
    tg(A)=2tg(A/2)/(1-tg²(A/2))
    Tu trouves tg(A/2) en résolvant une équation du second degré et en posant tg(A/2)=X , il y a deux solutions , tu choisis la bonne en spécifiant pourquoi.
    Et tu sais que tg(A/2)=x/r et tu trouves x.
    Un peu dur pour un devoir de rentrée
    Cordialement.
    Manimal.

  6. #5
    manimal

    Re : problème de bille et de vase conique

    Désolé je n avais pas vu que tu rentres juste en première , je t ai donné des pistes pour cet exercice avec les outils de première sans cela je ne vois pas.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    manimal

    Re : problème de bille et de vase conique

    En fait c est tout simple avec Pythagore.
    Pourquoi se compliqué la vie alors qu on peut faire simple

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  10. #7
    homotopie

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par Lighter Voir le message
    Je suis entré aujourd'hui en première et notre prof nous a immédiatement gratifié d'un petit problème matheux plutôt ardu. Je voulais voir si vous pouviez me donner quelques pistyes de résolution

    On plonge une bille de rayon x dans un vase conique de rayon r et de hauteur h rempli d'eau. Pour quelle valeur de x le volume d'eau expulsé est-il maximal?

    Merci d'avance de tous vos éclaircissements!
    Bonjour,
    d'abord, le terme plonger doit être pris dans le sens fort : la bille est entièrement dans le vase sinon une bille plus grande expulse encore plus d'eau mais le calcul nécessite des connaissances hors programme lycée.
    Donc il faut chercher quan est-ce que la bille est tangente à la surface.
    Si x est le rayon et H la hauteur du centre de la bille, on obtient en considérant deux triangles rectangles distincts de même forme une relation simple entre x, H, r et h.
    Maintenant la bille affleure à la surface si H+x=h ce qui permet de poser une équation qui permet de trouver x en fonction de h et r.

  11. #8
    Lighter

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Pour répondre à Homotopie...
    J'ai une petite piste; il parait qu'il y a trois cas à considérer: la bille est completement immergée (dans quel cas plus elle est grosse plus elle dégage d'eau, logique), la bille émerge en partie, ou la bille est tellement grosse qu'elle est immergée en petite partie. Le truc c'est qu'il faut trouver la fonction du volume d'eau expulsé en fct de la taille (du rayon) de cette bille. Si elle est trop grosse, elle ne rentrera presque pas dans le cône et si elle est trop petite, elle ne dégagera presque pas d'eau.
    Pour info, je suis en Belgique et le programme de math diffère peut-être un peu.
    Merci déjà pour toutes vos réponses. Je suis en teain d'y réfléchir voir s'il n'y a pas de solution partielle au problème.

  12. #9
    Lighter

    Re : problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par manimal Voir le message
    En fait c est tout simple avec Pythagore.
    Pourquoi se compliqué la vie alors qu on peut faire simple
    Si c'est si simple, tu pourrais m'éclairer pleaase

  13. #10
    Médiat

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par Lighter Voir le message
    la bille émerge en partie, ou la bille est tellement grosse qu'elle est immergée en petite partie.
    Pour être plus précis sur ces deux derniers points, soit la bille est à moitié ou plus qu'à moitié immergée, soit la bille est strictement moins qu'à moitié immergée.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    manimal

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Salut ,
    Pour la bille totalement immergée en considérant le cercle inscrit et le triangle isocèle , on a (bien sur ça se voit en faisant un schéma) :
    ()²+x²=(h-x)²
    Tu n as plus qu à isoler x.
    Voilà , tout ça est fait avec pythagore.
    Cordialement.
    Manimal.
    Dernière modification par manimal ; 06/09/2007 à 18h47.

  15. #12
    Khoi

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Bonjour,

    On plonge une bille de rayon x dans un vase conique de rayon r et de hauteur h empli d'eau. Pour quelle valeur de x le volume d'eau expulsé est il maximal ?

    Réponse: le volume d'une calotte sphérique (rayon R et hauteur H) vaut .

    3 cas: la sphère est plongée dans le cône, elle est tangente aux génératrices du cône, elle n'est plus tangente au cône. Le volume est maximal pour
    Je suis dans la même classe que Lighter, et voici l'énoncé complet. Nous avons la réponse, mais aucun de nous n'a pu, après plusieurs heures de recherche, trouvé le raisonnement pour y arriver.

    Quelqu'un a-t-il une idée pour arriver à la réponse finale?

    Merci beaucoup,

    Khoi

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  17. #13
    Médiat

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par Khoi Voir le message
    Quelqu'un a-t-il une idée pour arriver à la réponse finale?
    Alors il faut étudier les 3 cas évoqués plus haut.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Khoi

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Merci de ta réponse.

    Mais je crois que nous avons essayé, sans arriver à grand chose.

  19. #15
    Médiat

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par Khoi Voir le message
    Merci de ta réponse.

    Mais je crois que nous avons essayé, sans arriver à grand chose.
    Il faut considérer 2 cas limites :
    1) la sphère est totalement immergé, tangente à la surface du vase (c'est le cas étudié dans les posts précédents (cela te donne un rayon x1)
    2) la sphère est coupé en deux parties égales par la surface du vase (cela te donne un rayon x2)

    Pour x <= x1 la sphère est totalement immergée, le volume à calculer est celui de la sphère
    Pour x1 < x <= x2 la sphère est totalement immergée moins une calotte (tu as la formule de son volume)
    Pour x > x2 seulement une calote est immergée (tu as la formule)

    Il te reste à calculer x1 et x2 à montrer que la fonction égale au volume de sphère dans l'eau est continue en x et suffisament dérivable pour en faire l'étude (bon courage )
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #16
    Khoi

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il faut considérer 2 cas limites :
    1) la sphère est totalement immergé, tangente à la surface du vase (c'est le cas étudié dans les posts précédents (cela te donne un rayon x1)
    2) la sphère est coupé en deux parties égales par la surface du vase (cela te donne un rayon x2)

    Pour x <= x1 la sphère est totalement immergée, le volume à calculer est celui de la sphère
    Pour x1 < x <= x2 la sphère est totalement immergée moins une calotte (tu as la formule de son volume)
    Pour x > x2 seulement une calote est immergée (tu as la formule)

    Il te reste à calculer x1 et x2 à montrer que la fonction égale au volume de sphère dans l'eau est continue en x et suffisament dérivable pour en faire l'étude (bon courage )
    Merci pour ta réponse mais j'ai plusieurs question:

    - Pour trouver x1, il faut trouver le rayon du cercle inscrit au triangle de base 2r et de hauteur h. Y a-t-il une formule?
    - Comment calculer la hauteur immergée?

  21. #17
    cypher_2

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Citation Envoyé par Khoi Voir le message
    - Pour trouver x1, il faut trouver le rayon du cercle inscrit au triangle de base 2r et de hauteur h. Y a-t-il une formule?
    Normalement tout se passe dans un triangle isocèle ( ton vase ) dans lequel le cercle inscrit est ta bille. Avec Pythagore tu trouves la relation que Manimal t'as donné plus haut.

    Cherches bien, fais une figure sur une feuille.

  22. #18
    Médiat

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Je viens de faire un peu plus attention à la formule donnant le volume d'une calote, je croyais qu'elle n'était valable que pour les calotes de taille inférieure ou égale à la demi-sphère, en fait elle est valable pour toutes les calotes, il y a donc 2 cas à étudier et non 3...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    Namurois

    Re : Problème de bille et de vase conique

    c bon les gars on a une réponse fiable.

  25. #20
    Lighter

    Re : Problème de bille et de vase conique

    Ce petit passage pour vous remercier. Après quelques litres de jus de cerveau et de développement fastidieux, on y est arrivé. Vraiment, le prof a pas été gentil avec ce devoir le premier jour.

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