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Mes questions en TS



  1. #1
    Electrofred

    Arrow Mes questions en TS


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis rentré en TS et je pense que j'aurai plusieurs questions a vous poser tout au long de l'année, autant sur le cours que sur des complements, alors je crée ce topic afin de ne pas avoir a en créer a chaque question que j'aurai a vous poser.
    Je fais également spé maths donc mes questions pourront aussi porter sur le programme de spé.

    Je commence : dans un exo de spé, on nous demande de trouver tous les entiers naturels n supérieurs ou égaux a 2 tels que (mod. n). Alors moi je dirai que ceci équivaut a trouver n (entier naturel et superieur ou égal a 2) tel que 1331 soit divisible par n.
    Et une fois que j'ai fait ca, je peux les trouver un par un en essayant, mais je voulais vous demander s'il y avait moyen de tous les connaitre de facon sure, j'avais quelques idées avec les nombres premiers, mais on ne les a pas encore vu, ca reste du domaine de l'intuition pour l'instant.
    Comment feriez vous?
    Sinon ce n'est pas grave je peux le faire un par un, la encore ca va avec 1331 mais si ca avait été 368426758 ca aurait déja été plus délicat .

    Merci d'avance.

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Bonjour.

    Il faut en effet trouver tous les diviseurs de 1331.
    ¨Par quelques règles de divisibilité, on trouve que 1331 est divisible par 11, et 1331=11*121 qui est égal à 11^3.

    Sachant que la décomposition en facteurs premiers (ici il n'y a que 11) est unique, tu peux déduire les diviseurs de 1331.
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    Electrofred

    Re : Mes questions en TS

    Bonsoir et merci,

    OK c'est bien compris, donc pour l'instant il faut un peu faire ca au feeling.

    Une autre question, toujours sur la spé :

    Dans un exercice du livre on demande de déterminer les restes de la division euclidienne de par 5 en fonction de n ( ), et il n'est pas corrigé.
    Je suis allé sur internet et j'ai trouvé la même question, dont voici la correction : http://xmaths.free.fr/corrections/w664lHO6ae.pdf (question 1).
    Je me demandais s'il y avait possibilité de faire ca d'une autre maniere, j'ai bien compris l'idée mais je veux dire qu'au début on est obligé de calculer les premiers termes et de conjecturer que la suite des restes de la division euclidienne de par 5 est périodique de période 4.
    Y-a-t-il un moyen pour montrer ca plus directement, en évitant la conjecture?
    Parce que la ca marche si on pense a écrire les premiers restes, mais si la suite avait été périodique de période 27 par exemple, ca aurait moins sauté aux yeux .

    Merci d'avance.

  6. #4
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Bonjour.

    Je n'ai pas regardé la correction, mais en remarquant que 2^4=1[5], il suffit de regarder ce que vaut n modulo 4 (il n'y a donc que 4 possibilités de restes).
    Ce n'est pas long.

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Parce que la ca marche si on pense a écrire les premiers restes, mais si la suite avait été périodique de période 27 par exemple, ca aurait moins sauté aux yeux .
    C'est ce qui fait le charme de l'arithmétique .

    Après tu as des théorèmes comme le petit theorème de Fermat (qu'on utilise implicitement ici) et qui t'évitent de calculer de trop.
    Mais en général une petite division euclidienne s'impose souvent .
    Cogito ergo sum.

  9. #6
    Electrofred

    Re : Mes questions en TS

    Bonsoir et merci,

    En fait ca tombe bien parce qu'on a fait cet exo justement ce matin en spé maths, donc ca tombe tres bien et puis j'avais compris l'idée avec ce que tu m'as expliqué.

    D'ailleurs le prof nous a dit que pour tout a (entier naturel), non divisible par n, il existait un entier p tel que (mod n), avec n un entier naturel non nul.Je lui ai demandé a la fin du cours s'il existait une démo a notre portée et il m'a dit que ca se faisait dans le superieur mais qu'il lui semblait qu'on pouvait le montrer quand même a notre niveau, mais nous n'avons pas trouvé de démonstration.

    Je voulais donc savoir si vous connaissiez un moyen de montrer ca niveau lycée.

    Par rapport au programme en obligatoire, je me demandais si vous aviez des "colles" a me poser au niveau des démos par récurrence ou des limites, des exercices de recherche, un peu corsés et plus difficiles que les autres. J'en ai trouvé certains mais si vous en avez je les ferai avec plaisir. Par contre je n'ai pas encore vu tout le programme de TS donc par exemple des limites avec des exponentielles ou de la récurrence avec des intégrales j'aurai surement du mal, donc si on peut éviter ... pour le moment .

    Merci d'avance.

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  11. #7
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Je réfléchis à une démonstration.
    Mais on devrait s'en sortir avec Fermat, sachant que pour tout nombre premier p , a^(p-1)=1 [p]
    Il faudrait décomposer n en ses facteurs premiers et un peu arranger tout ça, mais je n'assure vraiment rien.
    Cogito ergo sum.

  12. #8
    Electrofred

    Re : Mes questions en TS

    Bonsoir et merci,

    En fait mon prof avait essayé et il me semble qu'on avait réussi a le montrer pour p premier, mais qu'apres ca bloquait.
    Je crois que dans un de mes exos corrigé il en est question dans le cas général, mais je ne suis même pas sur, je reverrai ca a tete reposée parce que ca utilise certaines choses que je n'ai pas encore vu (oui peut etre bien Fermat).

    Et pour les limites avez vous des colles à me poser? (c'est bien la premiere fois qu'un éleve demande a se faire coller ... ).
    Je pense que pour l'instant ce qu'il peut y avoir de plus dur pour moi ce sont les limites avec les fonctions trigo (évitez exoponentielles logarithmes et factorielles svp je n'ai pas encore vu), enfin si vous avez mieux je suis preneur.

    Merci d'avance.

  13. #9
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Bonsoir et merci,

    En fait mon prof avait essayé et il me semble qu'on avait réussi a le montrer pour p premier, mais qu'apres ca bloquait.
    Tu veux dire pour n premier non ?
    Car dans ce cas rien à montrer, suffit de réciter le théorème de Fermat et de choisir (p-1) comme exposant .

    Pour les limites je réfléchis.
    Par exemple lim(en 0) (sin(x)-x)/x^3 ?

    ( je vérifie qu'e c'est niveau lycée).


    EDIT: bon je ne suis pas sûr que cette limite soit niveau lycée.

    En revanche lim(en 0) (cos(x)-1)/x² ne me semble pas hors programme .
    Cogito ergo sum.

  14. #10
    Guillaume.B

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Par rapport au programme en obligatoire, je me demandais si vous aviez des "colles" a me poser au niveau des démos par récurrence ou des limites, des exercices de recherche, un peu corsés et plus difficiles que les autres.

    On considère une suite d'entiers telle que et pour tout n > 0. On pose .

    Montrer que pour tout n, il existe un carré parfait tel que :


  15. #11
    Guillaume.B

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Par rapport au programme en obligatoire, je me demandais si vous aviez des "colles" a me poser au niveau des démos par récurrence ou des limites, des exercices de recherche, un peu corsés et plus difficiles que les autres.

    On considère une suite d'entiers telle que et pour tout n > 0. On pose .

    Montrer que pour tout n, il existe un carré parfait tel que :



    Enjoy

  16. #12
    homotopie

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    j'avais quelques idées avec les nombres premiers, mais on ne les a pas encore vu
    Ledescat a déjà répondu mais juste en passant les nombres premiers sont au programme de seconde donc censés être vus en TleS.

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    D'ailleurs le prof nous a dit que pour tout a (entier naturel), non divisible par n, il existait un entier p tel que (mod n), avec n un entier naturel non nul.Je lui ai demandé a la fin du cours s'il existait une démo a notre portée et il m'a dit que ca se faisait dans le superieur mais qu'il lui semblait qu'on pouvait le montrer quand même a notre niveau, mais nous n'avons pas trouvé de démonstration.

    Je voulais donc savoir si vous connaissiez un moyen de montrer ca niveau lycée.
    Il faut que a et n soient premiers entre eux et non simplement que n ne divise pas a. (Une petite infinité de contre exemples : 2^p n'est jamais congru à 1 modulo n si n est pair pourtant les pairs (autres que 2) ne divisent pas 2).
    On peut en faire une démo niveau TleS (les grandes lignes) :
    1ère étape (cours TleS) : cas n=q est premier (c'est le petit théorème de Fermat).
    Il existe p tel que ap=1+hq
    2ème étape : cas n=qm avec p premier et m entier
    C'est vrai pour m=1, on a b=ap=1+hq, b1=1+h1q1
    On pose l'hypothèse de récurrence P(q) :

    3ème étape : cas général
    1ère sous-étape :
    montrer que si r est congru à 1 modulo s alors toutes les puisssances de r sont congrus à 1 modulo s (pas très difficile mais indispensable)
    2ème sous-étape :
    si s et s' sont premiers entre eux alors
    C'est une application quasi-directe du lemme de Gauss.
    On montre par récurrence que ça se généralise à un nombre quelconque de facteurs si.
    Si on note ki un entier tel que et alors :
    i) application du la 1ère sous-étape
    ii) donc application de la 2ème sous-étape

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  18. #13
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    2ème sous-étape :
    si s et s' sont premiers entre eux alors
    Tu utilises les restes chinois ici non ?

    EDIT: en posant l'équation diophantienne ça vient en effet tout seul .
    Cogito ergo sum.

  19. #14
    Electrofred

    Re : Mes questions en TS

    Bonsoir et merci,

    OK pour la démo Homotopie, j'ai compris l'idée, même s'il a un ou deux points encore un peu flous (on n'a pas encore vu la formule du binome par exemple, ou bien la lemme de gauss), mais c'est bien compris dans l'ensemble et puis je reverrai ca plus en détails quand j'aurai un peu de temps.

    Ledescat a déjà répondu mais juste en passant les nombres premiers sont au programme de seconde donc censés être vus en TleS.
    Oui bien sur mais quand je dis qu'on n'a pas vu les nombres entiers je veux dire les résultats qu'on obtient dessus en TS ... mais si bien sur que j'ai vu ca en seconde et que j'ai quand même quelques notions .


    Pour les limites que tu me proposes Ledescat voici ce que j'ai fait :
    - :
    On a car .
    Désolé ca fait long comme suite de calculs, en gros je multiplie par une quantité conjuguée de maniere a faire apparaitre du au numérateur et comme on a du au dénominateur ca donne du ... .

    - :
    Alors en fait je n'ai pas réussi a lever l'indetermination avec des quantités conjuguées des factorisations ou autre ... donc j'ai fait ca avec des taux d'accroissement successfis, en fait ca revient un peu a employer cette fameuse règle de l'hospital que les profs n'aiment pas trop, mais je trouve que présenté comme ca (sans donner directement le resultat) c'est assez rigoureux, qu'en pensez vous? :
    Soit et . On a donc f(0)=g(0)=0.

    Or et on a et (f' et g' continues).
    Donc .
    Or et et (f'' et g'' sont continues).
    Donc .
    Or donc et , donc .

    Désolé je n'ai pas tout tout détaillé en disant "pour tout x différent de ..." et les dérivées successives des fonctions ... j'ai juste un peu insisté sur la continuité des fonctions car on va bientot s'y attaquer en cours, donc ca m'entraine.

    Est-ce correct ? C'est assez long comme ca en justifiant a chaque fois mais bon je trouve que comme ca ca reste relativement rigoureux.
    Qu'en pensez vous? Avez vous une méthode plus directe pour lever l'indetermination? j'ai cherché mais je n'ai rien trouvé.

    Si vous en avez d'autres sympas aussi je suis preneur, et puis ce n'est pas grave si ca sort un peu du programme.

    Pour ton exo Guillaume.B je n'ai pas vraiment eut le temps de m'y mettre, j'ai juste commencé un petit quelque chose mais je n'ai pas encore trouvé... j'ai pas mal de choses a faire en ce moment mais des que j'ai un peu de temps je m'y remets et je vous poste ce que j'ai trouvé ou pas trouvé .


    A+

  20. #15
    Ledescat

    Re : Mes questions en TS

    Bonsoir.

    Pour la limite de (cos(x)-1)/x² c'est parfait .

    Pour l'autre, je me suis rendu compte que je ne connaissais aucune méthode de lycée pour lever l'indétermination, donc plutôt que de rester bloqué , utiliser l'hospital en dernier recours est bien pensé (et la limite est juste).
    A part les développements limités, j'avoue que je ne vois pas .


    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  21. #16
    homotopie

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par Electrofred Voir le message
    Bonsoir et merci,

    OK pour la démo Homotopie, j'ai compris l'idée, même s'il a un ou deux points encore un peu flous (on n'a pas encore vu la formule du binome par exemple, ou bien la lemme de gauss), mais c'est bien compris dans l'ensemble et puis je reverrai ca plus en détails quand j'aurai un peu de temps.
    C'est ce que je craignais mais si tu as compris l'idée tu pourras compléter les passages techniques en cours d'année.

    Citation Envoyé par Electrofred
    Oui bien sur mais quand je dis qu'on n'a pas vu les nombres entiers je veux dire les résultats qu'on obtient dessus en TS ... mais si bien sur que j'ai vu ca en seconde et que j'ai quand même quelques notions .
    Oui bien sûr mais ce que je voulais dire c'est que le résultat utilisé (qui n'est pas trivial) est l'existence et l'unicté de la décomposition en facteurs premiers qui est vu (quoique admis) en seconde.



    Citation Envoyé par Electrofred
    Pour les limites que tu me proposes Ledescat voici ce que j'ai fait :
    - :
    On a car .
    Très bien () et il est difficile (pour ne pas dire impossible sans utiliser du "marteau-pilon") de la traiter de manière plus courte. Par contre une remarque au niveau de la rédaction :
    on n'écrit que lorsque l'on a montré que cette limite existe (il est toléré de l'écrire dans un titre par contre), il est très maladroit de faire des calculs sur une quantité dont on n'est même pas sûr de l'existence.
    La rédaction peut être ta 1ère ligne de calcul à laquelle on retire les "lim"* (et le -1/2), ta 2ème ligne on remplace "car" par "or" et on justifie que 1/(cos(x)+1) tend vers 1/2 (l'argument est que cos est continue en 0). Et on conclue en pouvant cette fois utiliser "lim".
    * : tu gagnes même en économie d'écriture.
    (Comme ici ce n'est pas une rédaction formelle qui t'es demandé, tu peux ne pas écrire les précautions "pour x différent de ..." mais un conseil habitue-toi à ne pas employer "lim" trop vite)

    Citation Envoyé par Electrofred
    - :
    Alors en fait je n'ai pas réussi a lever l'indetermination avec des quantités conjuguées des factorisations ou autre ... donc j'ai fait ca avec des taux d'accroissement successfis, en fait ca revient un peu a employer cette fameuse règle de l'hospital que les profs n'aiment pas trop, mais je trouve que présenté comme ca (sans donner directement le resultat) c'est assez rigoureux, qu'en pensez vous? :
    Soit et . On a donc f(0)=g(0)=0.
    Même remarque avec l'écriture préméturée de "lim" mais ici il y a plus grave, tu es en train d'écrire "0/0" .

    Citation Envoyé par Electrofred
    Or et on a et (f' et g' continues).
    Donc
    Bon là non par contre.
    Je réutilise autrement ton argument (en laissant les "lim" pour bien montrer que je réutilise exactement tes arguments): Or f'(0)=g'(0)=0 et on a et (c'est vrai aussi) donc [TEX]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{f'(x)}[\TEX]
    On aboutit alors à une limite égale à 1. En utilisant d'autres fonctions qui convergent vers 0 en 0 je peux obtenir toutes les limites que je veux ou trouver une absence de limite.
    Tu t'es laissé abuser par des similitudes formelles ce n'es pas parce que tu as écrit f'(0) que tu peux remplacer par lim (f'(x)) f'(0) est un simple nombre (en l'occurnece 0).
    Par cette voie il faudrait justifier le remplacement de par f'(x) autrement dit que tend vers 1. Cela revient à montrer la règle de L'Hôpital.

    Comment y arriver (Ledescat a fait fort, il s'en est rendu compte après) ?
    Une voie possible (mais je ne suis pas sûr que tu es déjà vu l'intégration, tu la verras cette année en tout cas) est de réutiliser ce qui précède.
    Comme la fonction x->sin(x)-x est une somme de fonctions continues et dérivables, de dérivée x->cos(x)-1, on a pour tout x réel :
    donc :

    Une étude de fonctions montre que la fonction t->cos(t)-1+t²/2 est croissante sur R+, décroissante sur R- (il faut dériver au moins deux fois) et vaut 0 en 0 (en particulier elle est positive). On peut donc encadrer par 0 et x[cos(x)-1+x²/2]. En s'aidant de la limite montré précédemment, on montre que le quotient de cette quantité par x² tend vers 0.
    Ainsi tend vers -1/6.

    C'est remontrer la règle de l'Hôpital (sans l'utiliser donc admis en TleS) mais dans un cas plus agréable que le cas général.
    Cette technique permet aussi de calculer la limite de (exp(x)-1)/x² (quand on connaît l'exponentielle, elle aussi est vue en TleS mais pas nécessairement en septembre ).

  22. #17
    Electrofred

    Re : Mes questions en TS

    Bonsoir,

    Je vous remercie, non je n'ai pas vu l'intégration (je pense qu'on ne va pas tarder, la on va aborder les complexes, on va revenir sur les logartihmes et les croissances comparées et puis je pense qu'on va s'y mettre juste après), mais je connais le principe on va dire, en effet, ca marche bien mais fallait y penser (je ne sais pas si ca serait venu comme ca mais bon avec un peu d'habitude j'immagine que ca viendra).

    Une question au sujet d'un exo de spé, c'est pas bien méchant mais je voulais avoir votre avis.
    A un moment du probleme, on cherche n tel que PGCD(2n+1;n+7)=1
    Voici ce que j'ai fait : on pose a=2n+1 et b=n+7, par une combinaison lineaire on montre que si d est un diviseur commun a a et b alors d divise 13, on cherche donc n tel que PGCD(n+7;13)=1.
    On a toujours PGCD(n+7;13)=1 sauf pour n+7 divisible par 13 (le PGCD est alors 13), c'est a dire sauf pour n+7=13k soit n=13k-7 que l'on peut écrire sous la forme 13K+6.
    Donc l'ensemble des entiers tels que PGCD(2n+1;n+7)=1 est n=13K+t, avec t {0,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12}.

    Voila, deja j'espere que je ne dis pas de bétise et puis je voulais savoir s'il y avait un moyen un peu plus élégant d'arriver au résultat (sans passer par ce que n ne doit pas etre pour arriver a ce a quoi il doit etre ...), mais bon ce n'est pas grave au pire je ferais comme tout le monde j'attendrais la correction mercredi pour en avoir le coeur net .

    Merci d'avance.

  23. #18
    Electrofred

    Re : Mes questions en TS

    Bonjour,

    Je réutilise ce fil car j'ai une petite question (encore de la spé) :

    M a pour écriture abc en base 10, N a pour écriture bca en base 10. le but est de montrer que si M est divisible par 27 alors M-N l'est aussi.
    Voici ce que j'ai fait : M-N=100a+10b+c-100b-10c-a=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)=9(111a-M)=27*37a-M , M étant divisible par 27, on conclue par différence.

    Ca marche très bien pas de probleme mais c'était pour savoir si vous aviez une autre méthode à me conseiller (c'est la premiere fois je crois que je rencontre ce genre de probleme, donc je me disais qu'il y avait peut etre une méthode plus générale), je pense que de toutes facons on est obligé de faire réapparaitre le M pour pouvoir utiliser le fait qu'il est divisible par 27 (sauf si on a directemenr un facteur 27 qui saute aux yeux mais dans ce cas peu importe que M soit divisible par 27 ou non).

    Merci d'avance et bonnes fêtes à tous.

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  25. #19
    bubulle_01

    Re : Mes questions en TS

    Je suis le programme de spé aussi et j'aurais fait de la même manière
    Pour ce qui est du problème de Guillaume.B, je me suis penché dessus, j'ai trouvé un résultat bon, mais c'est assez vague ...
    On a :

    A savoir que de l'encadrement de k², j'en ai déduis deux inéquations simultanées du second degré de variable n. Les solutions de cette double inéquation se trouve sur un intervalle avec
    Par conséquent on a une solution n entière.
    Or si n est entier, k² est entier (d'après les solutions de n).
    Et, si k² est entier, k est entier.
    Par conséquent on a k entier lorsque n entier et
    Voila voila, j'ai fait avec les moyens du bord, sachant que je n'ai étudié ni les suites (pas même en première), ni les démonstrations par récurence

  26. #20
    MiMoiMolette

    Re : Mes questions en TS

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message

    A savoir que de l'encadrement de k², j'en ai déduis deux inéquations simultanées du second degré de variable n. Les solutions de cette double inéquation se trouve sur un intervalle avec
    Par conséquent on a une solution n entière.
    Or si n est entier, k² est entier (d'après les solutions de n).
    Et, si k² est entier, k est entier.
    Par conséquent on a k entier lorsque n entier et
    Voila voila, j'ai fait avec les moyens du bord, sachant que je n'ai étudié ni les suites (pas même en première), ni les démonstrations par récurence
    Yop

    Faudra que tu m'expliques :
    1/ D'où tu sors les deux termes de l'inéquation. Enfin je vois à peu près, mais je pense qu'il y a une erreur

    Lorsqu'on a une suite arithmétique de terme général (peu importe la raison de la suite),

    Il faut faire attention, car n-k+1 doit bien représenter le nombre de termes.

    2/ Comment tu résous cette double inéquation avec d'une part une variable n et de l'autre une inconnue/variable k ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  27. #21
    bubulle_01

    Re : Mes questions en TS

    Rahh je t'ai dit que j'ai pas étudié les suites ! ^^
    Je sais pas ce qu'est une raison ^^
    A vrai dire, je ne comprends plus ma demonstration moi-même
    En gros, la plupart des choses sont fausses, mais je suis quasi sûr des deux termes.

  28. #22
    MiMoiMolette

    Re : Mes questions en TS

    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  29. #23
    bubulle_01

    Re : Mes questions en TS

    Je viens de me rendre compte que j'ai mal lu l'énoncé ...
    C'est 1 et n+1n et non 1 et n+1n
    J'ai fait dans ce cas là aussi ma propre démonstration, un peu plus compréhensible ^^
    Prenons le cas où 1 et n+1n
    On a ainsi n
    Et n12n soit n soit n soit n soit n
    Il est donc logique dans ce cas là que n avec entier car
    On peut sûrement déduire de cela une relation lorsque et , mais comme je n'ai pas étudié les suites, je préfère ne pas m'aventurer dans des domaines trop vagues.
    Je pourrais juste dire que plus l'on ajoute une valeur grande dans la suite d'entiers , plus la valeur est supérieure à la valeur et qu'il est alors logique, la période de carré parfait étant inférieure à celle des nombres , que ...
    Ce n'est pas une démonstration bien sûr, juste une conjecture qui est surement prouvable ^^

  30. #24
    -Zweig-

    Re : Mes questions en TS

    La contrainte de l'énoncé se réécrit : .

    Soit un entier fixé : le plus grand carré strictement inférieur à , noté vérifie . On veut donc montrer que par exemple en montrant que

    Pour , on doit vérifier que , ce qui est vrai car . Supposons que . Alors :



    et par récurrence sur , , d'où l'on déduit, pour , que , comme recherché.

    On a donc et , par définition de M.

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