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DM de spé maths



  1. #1
    Max42

    DM de spé maths


    ------

    Bonjour a tous et merci de lire ce petit sujet ... j'ai un DM a faire malheureusement je comprends la moitié du devoir ... je vais le mettre ici et je vais mettre aussi mes brouillons

    Ex 1 (trouvé je pense) :

    Soient a et b des entiers, Montrer que si 3 divise a^3 + b^3 alors 3 divise (a+b)^3

    Si 3 diviseur de a3 + b3 cela signifie que a3 + b 3 = 3k
    alors cherchons qu'il existe un reel k' tel que
    (a+b)3 = 3k'
    (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3(a²b + b²a)
    (a+b)^3 = 3 (k + a²b + b²a)

    Ex 2 (a moitié trouvé et encore probleme redac)

    Soit (E) : 1/x + 1/y = 1/5 (x et y entiers non nuls)

    1° Montrer que (E) est equivalent a (x-5)(y-5) = 25

    Brouillon : 1/x + 1/y = 1/5
    est equivalent a : y+x/xy = 1/5
    avec le produit en croix : 5(x+y) = xy
    Soit : xy - 5x -5y = 0
    D'ou (x-5) (y-5) -25 = 0
    Et : (x-5) (y-5) = 25

    2° Achever la resolution de (E)

    La par contre ... j'ai bcp de mal !!

    Ex 3 (quasi fini):

    On pose Un = 32n+1 + 2[/EXP]n+2[/EXP]

    Calculer u0 jusqu'a u5 et verifier qu'ils sont multiples de 7

    je met que les resultats : u0 = 7, u1 = 35 , u2 = 259 , u3 = 2219 , u4 = 19747 et u5 = 177 275

    2° Demontrer que un+1 = 2Un + 7 x 32n+1

    Je suis pas fier de moi en raisonnant ainsi ===> soit n = 1

    un+1 = 2U1 + 7 x33
    un+1 = 259

    Or u1+1 = u2 = 259 d'ou un+1 = 2Un + 7 x 3 2n+1

    3° Demontrer par recurrence que Un est divisible par 7 :

    Soit u0 = 7

    et un = 32n+1 + 2n+2 = 7k

    Or : un+1 = 2Un + 7 x 32n+1

    2Un = 14k

    un+1 = 14k + 7 x 32n+1
    un+1 = 7 (2k + 32n+1)

    Ex 4 (bcp de mal sur la 1°)

    Demontrons par 2 methodes que 5n + 39 est divisible par 4

    M1 : Prouvez que : 5n - 1 = (5n-1 + 5n+2+ ... + 5 + 1) (5-1)

    La je patauge ...

    M2 : Soit P(n) "5n + 39 divisible par 4"

    Montrer par recurrence que P(n) est vraie pr tt entier n

    P(0) = 40

    Or 40 = 4 x10

    Soit P(n) : 5n + 39 = 4k

    Montrons que la prop reste vraie au rang n+1

    5n+1 + 39 = 4k'
    5n+1 + 39 = 5n x 5 + 39

    Or 5n = 4k - 39

    5n+1 + 39 = (4k - 39) x 5 + 39
    5n+1 + 39 = 20k - 156
    5n+1 + 39 = 4 (5k - 39)

    Merci a vous

    -----

  2. #2
    invite43219988

    Re : DM de spé maths

    2° Achever la resolution de (E)

    La par contre ... j'ai bcp de mal !!
    N'oublie pas que x et y sont des entiers non nuls !
    (x-5)(y-5)=25 => x-5 divise 25 et y-5 divise 25...

    Je suis pas fier de moi en raisonnant ainsi ===> soit n = 1

    un+1 = 2U1 + 7 x33
    un+1 = 259

    Or u1+1 = u2 = 259 d'ou un+1 = 2Un + 7 x 3 2n+1
    Ca ne va pas, déja si tu suppose n=1, alors u(n+1)=u2 et je ne vois pas pourquoi du u(n+1) apparait dans ta première équation.

    Tu connais l'expression de un.
    Ecris donc u(n+1) en remplacant les n de un par des n+1 et débrouille toi en reorganisant tes termes pour trouver l'expression demandée !

    5n - 1 = (5n-1 + 5n+2+ ... + 5 + 1) (5-1)
    Il faut remarquer que la première parenthèse peut-être représenté comme la somme d'une suite géométrique....

  3. #3
    Médiat

    Re : DM de spé maths

    Pour l'exercice 3 il y a une méthode directe :

    32n+1 + 2n+2 = 3.9n + 4.2n
    qui est congru à 3.2n + 4.2n [modulo 7]
    qui est congru à 7.2n [modulo 7]
    qui est congru à 0 [modulo 7]
    cqfd.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #4
    Médiat

    Re : DM de spé maths

    Pour le 4 M2, même chose, il y a une méthode directe
    5n + 39 = 5n - 1 + 40 =
    4(5n-1 + 5n-2 + ... + 5 + 1) + 40 =
    4(5n-1 + 5n-2 + ... + 5 + 1 + 10)
    cqfd
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Max42

    Re : DM de spé maths

    Si selon vous le reste est juste, je vais me concentrer sur ce que je capte pas !

    Achever la resolution de (E)

    (x-5) (y-5) = 25

    Que signifie selon vous (x-5) divise 25 et (y-5) divise 25 ??

    Ne faudrait il pas developper l'expression ou trouver un systeme ?

    La encore je me questionne !!!


    Pour l'exo des suites, la question 2 demande de prouver que Un+1 = 2un + 7x32n+1 mais faut il forcement le faire via recurrence comme vous le precisez car la question 3 precise une recurrence obligatoire donc ...

    j'ai quand meme essayé :

    Un = 32n+1 + 2n+2
    u(n+1) = 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2
    u(n+1) = 32n+3 + 2n+3
    u(n+1) = 32n+1 x 32 + 2n+2 x 2
    Voila j'en suis la ... je bloque, je suis arrivé a reformer un mais comment en trouver 2 et comment trouver 7x 32n+1 ...

    Pour le 4 j'arrive pas a passer de 5n - 1 à (5n-1 + 5n-2 + ... + 5 + 1) (5-1)

    j'y arrive pas ca m'enerve j'ai l'impression de pas avoir avancé ... pff jme sens trop mauvais ....

  7. #6
    Max42

    Re : DM de spé maths

    Up svp

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