Bonjour a tous et merci de lire ce petit sujet ... j'ai un DM a faire malheureusement je comprends la moitié du devoir ... je vais le mettre ici et je vais mettre aussi mes brouillons
Ex 1 (trouvé je pense) :
Soient a et b des entiers, Montrer que si 3 divise a^3 + b^3 alors 3 divise (a+b)^3
Si 3 diviseur de a3 + b3 cela signifie que a3 + b 3 = 3k
alors cherchons qu'il existe un reel k' tel que
(a+b)3 = 3k'
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3(a²b + b²a)
(a+b)^3 = 3 (k + a²b + b²a)
Ex 2 (a moitié trouvé et encore probleme redac)
Soit (E) : 1/x + 1/y = 1/5 (x et y entiers non nuls)
1° Montrer que (E) est equivalent a (x-5)(y-5) = 25
Brouillon : 1/x + 1/y = 1/5
est equivalent a : y+x/xy = 1/5
avec le produit en croix : 5(x+y) = xy
Soit : xy - 5x -5y = 0
D'ou (x-5) (y-5) -25 = 0
Et : (x-5) (y-5) = 25
2° Achever la resolution de (E)
La par contre ... j'ai bcp de mal !!
Ex 3 (quasi fini):
On pose Un = 32n+1 + 2[/EXP]n+2[/EXP]
Calculer u0 jusqu'a u5 et verifier qu'ils sont multiples de 7
je met que les resultats : u0 = 7, u1 = 35 , u2 = 259 , u3 = 2219 , u4 = 19747 et u5 = 177 275
2° Demontrer que un+1 = 2Un + 7 x 32n+1
Je suis pas fier de moi en raisonnant ainsi ===> soit n = 1
un+1 = 2U1 + 7 x33
un+1 = 259
Or u1+1 = u2 = 259 d'ou un+1 = 2Un + 7 x 3 2n+1
3° Demontrer par recurrence que Un est divisible par 7 :
Soit u0 = 7
et un = 32n+1 + 2n+2 = 7k
Or : un+1 = 2Un + 7 x 32n+1
2Un = 14k
un+1 = 14k + 7 x 32n+1
un+1 = 7 (2k + 32n+1)
Ex 4 (bcp de mal sur la 1°)
Demontrons par 2 methodes que 5n + 39 est divisible par 4
M1 : Prouvez que : 5n - 1 = (5n-1 + 5n+2+ ... + 5 + 1) (5-1)
La je patauge ...
M2 : Soit P(n) "5n + 39 divisible par 4"
Montrer par recurrence que P(n) est vraie pr tt entier n
P(0) = 40
Or 40 = 4 x10
Soit P(n) : 5n + 39 = 4k
Montrons que la prop reste vraie au rang n+1
5n+1 + 39 = 4k'
5n+1 + 39 = 5n x 5 + 39
Or 5n = 4k - 39
5n+1 + 39 = (4k - 39) x 5 + 39
5n+1 + 39 = 20k - 156
5n+1 + 39 = 4 (5k - 39)
Merci a vous
-----
