[EXO TS] Blocage sur un dénombrement

[invite8c3060a6]

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice (dont l'énoncé est ci-dessous), merci de bien vouloir m'éclaircir les idées en particulier sur la façon de ne former aucun couple légitime car je ne trouve pas le même résultat qu'avec la formule donnée ...

Voilà ce que j'ai fait :

1)
Manière de former un couple : 5² = 25
Manière de former 5 couples : Combinaison de 5 parmi 25 possibilités = 25!/(5!(25-5)!) = 53130
Manière de ne former aucun couple légitime : 53130-1 = 53129

2)
a) D₁=0 et D₂=1
b) Je trouve 44 avec la formule donnée !

Ensuite, il faut faire une démonstration par récurrence...

1) 5 couples de danseurs se rendent à un bal masqué. A l'arrivée, on sépare les hommes et les femmes. On les fait ensuite s'élancer sur une piste de danse, chaque homme choisissant au hasard une femme pour partenaire. Quel est la probabilité qu'aucune couple ne soit reconstitué.

2) On considère la même situation que précédemment mais avec n couples (n>=2). On note D_n, le nombre de façons qu'aucun couple légitime ne se constitue.

a) Déterminer D₁ et D₂
b) On admet que pour tout n >= 2, on a : D_n = n*D_n-1 + (-1)ⁿ
- Verifier le résultat du 1)
- En déduire que pour tout entier n >=2 on a :


D_n = n! × somme pour k allant de 0 à n de (-1)^k/k!

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[invitec7217a00]

1)
Manière de former un couple : 5² = 25
Manière de former 5 couples : Combinaison de 5 parmi 25 possibilités = 25!/(5!(25-5)!) = 53130
Manière de ne former aucun couple légitime : 53130-1 = 53129

Attention : il n'y a pas qu'une seule façon d'avoir au moins un couple illégitime, donc il ne suffit pas de retirer 1 à 53130.
De plus 53130 n'est pas le nombre que tu cherches : il correspond au nombre de façons de piocher 5 éléments parmis 25, sans se soucier de l'ordre. Or ici tu n'as pas réellement 25 couples. En effet, quand tu vas piocher ton premier couple, tu vas retirer de la pioche tous les couples comprenant l'homme ou la femme correspondants, soit 9 couples au total au lieu d'1.

Pour trouver le nombre total de façons de former tes 5 couples, considères que cela correspond en fait au nombre de façons de piocher tes 5 femmes parmis 5 avec ordre (tu pioches d'abord celle pour l'homme n°1, puis celle pour le n°2...), ce qui fait au total 5!=120 solutions au total (53000 ça faisait un peu beaucoup )

2)
a) D₁=0 et D₂=1
b) Je trouve 44 avec la formule donnée !

Eh oui, ces résultats sont corrects.

Pour trouver le cas ou il y a 5 couples, tu peux le trouver intuitivement :

Pour l'homme 1 on pioche une femme de numéro x parmi 5.
La probabilité que ce ne soit pas la femme 1 (x /= 1) est de 4/5

ensuite on pioche une femme de numéro y pour l'homme numéro x
Comme sa femme est déjà prise, on 4 chances sur 4 de succès.
Cependant le cas ne sera pas le même si on pioche la femme 1 ou pas :

Si ce n'est pas la femme 1 (proba 3/4), on a quelquechose de cette forme :

 Cliquez pour afficher

1 1
\
2 2
\
3 3

4 4

5 5

Sinon, c'est la femme 1 (proba 1/4) et tu as quelque chose de cette forme :

 Cliquez pour afficher

1 1
X
2 2

3 3

4 4

5 5

De fil en aiguille tu arrives à une probabilité de
4/5 * ( 1/4 * ( 2/3 * 1/2 ) + 3/4 * ( 1/3 + 1/3 * 1/2) )
= 4/5 * 1/4 * ( 2 / (3*2) + 3*3 / (3*2) )
= 44 / (5*4*3*2)
= 44 / 5!