[TS] Limite en 0 et aire.

[invite72ea9d3f]

Bonsoir,

J'ai besoin de deux conseils !
Le premier concerne une limite : je dois trouver la limite en 0 de alpha(x) = (sin(x) - x - (x³/6)) / x⁴
Je ne parviens pas à lever l'indétermination. Une idée ?

Le second : J'ai un cercle C de centre O et de rayon r. On considère un secteur angulaire AOB d'angle têta (compris entre 0 et pi). L'aire de la portion de disque déterminée par (secteur angulaire têta - triangle AOB) est s = 0.5*r²*(têta - sin(têta)). Je suis sûre que c'est juste.
Les tangentes en A et B au cercle C se coupent en T. Comment montrer que l'aire du triangle ABT est S = 0.5*r²*tan²(têta/2)*sin(têta) ?

Merci !
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[invitea3eb043e]

Pour le premier : si tu connais les développements limités, notamment de sin(x), c'est facile sinon c'est infaisable.

Pour le second, essaie de calculer la longueur de AT en remarquant que l'angle OAT est droit. Ensuite calcule l'angle ATO. Tu en déduis l'aire cherchée en écrivant que l'aire d'un triangle ABC c'est la moitié de AB*AC*sin(BAC)

[invite72ea9d3f]

En ce qui concerne l'aire : comment calculer AT ? Si j'utilise Pythagore, je me retrouve avec une racine affreuse (racine de (OT² - r²), et je ne crois pas qu'il soit possible d'utiliser l'angle droit pour déterminer AT, sinon où se trouvent le côté opposé, adjacent... ? ^^"
De même, pour ATO, si j'ai tanATO = r/AT, comment extraire ATO avec des valeurs littérales ? Je suis un peu perdue, je l'avoue.

Mais merci. ^^

[invitee3b6517d]

Bonsoir,

J'ai besoin de deux conseils !
Le premier concerne une limite : je dois trouver la limite en 0 de alpha(x) = (sin(x) - x - (x³/6)) / x⁴
Je ne parviens pas à lever l'indétermination. Une idée ?

Le second : J'ai un cercle C de centre O et de rayon r. On considère un secteur angulaire AOB d'angle têta (compris entre 0 et pi). L'aire de la portion de disque déterminée par (secteur angulaire têta - triangle AOB) est s = 0.5*r²*(têta - sin(têta)). Je suis sûre que c'est juste.
Les tangentes en A et B au cercle C se coupent en T. Comment montrer que l'aire du triangle ABT est S = 0.5*r²*tan²(têta/2)*sin(têta) ?

Merci !

Je ne comprends ce qu'il faut faire à la question 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Déjà voir que l'angle AOT vaut la moitié de théta ! et ensuite écrire la tangente dans le triangle OAT.

[invite72ea9d3f]

Oui, mais comment établir que l'angle AOT vaut θ/2 ? Une propriété des tangentes qui se croisent ?

[invitea3eb043e]

Quand on trace les tangentes à un cercle à partir d'un point, les longueurs des tangentes sont égales. On voit alors que OT est la bissectrice.

[invite72ea9d3f]

OK ! A présent, cependant, j'ai un problème avec l'angle ATO. Je sais que AT = tan(θ/2)*r , mais avec ATO j'obtiens : tanATO = 1/(tanθ/2). A partir de là, comment déterminer ATO ?!

[invite72ea9d3f]

J'ai fini l'exercice, merci encore ! (et l'angle ATO = (pi - θ)/2)