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Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0



  1. #1
    hilo

    Post Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0


    ------

    Bonjour,

    J'ai un exercice ou je ne comprends absolument rien et je ne sais pas comment m'y prendre, le voici

    Soit a,b,c trois réel non nuls
    Dans le plan muni d'un repere orthonormé (o,i,j)
    on considère les points A,B et C définis par:
    OA (vecteur) = a*(vecteur)i, AB (vecteur) = b*(vecteur)j, BC = -c*(vecteur)i



    Soit P le point de coordonnes (-1,delta ) ( delta est un nombre réel quelconque).
    La droite (OP) coupe (AB) en M.

    Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp

    J'ai tout essayer et je patauge

    PS: si vous voyez mal le schéma voici l'exo scanner

    -----

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  3. #2
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Désolé voici la question =>

    1) Démontrer que: les droites (OM) et (CM) sont perpendiculaires si et seulement si alpha est solution de l'équation ax²+bx+c=0

    (et ce n'est pas delta mais alpha)

  4. #3
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Salut,

    tu dois savoir exprimer que (OM) et (CM) sont perpendiculaires en fonction de et .
    Il suffit de calculer ces vecteurs et de conclure ...
    J'en ai déjà trop dit, à toi de trouver avec ces indications.

  5. #4
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Merci de t'être intéressé à mon problème, mais ce que tu me dis ne m'aide pas trop, ça semble surement évident pour toi mais moi je vois pas comment faire.

    Comment je pourrais calculer ses vecteurs ?

  6. #5
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Commence par essayer de répondre à ça (c'est du cours):
    Citation Envoyé par nissart7831 Voir le message
    tu dois savoir exprimer que (OM) et (CM) sont perpendiculaires en fonction de et .
    autrement dit (OM) et (CM) sont perpendiculaires ssi et sont perpendiculaires (c'est évident, non ?). Alors comment peux tu exprimer que deux vecteurs sont orthogonaux ?

    Je ne peux pas plus t'aider sans te donner la réponse.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Comment je pourrais calculer ses vecteurs ?
    En déterminant les coordonnées des points qui les composent.
    C vient directement de l'énoncé et M appartient à la droite (OP) et est à la verticale de A, tu peux donc en déduire ses coordonnées.

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  10. #7
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Re (désolé pour le retard)

    Je ne sais pas comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires, j'ai donc chercher sur le net et j'ai trouver qu'il fallais calculer le produit scalaire.

    Je ne sais pas si tu parlais de ça, mais même pour cette méthode il faut la valeur de x et de y.

    (PS: je n'ai jamais vu cette méthode en cours)

  11. #8
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Re (désolé pour le retard)

    Je ne sais pas comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires, j'ai donc chercher sur le net et j'ai trouver qu'il fallais calculer le produit scalaire.

    Je ne sais pas si tu parlais de ça, mais même pour cette méthode il faut la valeur de x et de y.

    (PS: je n'ai jamais vu cette méthode en cours)
    Oui, c'est au produit scalaire que je pensais. Et bien sûr il faut les coordonnées des points, mais cela peut se déterminer avec les données de l'énoncé (voir mon message précédent) pour tous les points (P, O, A, M, B et C).

    Si tu ne connais pas le produit scalaire, quel(s) moyen(s) connais-tu pour déterminer que 2 droites sont perpendiculaires ?

  12. #9
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    A part pythagore je vois pas trop

    (j'ai pas tout compris pour les derterminer les coordonnées des points, par exemple C n'est pas donnée dans l'énoncé, le seul point ou on a ces coordonnées c'est P (-1, alpha) et je vois pas comment a partir de là on peut en déduire les autres)

  13. #10
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Il y a aussi le coefficient directeur il me semble

    "Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produits de leur coefficient directeur est égal a -1"

    Coefficient directeur d'une droite =


    Mais la encore il faut les coordonnées des points, et il n'y a pas de rapport avec alpha et ax²+bx+c=0.

    :'(

  14. #11
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    A part pythagore je vois pas trop

    (j'ai pas tout compris pour les derterminer les coordonnées des points, par exemple C n'est pas donnée dans l'énoncé, le seul point ou on a ces coordonnées c'est P (-1, alpha) et je vois pas comment a partir de là on peut en déduire les autres)
    Dans le cas de P, il n'y a rien à faire puisqu'on te les donne. Pour les autres, on peut les déduire des données qu'on te donne. Il y a juste un peu de travail : c'est un exercice quand même, il faut un peu bosser.
    Tu peux déterminer les coordonnées de C : aide-toi de la figure pour t'inspirer.
    Quelle est son ordonnée par rapport à celle de B, et quelle est celle de B ?
    Quelle est l'abscisse de A ? Et celle de B ? et donc celle de C ?

  15. #12
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Il y a aussi le coefficient directeur il me semble

    "Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produits de leur coefficient directeur est égal a -1"

    Coefficient directeur d'une droite =


    Mais la encore il faut les coordonnées des points, et il n'y a pas de rapport avec alpha et ax²+bx+c=0.

    :'(
    Je trouve que tu es rapide dans tes conclusions alors que tu n'es même pas vraiment rentré dans l'exercice. N'essaie pas de répondre à tout en même temps, il faut procéder par étapes.
    Et la 1ère est de déterminer les coordonnées des points.
    Et justement pour déterminer celles de M, le coefficient directeur de la droite (OP) à laquelle appartient M peut t'aider. Et ce coefficient directeur, tu peux le déterminer grâce aux coordonnées de P.

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  17. #13
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    les coordonnées seront sous formes de chiffres ou de lettres ?

  18. #14
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    sous forme de lettres en général (dans l'énoncé, tu n'as quasiment pas de chiffres), c'est-à-dire en fonction de a, b, c, .

    Un rappel de cours, que tu dois connaitre, pour t'aider.
    Si et sont les vecteurs unitaires alors,
    si un point T a pour coordoonées x et y, alors = x+y (et réciproquement)

  19. #15
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Merci, je pense que ton petit rappel m'a aidé

    Juste pour vérifié si j'ai bien compris, les coordonnées de A (a;0) ?

  20. #16
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Merci, je pense que ton petit rappel m'a aidé

    Juste pour vérifié si j'ai bien compris, les coordonnées de A (a;0) ?
    Et oui !!

    Un petit conseil : quand on est perdu, revenir aux bases. C'est-à-dire relire le(s) cours concerné(s).

  21. #17
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Merci de ton aide.

    Je continu sur ma lancé

    O (0;0)
    P(-1; alpha)
    A(a;0)
    B(a;b)
    C(c;b)
    M(a; -alpha*a) car coefficient directeur de (OP) sont (alpha-0)/(-1-0) = alpha/-1 = - alpha

    Pas très sur pour le C et le M

  22. #18
    Al-Kashi

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Salut

    ; ; . Applique pythagore dans le triangle BCM, et tu trouveras le resultat.
    Cordialement

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  24. #19
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Les resultats ne correspondent pas quand j'utilise pythagore

  25. #20
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Merci de ton aide.

    Je continu sur ma lancé

    O (0;0)
    P(-1; alpha)
    A(a;0)
    B(a;b)
    C(c;b)
    M(a; -alpha*a) car coefficient directeur de (OP) sont (alpha-0)/(-1-0) = alpha/-1 = - alpha

    Pas très sur pour le C et le M
    Seule l'abscisse de C est fausse.

    Utiliser Pythagore dans BCM ne sert à rien pour montrer que (OM) et (CM) sont perpendiculaires.

    Par contre, tu peux essayer, par exemple, d'utiliser Pythagore dans un autre triangle. Il faudrait que ce triangle soit rectangle en M. Ce triangle peut être MCT où T serait le point de (OP) qui a la même abscisse que C.
    Tu peux calculer ses coordonnées facilement. Ainsi tu trouveras une condition pour que ce triangle soit rectangle, i.e. qu'il vérifie le théorème de Pythagore. Tu pourras ainsi en déduire le résultat voulu.

  26. #21
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    C (a-c, b)

    On sait que a= -alpha car la droite (OP) passe par l'origine donc elle est la représentation graphique d'une fonction linéaire (y=ax) donc alpha = -a

    T(a-c, y)

    y= -alpha*(a-c)
    T(a-c; -alpha*(a-c))

    Ai-je juste ?

  27. #22
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    OK,

    calcule les longueurs des côtés du triangle MCT et utilise Pythagore pour trouver la relation entre les longueurs des côtés qui est vérifiée si le triangle est rectangle en M.

  28. #23
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Moi, je pensais faire pythagore dans le triangle CBM rectangle en B pour trouver CM², ensuite faire pythagore dans le triangle OAM rectangle en A pour trouver OM², chercher Co² dans le triangle OHC (H étant un point d'ordonnée 0 et d'abscisse égal à celle de C)

    Et enfin faire la réciproque de pythagore dans le triangle OMC.

    Ca aurait pu marcher ?

  29. #24
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Moi, je pensais faire pythagore dans le triangle CBM rectangle en B pour trouver CM², ensuite faire pythagore dans le triangle OAM rectangle en A pour trouver OM², chercher Co² dans le triangle OHC (H étant un point d'ordonnée 0 et d'abscisse égal à celle de C)

    Et enfin faire la réciproque de pythagore dans le triangle OMC.

    Ca aurait pu marcher ?
    Tu as raison, c'est une bonne idée. C'est une autre manière de faire.

    Comme c'est la tienne, autant que tu continues avec ta méthode, tu essaieras la mienne comme exercice complémentaire pour t'entrainer si tu veux.

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  31. #25
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Le problème c'est que j'ai essayer avec la mienne, et les résultat ne concordait pas, sans doute une erreur de calcul

    Voici ce que j'ai fait:

    CM²=CB²+BM²

    CB= OA-OC
    CB= a-(a-c)
    CB= a-(a-c)

    BM= AB-MB
    BM= b-alpha*a

    CM²= (a-(a-c))²+(b-alpha*a)²

    OM²=OA²+AM²

    OA=a

    AM= -alpha*a

    OM²= a²+ (-alpha*a)²

    OC²= OH²+HC²

    OH= OA-CB
    OH= a-(a-(a-c))

    HC=AB
    HC=b

    OC²= (a-(a-(a-c)))²+b²

    Avant que j'aille plus loin, est-ce juste ?

  32. #26
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Je porte les corrections dans ton texte.

    Citation Envoyé par hilo Voir le message
    Le problème c'est que j'ai essayer avec la mienne, et les résultat ne concordait pas, sans doute une erreur de calcul

    Voici ce que j'ai fait:

    CM²=CB²+BM²

    CB= OA-OC écriture fausse, ce n'est vrai ni en longueur ni en vecteur, c'est vrai seulement en abscisse mais cela ne s'écrit pas comme ça
    CB= a-(a-c)
    CB= a-(a-c)
    donc CB = c

    BM= AB-MB écriture fausse, c'est plutot BM = AB - AM
    BM= b-alpha*a OK

    CM²= (a-(a-c))²+(b-alpha*a)² OK, mais tu peux simplifier la première parenthèse

    OM²=OA²+AM²

    OA=a

    AM= -alpha*a

    OM²= a²+ (-alpha*a)² OK

    OC²= OH²+HC²

    OH= OA-CB écriture fausse (voir plus haut), ce n'est vrai qu'en abscisse
    OH= a-(a-(a-c)) = a-c ; c'est l'abscisse de C !

    HC=AB
    HC=b

    OC²= (a-(a-(a-c)))²+b² OK, simplifie la 1ère parenthèse

  33. #27
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    CM²+OM² = c²+(b-alpha*a)²+a²+(alpha*a)²

    = c²+b²-2ba*alpha+(alpha*a)²+a²+(alpha *a)²


    OC²= (a-c)²+b²

    a²-2ac+c²+b²

    OC² n'est pas égale à CM²+OM²

    On ne trouve pas les même résultats donc on ne peut pas appliquer la réciproque de pythagore

  34. #28
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Je crois que tu as oublié le but de l'exercice.

    On doit vérifier que est solution de l'équation ax²+bx+c= 0 pour que les droites soient perpendiculaires.
    Donc on pose que le triangle est rectangle donc que le théorème de Pythagore est vérifié et on cherche la condition que doit vérifier .
    Il faut donc que tu égales OC² et CM²+OM².

    Sinon, je n'ai pas encore vérifié tes calculs.

  35. #29
    nissart7831

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    C'est OK pour les calculs à part qu'il y a une erreur de signe que j'avais loupé avant.

    BM = b - (-a) = b + a

    Corrige les calculs correspondants.

    Ainsi, pour la conclusion, j'ai vérifié, ça marche : est bien solution de ax²+bx+c = 0

  36. #30
    hilo

    Re : Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

    Si les droites (OM) et (CM) sont perpendiculaire alors:

    c²+b²+2ba*alpha+a²+2*a²*alpha² = a²-2ac+c²+b²

    2ab*alpha+2a²*alpha² = -2ac

    2b*alpha +2a*alpha² = -2c

    b*alpha+a*alpha² = -c

    a*alpha²+b*alpha+c= 0

    C'est juste là, non ?

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