Résolution Géométrique d'une équation de la forme ax²+bx+c=0

[invitea67e82a3]

Bonjour,

J'ai un exercice ou je ne comprends absolument rien et je ne sais pas comment m'y prendre, le voici

Soit a,b,c trois réel non nuls
Dans le plan muni d'un repere orthonormé (o,i,j)
on considère les points A,B et C définis par:
OA (vecteur) = a*(vecteur)i, AB (vecteur) = b*(vecteur)j, BC = -c*(vecteur)i



Soit P le point de coordonnes (-1,delta ) ( delta est un nombre réel quelconque).
La droite (OP) coupe (AB) en M.

Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp

J'ai tout essayer et je patauge

PS: si vous voyez mal le schéma voici l'exo scanner
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[invitea67e82a3]

Désolé voici la question =>

1) Démontrer que: les droites (OM) et (CM) sont perpendiculaires si et seulement si alpha est solution de l'équation ax²+bx+c=0

(et ce n'est pas delta mais alpha)

[invite52c52005]

Salut,

tu dois savoir exprimer que (OM) et (CM) sont perpendiculaires en fonction de et .
Il suffit de calculer ces vecteurs et de conclure ...
J'en ai déjà trop dit, à toi de trouver avec ces indications.

[invitea67e82a3]

Merci de t'être intéressé à mon problème, mais ce que tu me dis ne m'aide pas trop, ça semble surement évident pour toi mais moi je vois pas comment faire.

Comment je pourrais calculer ses vecteurs ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52c52005]

Commence par essayer de répondre à ça (c'est du cours):

tu dois savoir exprimer que (OM) et (CM) sont perpendiculaires en fonction de et .

autrement dit (OM) et (CM) sont perpendiculaires ssi et sont perpendiculaires (c'est évident, non ?). Alors comment peux tu exprimer que deux vecteurs sont orthogonaux ?

Je ne peux pas plus t'aider sans te donner la réponse.

[invite52c52005]

Comment je pourrais calculer ses vecteurs ?

En déterminant les coordonnées des points qui les composent.
C vient directement de l'énoncé et M appartient à la droite (OP) et est à la verticale de A, tu peux donc en déduire ses coordonnées.

[invitea67e82a3]

Re (désolé pour le retard)

Je ne sais pas comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires, j'ai donc chercher sur le net et j'ai trouver qu'il fallais calculer le produit scalaire.

Je ne sais pas si tu parlais de ça, mais même pour cette méthode il faut la valeur de x et de y.

(PS: je n'ai jamais vu cette méthode en cours)

[invite52c52005]

Re (désolé pour le retard)

Je ne sais pas comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires, j'ai donc chercher sur le net et j'ai trouver qu'il fallais calculer le produit scalaire.

Je ne sais pas si tu parlais de ça, mais même pour cette méthode il faut la valeur de x et de y.

(PS: je n'ai jamais vu cette méthode en cours)

Oui, c'est au produit scalaire que je pensais. Et bien sûr il faut les coordonnées des points, mais cela peut se déterminer avec les données de l'énoncé (voir mon message précédent) pour tous les points (P, O, A, M, B et C).

Si tu ne connais pas le produit scalaire, quel(s) moyen(s) connais-tu pour déterminer que 2 droites sont perpendiculaires ?

[invitea67e82a3]

A part pythagore je vois pas trop

(j'ai pas tout compris pour les derterminer les coordonnées des points, par exemple C n'est pas donnée dans l'énoncé, le seul point ou on a ces coordonnées c'est P (-1, alpha) et je vois pas comment a partir de là on peut en déduire les autres)

[invitea67e82a3]

Il y a aussi le coefficient directeur il me semble

"Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produits de leur coefficient directeur est égal a -1"

Coefficient directeur d'une droite =


Mais la encore il faut les coordonnées des points, et il n'y a pas de rapport avec alpha et ax²+bx+c=0.

:'(

[invite52c52005]

A part pythagore je vois pas trop

(j'ai pas tout compris pour les derterminer les coordonnées des points, par exemple C n'est pas donnée dans l'énoncé, le seul point ou on a ces coordonnées c'est P (-1, alpha) et je vois pas comment a partir de là on peut en déduire les autres)

Dans le cas de P, il n'y a rien à faire puisqu'on te les donne. Pour les autres, on peut les déduire des données qu'on te donne. Il y a juste un peu de travail : c'est un exercice quand même, il faut un peu bosser.
Tu peux déterminer les coordonnées de C : aide-toi de la figure pour t'inspirer.
Quelle est son ordonnée par rapport à celle de B, et quelle est celle de B ?
Quelle est l'abscisse de A ? Et celle de B ? et donc celle de C ?

[invite52c52005]

Il y a aussi le coefficient directeur il me semble

"Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produits de leur coefficient directeur est égal a -1"

Coefficient directeur d'une droite =


Mais la encore il faut les coordonnées des points, et il n'y a pas de rapport avec alpha et ax²+bx+c=0.

:'(

Je trouve que tu es rapide dans tes conclusions alors que tu n'es même pas vraiment rentré dans l'exercice. N'essaie pas de répondre à tout en même temps, il faut procéder par étapes.
Et la 1ère est de déterminer les coordonnées des points.
Et justement pour déterminer celles de M, le coefficient directeur de la droite (OP) à laquelle appartient M peut t'aider. Et ce coefficient directeur, tu peux le déterminer grâce aux coordonnées de P.

[invitea67e82a3]

les coordonnées seront sous formes de chiffres ou de lettres ?

[invite52c52005]

sous forme de lettres en général (dans l'énoncé, tu n'as quasiment pas de chiffres), c'est-à-dire en fonction de a, b, c, .

Un rappel de cours, que tu dois connaitre, pour t'aider.
Si et sont les vecteurs unitaires alors,
si un point T a pour coordoonées x et y, alors = x+y (et réciproquement)

[invitea67e82a3]

Merci, je pense que ton petit rappel m'a aidé

Juste pour vérifié si j'ai bien compris, les coordonnées de A (a;0) ?

[invite52c52005]

Merci, je pense que ton petit rappel m'a aidé

Juste pour vérifié si j'ai bien compris, les coordonnées de A (a;0) ?

Et oui !!

Un petit conseil : quand on est perdu, revenir aux bases. C'est-à-dire relire le(s) cours concerné(s).

[invitea67e82a3]

Merci de ton aide.

Je continu sur ma lancé

O (0;0)
P(-1; alpha)
A(a;0)
B(a;b)
C(c;b)
M(a; -alpha*a) car coefficient directeur de (OP) sont (alpha-0)/(-1-0) = alpha/-1 = - alpha

Pas très sur pour le C et le M

[invite74ea9275]

Salut

; ; . Applique pythagore dans le triangle BCM, et tu trouveras le resultat.

[invitea67e82a3]

Les resultats ne correspondent pas quand j'utilise pythagore

[invite52c52005]

Merci de ton aide.

Je continu sur ma lancé

O (0;0)
P(-1; alpha)
A(a;0)
B(a;b)
C(c;b)
M(a; -alpha*a) car coefficient directeur de (OP) sont (alpha-0)/(-1-0) = alpha/-1 = - alpha

Pas très sur pour le C et le M

Seule l'abscisse de C est fausse.

Utiliser Pythagore dans BCM ne sert à rien pour montrer que (OM) et (CM) sont perpendiculaires.

Par contre, tu peux essayer, par exemple, d'utiliser Pythagore dans un autre triangle. Il faudrait que ce triangle soit rectangle en M. Ce triangle peut être MCT où T serait le point de (OP) qui a la même abscisse que C.
Tu peux calculer ses coordonnées facilement. Ainsi tu trouveras une condition pour que ce triangle soit rectangle, i.e. qu'il vérifie le théorème de Pythagore. Tu pourras ainsi en déduire le résultat voulu.

[invitea67e82a3]

C (a-c, b)

On sait que a= -alpha car la droite (OP) passe par l'origine donc elle est la représentation graphique d'une fonction linéaire (y=ax) donc alpha = -a

T(a-c, y)

y= -alpha*(a-c)
T(a-c; -alpha*(a-c))

Ai-je juste ?

[invite52c52005]

OK,

calcule les longueurs des côtés du triangle MCT et utilise Pythagore pour trouver la relation entre les longueurs des côtés qui est vérifiée si le triangle est rectangle en M.

[invitea67e82a3]

Moi, je pensais faire pythagore dans le triangle CBM rectangle en B pour trouver CM², ensuite faire pythagore dans le triangle OAM rectangle en A pour trouver OM², chercher Co² dans le triangle OHC (H étant un point d'ordonnée 0 et d'abscisse égal à celle de C)

Et enfin faire la réciproque de pythagore dans le triangle OMC.

Ca aurait pu marcher ?

[invite52c52005]

Moi, je pensais faire pythagore dans le triangle CBM rectangle en B pour trouver CM², ensuite faire pythagore dans le triangle OAM rectangle en A pour trouver OM², chercher Co² dans le triangle OHC (H étant un point d'ordonnée 0 et d'abscisse égal à celle de C)

Et enfin faire la réciproque de pythagore dans le triangle OMC.

Ca aurait pu marcher ?

Tu as raison, c'est une bonne idée. C'est une autre manière de faire.

Comme c'est la tienne, autant que tu continues avec ta méthode, tu essaieras la mienne comme exercice complémentaire pour t'entrainer si tu veux.

[invitea67e82a3]

Le problème c'est que j'ai essayer avec la mienne, et les résultat ne concordait pas, sans doute une erreur de calcul

Voici ce que j'ai fait:

CM²=CB²+BM²

CB= OA-OC
CB= a-(a-c)
CB= a-(a-c)

BM= AB-MB
BM= b-alpha*a

CM²= (a-(a-c))²+(b-alpha*a)²

OM²=OA²+AM²

OA=a

AM= -alpha*a

OM²= a²+ (-alpha*a)²

OC²= OH²+HC²

OH= OA-CB
OH= a-(a-(a-c))

HC=AB
HC=b

OC²= (a-(a-(a-c)))²+b²

Avant que j'aille plus loin, est-ce juste ?

[invite52c52005]

Je porte les corrections dans ton texte.

Le problème c'est que j'ai essayer avec la mienne, et les résultat ne concordait pas, sans doute une erreur de calcul

Voici ce que j'ai fait:

CM²=CB²+BM²

CB= OA-OC écriture fausse, ce n'est vrai ni en longueur ni en vecteur, c'est vrai seulement en abscisse mais cela ne s'écrit pas comme ça
CB= a-(a-c)
CB= a-(a-c)
donc CB = c

BM= AB-MB écriture fausse, c'est plutot BM = AB - AM
BM= b-alpha*a OK

CM²= (a-(a-c))²+(b-alpha*a)² OK, mais tu peux simplifier la première parenthèse

OM²=OA²+AM²

OA=a

AM= -alpha*a

OM²= a²+ (-alpha*a)² OK

OC²= OH²+HC²

OH= OA-CB écriture fausse (voir plus haut), ce n'est vrai qu'en abscisse
OH= a-(a-(a-c)) = a-c ; c'est l'abscisse de C !

HC=AB
HC=b

OC²= (a-(a-(a-c)))²+b² OK, simplifie la 1ère parenthèse

[invitea67e82a3]

CM²+OM² = c²+(b-alpha*a)²+a²+(alpha*a)²

= c²+b²-2ba*alpha+(alpha*a)²+a²+(alpha *a)²


OC²= (a-c)²+b²

a²-2ac+c²+b²

OC² n'est pas égale à CM²+OM²

On ne trouve pas les même résultats donc on ne peut pas appliquer la réciproque de pythagore

[invite52c52005]

Je crois que tu as oublié le but de l'exercice.

On doit vérifier que est solution de l'équation ax²+bx+c= 0 pour que les droites soient perpendiculaires.
Donc on pose que le triangle est rectangle donc que le théorème de Pythagore est vérifié et on cherche la condition que doit vérifier .
Il faut donc que tu égales OC² et CM²+OM².

Sinon, je n'ai pas encore vérifié tes calculs.

[invite52c52005]

C'est OK pour les calculs à part qu'il y a une erreur de signe que j'avais loupé avant.

BM = b - (-a) = b + a

Corrige les calculs correspondants.

Ainsi, pour la conclusion, j'ai vérifié, ça marche : est bien solution de ax²+bx+c = 0

[invitea67e82a3]

Si les droites (OM) et (CM) sont perpendiculaire alors:

c²+b²+2ba*alpha+a²+2*a²*alpha² = a²-2ac+c²+b²

2ab*alpha+2a²*alpha² = -2ac

2b*alpha +2a*alpha² = -2c

b*alpha+a*alpha² = -c

a*alpha²+b*alpha+c= 0

C'est juste là, non ?