salut à tous,désolé de rajouter un topic,mais je ne trouve pas mon bonheur dans mes recherches,donc voilà. j'ai une équation: 2x^3+x+2,et je n'arrive pas à trouver "une unique solution".quand je la dérive,je trouve g'(x)=2x²+1,et la dessu,je ne trouve pas de racine... donc,si quelqu'un aurait une bonne idée,ça m'aiderai...merci.je précise,je suis en 1ere S,et ce DM est fait pour les terminales ES.donc voila.merci encore pour ceux qui réussiront à m'aider
Cette équation possède trois solutions dans les complexes dont une dans les réels.Envoyé par mathias1703
D'habitude, ce qu'on essaie de faire c'est de trouver une racine au pif pour en déduire les deux autres, mais ici ça marche pas.
On peut y arriver en utilisant les complexes en posant:
2(a+bi)³ + (a+bi) + 2 = 0
2(a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i) + a + bi + 2 = 0
2a³ + 6a²bi - 6ab² - 2b³i + a + bi + 2 = 0
(2a³ - 6ab² + a + 2) + i.(6a²b - 2b³ + b) = 0
<=> 2a³ - 6ab² + a + 2 = 0
6a²b - 2b³ + b = 0
Tu résouds ce système de deux équations à deux inconnues (bonne chance) et tu tombes sur les valeurs de a et b. Dans un des trois cas, ton b sera nul, et la valeur de a sera la racine réelle de ton polynôme.
EDIT : remarque que la notation exponentielle semble aller plus vite
justement si tu ne trouve pas de racine, tu peux en déduire quelque chose sur le signe de ta dérivée.
CE quelque chose te permettra d en déduire les variations de ta fonction plynomiales. ET en suite une petit théorème des valeurs intermédiaires fera l'affaire.
En faite je crois que la question n'est pas de trouver la solution réel mais de montrer quelle est unique. De plus les complexes et l'exponentielle ne sont étudier qu'en terminal SCette équation possède trois solutions dans les complexes dont une dans les réels.
D'habitude, ce qu'on essaie de faire c'est de trouver une racine au pif pour en déduire les deux autres, mais ici ça marche pas.
On peut y arriver en utilisant les complexes en posant
2(a+bi)³ + (a+bi) + 2 = 0
2(a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i) + a + bi + 2 = 0
2a³ + 6a²bi - 6ab² - 2b³i + a + bi + 2 = 0
(2a³ - 6ab² + a + 2) + i.(6a²b - 2b³ + b) = 0
<=> 2a³ - 6ab² + a + 2 = 0
6a²b - 2b³ + b = 0
Tu résouds ce système de deux équations à deux inconnues (bonne chance) et tu tombes sur les valeurs de a et b. Dans un des trois cas, ton b sera nul, et la valeur de a sera la racine réelle de ton polynôme.
EDIT : remarque que la notation exponentielle semble aller plus vite
voila mon problème,j'ai piqué ce dm a ma soeur qui est en terminale ES,et moi,je ne connais aucuns des théoremes cités ci dessu
Bonjour
Déjà tu ne nous dis pas très clairement ce que tu cherches.salut à tous,désolé de rajouter un topic,mais je ne trouve pas mon bonheur dans mes recherches,donc voilà. j'ai une équation: 2x^3+x+2,et je n'arrive pas à trouver "une unique solution".quand je la dérive,je trouve g'(x)=2x²+1,et la dessu,je ne trouve pas de racine... donc,si quelqu'un aurait une bonne idée,ça m'aiderai...merci.je précise,je suis en 1ere S,et ce DM est fait pour les terminales ES.donc voila.merci encore pour ceux qui réussiront à m'aider
Ensuite ta dérivée est fausse.
Voilà une méthode :
Posons f(x)=2x^3+x+2
f est-elle continue ?
Calcule la limite de f lorsque x tend vers - l'infini, puis lorsque x tend vers +l'infini.
Utilise ensuite le théorème des valeurs intermediaires pour en déduire que f admet au moins une racine réelle.
Note a cette racine, tu peux écrire 2x^3+x+2=(x-a)Q(x)
Calcule le discriminant de Q(x) et montre que Q n'a pas de racine réelle.
Tu peux en déduire que la racine réelle est unique.
CQFD
Antho ce que tu dis est juste mais tu ne montres pas que la racine réelle est unique.
Ben si la dérivé garde est strictement positive, la fonction est strictement croissante. OR f(-1)<0, f(1)>0. donc d'apres le theroeme des valeurs intermédiaire et par stricte croissance de f, f(x)=0 admet une unique solution dans [-1;1] et un calcul de limite exclu les possibilité de racines pour x<1 et x>1. Donc la racine est unique
