Problème sur une inégalité classique !!

[invite621a8f3c]

Bonjour, voici mon problème, pouvez-vous me dire ce qui ne va pas svp ?


On considère la fonction f(x) = (x+1) / (x-1)
<=> f(x) = 1 + 2/(x-1)

Je veux ses variations sur l'intervalle [-infinie; -1]

Pour cela, j'utilise le théorème de rangement.

a < b < -1 => (a-1) < (b-1) < (-2) => 1/(a-1) > 1/(b-1) > 1/(-2)

=> 2/(a-1) > 2/(b-1) > (-1)

=> 2/(a-1) + 1 > 2/(b-1) + 1

donc a < b < -1 => f(a) > f(b), donc f est décroissate sur [-infinie; -1]

c'est correct ?



Par contre pour ses variations sur l'intervalle [1;+infinie[
je fais la même technique mais je pense que c'est faux......


Je veux maintenant ses variations sur l'intervalle [1;+infinie[

a < b > 1 => (a-1) < (b-1) > 0

=> 1/(a-1) > 1/(b-1)

=> 2/(a-1) + 1 > 2/(b-1) + 1

donc a < b > 1 => f(a) > f(b), donc f décroissante sur [1;+infinie[

Est-ce correct ?
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[invite2593aa43]

Salut
j'arrive pas à suivre mais si c'est la seconde utilise le taux d'accroissemnt
(f(b)-f(a))/b-a(étude de son signe), tu regardes pour b plus petit que a et sur chaque intervalle
en 1re la dérivée est plus simple!!!!

[invite621a8f3c]

Bonjour,

Merci pour tes conseils, non ce n'est pas de la seconde. Je suis en 1ère S, on a pas encore fait les dérivées, donc je suis censé résoudre cet exo sans utiliser la dérivée d'une fonction. (Je sais qu'avec la dérivée c'est plus simple et rapide, mais faudra attendre pour pouvoir utiliser cela).

donc comment faire avec une méthode de 1èreS sans utiliser les dérivées ?
Le prof fait avec le théorème de rangement, c'est par exemple:

a<b alors 1/a > 1/b

[invitebfd92313]

Quand tu veux démontrer la croissance, il faut utiliser des équivalences et non des implications : (f est croissante) si et seulement si (a>b <=> f(a)>f(b))
Ensuite quand tu écris ton inégalité il faut écrire 1<a<b et non pas a<b>1, car (a<b et b>1) n'implique pas (a>1).
Sinon à part ca ton raisonnement est correct.

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Le prof fait avec le théorème de rangement, c'est par exemple:

a<b alors 1/a > 1/b

C'est vrai parce que a et b sont de même signe, ce qui est bien le cas dans ton exo. Pas de souci. Mais attention si un jour tu es dans un cas où ils sont de signes contraires. Ex:
-2< 3 et pourtant 1/-2 reste < 1/3

[invite621a8f3c]

Bonjour, oui mais cela ne répond pas à ma question.......

Ma question était:

1<a<b <=> 0<a-1<b-1 ça c'est bon ok...

Mais ensuite je veux trouver une inégalité du type 1/(a-1) > 1(b-1) je fais comment ??

[invitebfd92313]

tu as donné la réponse toi-même dans ton premier post ...

ce que tu as dit est correct c'est juste ma rédactioon qui était approximative.

[invite621a8f3c]

Bonjour,

Je demandais cela parce que quelqu'un m'a dit que si x>1 <=> x-1>0 mais écrire que 1/(x-1) < 0 c'est faux est-ce vrai ??
Je veux un encadrement de 1/(x-1) à partir de l'inégalité x>1 comment faire dans ce cas?? car 1/0 ça n'existe pas...

[invitebfd92313]

à ce moment la il faut s'appuyer sur l'étude de la fonction inverse, quand x-1 tend vers 0, 1/(x-1) tend vers l'infini, mais ca suppose que tu as déja vu la notion de limite. si tu ne l'as pas vue, je ne vois pas dans quel contexte on pourrait te poser ce genre de question.

[invite621a8f3c]

Salut,

Non on à pas vu encore les limites, cette question sert pour trouver les variations ou bien encore l'intervalle image d'une fonction.
Soit f(x) = rac[(x+1)/(x-1)]

f composée de h(x) = 1 + 2/(x-1) par la fonction g(x) = rac(x)
Je veux les varaitions de f sur ]-infinie;-1] et sur ]1;+infinie[

h est décroissante sur ]-infinie;-1]
si x < -1 <=> x-1<-2 <=> 1/(x-1) > 1/(-2) <=> 2/(x-1) + 1 >0
Donc h(x) appartient à [0;+infinie[ j'ai fais ça pour trouver l'intervalle image de h
g est croissante sur [0;+infinie[
On a donc f décroissante sur ]-infinie;-1]

ok pour ça??

Maitenant voyons les varaitions de f sur ]1;+infinie[

h est décroissante sur ]1;+infinie[
si x>1 <=> x-1>0 donc 1/(x-1) ça fais quoi ?? vous comprenez
Je fais cela pour trouver l'intervalle image de h je sais que c'est forcément [0;+infinie[ car on là calculé précédement, mais pourquoi en partant de l'inégalité x>1 j'arrive pas et en partant de x< -1 là j'arrive ??
g croissante sur [0;+infinie[
On a donc f aussi décroissante sur ]1;+infinie[

[invitebfd92313]

C'est parce que ta démarche est fausse. La composée d'une fonction décroissante et d'une fonction croissante n'est pas forcément décroissante (j'ai cru comprendre que c'était cela que tu utilisais dans la premiere partie).
Pour trouver les variations de ta fonction f il faut raisonner comme dans ton premier post, en partant de a>b et en en déduisant une inégalité sur f(a) et f(b) en raisonnant toujours par équivalences.