Nombres premiers

[inviteea5db5e2]

Bonsoir !

J'ai un problème avec l'égalité de Sophie Germain :

J'ai montré cette égalité, à savoir :



en développant le produit de gauche et après quelques simplifications.

Ensuite, on m'a demandé pour de trouver les valeurs de n telles que était premier.

J'ai trouvé une valeur : n=1 (après avoir emplacé m par 1 et considéré que le nombre était le produit de lui même par 1 étant donné qu'un nombre premier n'admet que ces deux diviseurs)

Est-ce juste ?

Je pense ! Mais là ouù j'ai vraiment besoin de vous c'est pour montrer que

n'est pas un nombre premier...

Un grand merci d'avance aux âmes généreuses et magnanimes qui ce pencheront sur mon problème.
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[invite2220c077]

En remarquant que , on obtient



Je te laisse terminer

[inviteea5db5e2]

Merci bien -Zweig- !

Je sais pas ce que je ferais sans toi ! Tu me dis de terminer mais je crois que tout est fini...

J'ai bien une expression de la forme :

n^4+4m^4 ...

Mais la réponse n=1 à la question 2 ? Elle est juste ?

[invite9c9b9968]

Hello,

En effet ta réponse à la première question est juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea5db5e2]

D'accord, merci Gwyddon...

Ca voudrait dire que mon nombre est premier ssi n=1 et m=1 ? Ce qui me permettrait de conclure ?

Parce que dans la question précédente, on était partis du cas assez restricitif de m=1 ?

Merci encore, par avance...

[invite9c9b9968]

Hum, tu n'as pas les idées très claires

Reprenons ensemble

Tu dois trouver pour quel(s) n tu as n⁴+4 premier.

Donc l'idée c'est de trouver pour quels n ce nombre n'est justement PAS premier vu l'exercice

Donc pour cela, il faut décomposer n⁴+4 en un produit de facteurs distincts de 1 et de lui-même.

Or si tu utilises la formule de Sophie-Germain dans le cas très particulier m=1, tu as une expression de n⁴+4 comme produit de facteur, et tu vois aisément que pour n>1, ces facteurs sont bien entiers, non nuls, différents de 1 et de n⁴+4.

Donc pour n>1, n⁴+4 n'est PAS premier.

Ensuite tu testes pour n=1, tu vois bien que 1+4=5 est premier, et pour n=0 tu obtiens 4, qui n'est pas premier.

Donc là tu peux conclure.

L'utilisation de m n'est qu'un intermédiaire, il n'apparaît pas dans la conclusion, il n'y a pas de conditions sur m qui doit intervenir dans ta conclusion.

[inviteea5db5e2]

Hum, tu n'as pas les idées très claires

Reprenons ensemble

Merci Gwyddon de ta patience !

4[/EXP]+4 premier.

Donc l'idée c'est de trouver pour quels n ce nombre n'est justement PAS premier vu l'exercice

Donc pour cela, il faut décomposer n⁴+4 en un produit de facteurs distincts de 1 et de lui-même.

Or si tu utilises la formule de Sophie-Germain dans le cas très particulier m=1, tu as une expression de n⁴+4 comme produit de facteur, et tu vois aisément que pour n>1, ces facteurs sont bien entiers, non nuls, différents de 1 et de n⁴+4.

Donc pour n>1, n⁴+4 n'est PAS premier.

Ensuite tu testes pour n=1, tu vois bien que 1+4=5 est premier, et pour n=0 tu obtiens 4, qui n'est pas premier.

Donc là tu peux conclure.

L'utilisation de m n'est qu'un intermédiaire, il n'apparaît pas dans la conclusion, il n'y a pas de conditions sur m qui doit intervenir dans ta conclusion.

Ca me laisse assez dubitatif.

Je te suis jusqu'à ce que tu dises que m n'est qu'un intermédiaire. J'avais bien compris tout le début. Mais c'est justement ce m qui me gêne.

Je vais donc recopier l'énoncé et donner précisément mes réponses

1\ Démontrer l'égalité dite de Sophie Germain



Ca c'est fait !

2\ n est un entier naturel; pour quelles valeurs de n, n⁴+4 est-t-il premier

J'ai donc remplacé m par 1. Puis je me suis servi du produit de facteurs en considérant que chaque facteur ne pouvait être égal qu'à 1 ou n⁴+4. La seule solution convenable était n=1 puisque l'autre était négative

3\ Démontrer que 545⁴+4⁵⁴⁵ n'est pas un nombre premier.

Je me sers donc de l'aide de -Zweig- ( gloire à lui ) et je reconnais une expresssion de la forme n⁴+4m⁴.

C'est là qu'il y a problème il me suffit de dire que n est différent de 1 ???

[invite9c9b9968]

m est un intermédiaire pour la seconde question, et la 3e question est indépendante de la 2e.

En fait la logique de l'exercice est la suivante : la première question te fait démontrer Sophie-Germain, les autres questions sont diverses applications de l'égalité.

Pour la 3e question, tu utilises la 1ère question en identifiant correctement n et m pour cette question particulière (l'indice de Zweig est plus que parlant )

Et tu peux conclure aisément vu que tu auras écrit ton nombre comme produit de facteurs.

[inviteea5db5e2]

Ah ! Donc la 2 et la 3 sont indépendantes !

Pour la 2, la seule valeur de n est n=1.

Et pour la 3, une fois l'égalité de -Zweig- écrite il me suffit de dire que les facteurs sont différents de 1 et de 4^545 et de 545^4 pour montrer que ce nombre n'est pas premier ?

Je crois que je vais y arriver... J'en suis pas loin là

[invite9c9b9968]

Je crois que tu as compris et gagné le gros lot

[inviteea5db5e2]

Bonsoir,

Pour la question 3\, on a écrit le nombre voulu comme produit de deux facteurs, mais j'arrive pas à montrer que ces facteurs sont différents de 1 et du nombre lui-même...

^^ c'est à dire que ca fait des beaux nombres quand même et la machine elle s'affole.

Merci, si quelqu'un voit comment faire.