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Problème énoncé : Comparer ?



  1. #1
    kana_flower

    Problème énoncé : Comparer ?

    Bonjour, j'ai un tit exo à faire et en fait, j'ai pas bien compris l'énoncé.

    On a : a est un nombre réel. Pour tout x réel, comparer eax et ax.

    Cela veut-il dire que je dois, par exemple, donner leur tableau de variation, leurs limites aux infinis, leurs signes.... ?

    -----


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  3. #2
    bongo1981

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    peut-être te faut-il introduire la fonction
    Et regarder le signe de cette fonction ?

  4. #3
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Citation Envoyé par bongo1981 Voir le message
    peut-être te faut-il introduire la fonction
    Et regarder le signe de cette fonction ?
    Haaaa donc si j'ai bien compris, je dois montrer si eax< ax ou eax> ax?

  5. #4
    bongo1981

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    cela revient à étudier le signe de g

  6. #5
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    D'accord merci ! Je n'avais juste pas compris le sens du mot "comparer" ^^.

    Bonne soirée

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Hum et du coup j'ai un problème...

    J'ai donc pris la fonction g(x)=eax-ax .

    Pour trouver son signe, je dois donc résoudre l'inéquation eax > ax ? Mais la je bloque... Dois-je dériver g(x) ?
    Dernière modification par kana_flower ; 30/10/2007 à 17h10.

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  10. #7
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Je ne peux plus éditer donc je re-post, j'ai esssayer de résoudre eax>ax, ca me donne x< (eax)/a donc je me retrouve encore bloquée...

    Si je dérive g(x), je trouve g'(x) = aea²x-a .

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Perdu il n'y a pas de dans l'expression de . se dérive en . Sinon l'étude de fonction est la bonne méthode.

  12. #9
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Donc on à g'(x) = aeax-a .

    Merci.

    Donc pour trouver le signe de g(x), je dois étudier le signe de sa dérivée, ainsi j'aurais les variations de g(x) et j'utilise ensuite g(0) ?

    Car pour trouver le signe de g'(x)....j'obtiens g'(x)=a(eax-1) mais ca ne m'avance pas beaucoup...

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    OK pour la dérivée. Pour trouver le signe de la dérivée ben... tu regardes là où elle s'annule et si, ça t'avance, car tu connais le log n'est-ce pas ?

  14. #11
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Euh, non connait pas le "log" (logarithme je suppose) on ne l'as pas encore étudié.

    J'ai trouvé que eax-1>0 si x>0 et eax-1<0 si x<à car e0=1 et donc si x=0, eax-1=0.

    Donc voilà, j'ai la valeur de x pour laquelle g'(x) s'annule.

    Je vais manger, merci encore ! Bonne soirée !
    Dernière modification par kana_flower ; 30/10/2007 à 18h03.

  15. #12
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Mais du coup, est-ce que je dois faire 2 études de cas, une pour a<0 et une pour a>0 ? Car les sens de variations et les signes changent en fonction du signe de a.

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  17. #13
    kaiswalayla

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    t'as raison qu'il faut étudier deux cas mais attention, ton affirmation:
    exp(ax)-1>0 si x>0 et exp(ax)-1<0 si x<0
    n' est pas valable quel que soit a.
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  18. #14
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    t'as raison qu'il faut étudier deux cas mais attention, ton affirmation:
    exp(ax)-1>0 si x>0 et exp(ax)-1<0 si x<0
    n' est pas valable quel que soit a.
    C'est donc valable pour a>0, c'est le contraire pour a<0 c'est ça ?

    Bon ben c'est parti alors... merci !

  19. #15
    kaiswalayla

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Oui. Mais pour s'en convaincre, la dérivée de g(x)=exp(ax)-1 est g'(x)=aexp(ax) qui est de signe de a, et g(0)=0...
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  20. #16
    kana_flower

    Re : Problème énonce : Comparer ?

    Désolée mais je n'ai pas compris pourquoi on a besoin d'utiliser la dérivée de eax-1 ?

    Si j'utilise le fait que a>0, j'arrive au final à f'(0)=0 donc que f admet un minimum local en 0. Or f(0)=1 donc f(x)>1 pour x<0 et x>0. Et donc que f(x)>0 donc que eax> ax (ou alors que f(x)>1 donc que eax>1-ax ?)

  21. #17
    kana_flower

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    bouuhhh j'arrive pas à m'organiser !

    J'arrive jusque là :

    J'étudie le signe de g'(x) = a(exp(ax)-1) donc j'étudie l'inéquation :

    a(exp(ax)-1) > 0 et là je ne sais pas comment continuer, enfin je sais mais dois-je introduire la dérivée de exp(ax)-1 maintenant ? Je connais la solution j'arrive bien à la comprendre mais je n'arrive pas à expliquer.

  22. #18
    Flyingsquirrel

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    Pour pouvoir étudier le signe de il faut connaître le signe de ... et comme est réel on ne le connait pas donc il faut distinguer plusieurs cas : , et , ce que te suggérais kaiswalayla quelques posts plus haut.

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  24. #19
    kana_flower

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    d'accord donc je vais étudier 3 cas différents.
    Exemple pour un cas, merci de me dire si ça va :

    Pour a>0 :
    J'étudie le signe de g'(x)=a(exp(ax)-1) donc de exp(ax)-1.
    Je résouds l'inéquation exp(ax)-1>0
    On prend h(x)=exp(ax)-1 donc h'(x)=aexp(ax) donc h'(x) est du signe de a car exp(ax) est toujours >0. On à donc h'(x)>0 donc h(x) est croissante. Or h(0)=0 donc exp(ax)-1>0 <=> x>0 .
    Donc g'(x)>0 pour x>0 et g'(x)<0 pour x<0. g'(0)=0 donc f admet un minimum local en 0.

    Or g(0)=1 donc g(x)>1 pour x>0 et x<0.
    Donc exp(ax)-ax>1 <=> exp(ax)>1+ax

    Voilà.

  25. #20
    Flyingsquirrel

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    Parfait

  26. #21
    kana_flower

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    OUF !! Merci beaucoup

    A oui et du coup je garde exp(ax)>1+ax ? Je pensais qu'il fallait trouver un résultat dans le genre exp(ax) < ou > ax ?

  27. #22
    kaiswalayla

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    Citation Envoyé par kana_flower Voir le message
    bouuhhh j'arrive pas à m'organiser !

    J'arrive jusque là :

    J'étudie le signe de g'(x) = a(exp(ax)-1) donc j'étudie l'inéquation :

    a(exp(ax)-1) > 0 et là je ne sais pas comment continuer, enfin je sais mais dois-je introduire la dérivée de exp(ax)-1 maintenant ? Je connais la solution j'arrive bien à la comprendre mais je n'arrive pas à expliquer.
    1° t'as comme fonction principale de dérivée que tu as trouvé;

    2° t'as bien vu que le signe dépend à la fois du signe de et du signe du 2ème facteur ;

    3° * tu as senti aussi que pour > 0:

    - > équivaut à > ;

    - < équivaut à < " ;

    - équivaut à " ;

    * que c'est le contraire pour < ;

    * sans oublier de traiter le cas .

    C'est pour te convaincre de la validité de ces résultats (du 2°) que je t'avais conseillé d'étudier le signe des variations de la fonction , que j'aurais dû notée et non .

    3° Remarque: le fait que ne veut pas dire possède un minimum local en (contre-exemple: mais n'admet aucun minimum local.)
    IL faut plutôt te fier au tableau des variations de (flèches et ), que tu dois bien sûr justifier.
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  28. #23
    kaiswalayla

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    J'avais pas vu que tu avais bien avancé. Parfait comme a dit Flyingsquirrel.

    COMPARER deux nombres revient à COMPARER leur DIFFERENCE à ZERO:
    or quels sont les nombres qu'on te demande de comparer?
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  29. #24
    kana_flower

    Re : Problème énoncé : Comparer ?

    Je vais arranger le truc du minimum local.

    Euh, en fait je crois que c'est bon, car on me demande de comparer eax et ax donc j'ai trouvé que exp(ax)-ax>1 donc exp(ax)-ax>0 donc exp(ax) > ax .

    En tout cas merci à tous d'avoir consacrer un peu de votre temps pour éclairer ma lanterne !

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