Problème énoncé : Comparer ?

[kana_flower]

Bonjour, j'ai un tit exo à faire et en fait, j'ai pas bien compris l'énoncé.

On a : a est un nombre réel. Pour tout x réel, comparer e^ax et ax.

Cela veut-il dire que je dois, par exemple, donner leur tableau de variation, leurs limites aux infinis, leurs signes.... ?
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[bongo1981]

peut-être te faut-il introduire la fonction
Et regarder le signe de cette fonction ?

[kana_flower]

peut-être te faut-il introduire la fonction
Et regarder le signe de cette fonction ?

Haaaa donc si j'ai bien compris, je dois montrer si e^ax< ax ou e^ax> ax?

[bongo1981]

cela revient à étudier le signe de g

[A voir en vidéo sur Futura]

[kana_flower]

D'accord merci ! Je n'avais juste pas compris le sens du mot "comparer" ^^.

Bonne soirée

[kana_flower]

Hum et du coup j'ai un problème...

J'ai donc pris la fonction g(x)=e^ax-ax .

Pour trouver son signe, je dois donc résoudre l'inéquation e^ax > ax ? Mais la je bloque... Dois-je dériver g(x) ?

[kana_flower]

Je ne peux plus éditer donc je re-post, j'ai esssayer de résoudre e^ax>ax, ca me donne x< (e^ax)/a donc je me retrouve encore bloquée...

Si je dérive g(x), je trouve g'(x) = ae^a²x-a .

[Flyingsquirrel]

Perdu il n'y a pas de dans l'expression de . se dérive en . Sinon l'étude de fonction est la bonne méthode.

[kana_flower]

Donc on à g'(x) = ae^ax-a .

Merci.

Donc pour trouver le signe de g(x), je dois étudier le signe de sa dérivée, ainsi j'aurais les variations de g(x) et j'utilise ensuite g(0) ?

Car pour trouver le signe de g'(x)....j'obtiens g'(x)=a(e^ax-1) mais ca ne m'avance pas beaucoup...

[Flyingsquirrel]

OK pour la dérivée. Pour trouver le signe de la dérivée ben... tu regardes là où elle s'annule et si, ça t'avance, car tu connais le log n'est-ce pas ?

[kana_flower]

Euh, non connait pas le "log" (logarithme je suppose) on ne l'as pas encore étudié.

J'ai trouvé que e^ax-1>0 si x>0 et e^ax-1<0 si x<à car e⁰=1 et donc si x=0, e^ax-1=0.

Donc voilà, j'ai la valeur de x pour laquelle g'(x) s'annule.

Je vais manger, merci encore ! Bonne soirée !

[kana_flower]

Mais du coup, est-ce que je dois faire 2 études de cas, une pour a<0 et une pour a>0 ? Car les sens de variations et les signes changent en fonction du signe de a.

[invitee625533c]

t'as raison qu'il faut étudier deux cas mais attention, ton affirmation:
exp(ax)-1>0 si x>0 et exp(ax)-1<0 si x<0
n' est pas valable quel que soit a.

[kana_flower]

t'as raison qu'il faut étudier deux cas mais attention, ton affirmation:
exp(ax)-1>0 si x>0 et exp(ax)-1<0 si x<0
n' est pas valable quel que soit a.

C'est donc valable pour a>0, c'est le contraire pour a<0 c'est ça ?

Bon ben c'est parti alors... merci !

[invitee625533c]

Oui. Mais pour s'en convaincre, la dérivée de g(x)=exp(ax)-1 est g'(x)=aexp(ax) qui est de signe de a, et g(0)=0...

[kana_flower]

Désolée mais je n'ai pas compris pourquoi on a besoin d'utiliser la dérivée de e^ax-1 ?

Si j'utilise le fait que a>0, j'arrive au final à f'(0)=0 donc que f admet un minimum local en 0. Or f(0)=1 donc f(x)>1 pour x<0 et x>0. Et donc que f(x)>0 donc que e^ax> ax (ou alors que f(x)>1 donc que e^ax>1-ax ?)

[kana_flower]

bouuhhh j'arrive pas à m'organiser !

J'arrive jusque là :

J'étudie le signe de g'(x) = a(exp(ax)-1) donc j'étudie l'inéquation :

a(exp(ax)-1) > 0 et là je ne sais pas comment continuer, enfin je sais mais dois-je introduire la dérivée de exp(ax)-1 maintenant ? Je connais la solution j'arrive bien à la comprendre mais je n'arrive pas à expliquer.

[Flyingsquirrel]

Pour pouvoir étudier le signe de il faut connaître le signe de ... et comme est réel on ne le connait pas donc il faut distinguer plusieurs cas : , et , ce que te suggérais kaiswalayla quelques posts plus haut.

[kana_flower]

d'accord donc je vais étudier 3 cas différents.
Exemple pour un cas, merci de me dire si ça va :

Pour a>0 :
J'étudie le signe de g'(x)=a(exp(ax)-1) donc de exp(ax)-1.
Je résouds l'inéquation exp(ax)-1>0
On prend h(x)=exp(ax)-1 donc h'(x)=aexp(ax) donc h'(x) est du signe de a car exp(ax) est toujours >0. On à donc h'(x)>0 donc h(x) est croissante. Or h(0)=0 donc exp(ax)-1>0 <=> x>0 .
Donc g'(x)>0 pour x>0 et g'(x)<0 pour x<0. g'(0)=0 donc f admet un minimum local en 0.

Or g(0)=1 donc g(x)>1 pour x>0 et x<0.
Donc exp(ax)-ax>1 <=> exp(ax)>1+ax

Voilà.

[Flyingsquirrel]

Parfait

[kana_flower]

OUF !! Merci beaucoup

A oui et du coup je garde exp(ax)>1+ax ? Je pensais qu'il fallait trouver un résultat dans le genre exp(ax) < ou > ax ?

[invitee625533c]

bouuhhh j'arrive pas à m'organiser !

J'arrive jusque là :

J'étudie le signe de g'(x) = a(exp(ax)-1) donc j'étudie l'inéquation :

a(exp(ax)-1) > 0 et là je ne sais pas comment continuer, enfin je sais mais dois-je introduire la dérivée de exp(ax)-1 maintenant ? Je connais la solution j'arrive bien à la comprendre mais je n'arrive pas à expliquer.

1° t'as comme fonction principale de dérivée que tu as trouvé;

2° t'as bien vu que le signe dépend à la fois du signe de et du signe du 2ème facteur ;

3° * tu as senti aussi que pour > 0:

- > équivaut à > ;

- < équivaut à < " ;

- équivaut à " ;

* que c'est le contraire pour < ;

* sans oublier de traiter le cas .

C'est pour te convaincre de la validité de ces résultats (du 2°) que je t'avais conseillé d'étudier le signe des variations de la fonction , que j'aurais dû notée et non .

3° Remarque: le fait que ne veut pas dire possède un minimum local en (contre-exemple: mais n'admet aucun minimum local.)
IL faut plutôt te fier au tableau des variations de (flèches et ), que tu dois bien sûr justifier.

[invitee625533c]

J'avais pas vu que tu avais bien avancé. Parfait comme a dit Flyingsquirrel.

COMPARER deux nombres revient à COMPARER leur DIFFERENCE à ZERO:
or quels sont les nombres qu'on te demande de comparer?

[kana_flower]

Je vais arranger le truc du minimum local.

Euh, en fait je crois que c'est bon, car on me demande de comparer e^ax et ax donc j'ai trouvé que exp(ax)-ax>1 donc exp(ax)-ax>0 donc exp(ax) > ax .

En tout cas merci à tous d'avoir consacrer un peu de votre temps pour éclairer ma lanterne !