Trigo 1ere S

[invitea7a3849b]

Bonjour à tous, je n´arrive pas à résoudre un problème

Soit ABCDE le pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique

1°) Il faut calculer la valeur de chaque angle, je l´ai résolu

Mais ca se complique après...

2) En déduire les coordonnées de A,B,C,D et E puis celle V=OA+OB+OC+OD+OE (ce sont des vecteurs)

Pour les coordonnées de chaque point j ai trouvé :
A(1 , 0) B ( cos2PI/5 ; sin 2PI/5) C ( -cos 4PI/5 ; sin4PI/5 )

D ( -cos4PI/5 ; -sin4PI/5) E( cos 2PI/5 ; -sin 2PI/5) . Est-ce bien cela ?

Pour trouver V je dois additionner chaque cos et sin ? Je crois qu'il faut trouver 0 mais moi je trouve pas ca

Pouvez vous m'aidez ?
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[DSCH]

L'abscisse d'une somme de vecteurs est la somme de leurs abscisses. Idem pour les ordonnées. Avec les valeurs que tu trouves pour les coordonnées, cela semble bien aller pour obtenir zéro…

[invitea7a3849b]

La question suivante est montré que (OB+OE) et (OC+OD) sont colinéaires à OA puis que V est colinaire à OA

Sur le dessin que j ai fait ca se voit mais après pour le montrer je dois exprimer OB,OE,OC,OD en fonction de OA ?

[DSCH]

L'abscisse d'une somme de vecteurs est la somme de leurs abscisses. Idem pour les ordonnées. Avec les valeurs que tu trouves pour les coordonnées, cela semble bien aller pour obtenir zéro…

J'ai répondu trop vite, ce n'est en effet pas évident que la somme des abscisses est nulle. Justement, la suite du problème ne consisterait-elle pas à utiliser l'égalité pour trouver les valeurs exactes de et (et éventuellement en déduire une construction du pentagne régulier à la règle et au compas) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[DSCH]

La question suivante est montré que (OB+OE) et (OC+OD) sont colinéaires à OA puis que V est colinaire à OA

Sur le dessin que j ai fait ca se voit mais après pour le montrer je dois exprimer OB,OE,OC,OD en fonction de OA ?

Bon, cette question semble montrer qu'on ne s'attend pas à ce que tu trouves que est nul dès la première question (sinon le fait qu'il serait colinéaire à serait évident). Ici, tu as juste à travailler en coordonnées : quelles sont les coordonnées de , etc. ?

[invitea7a3849b]

Vous avez raison il faut utiliser les deux égalités,mais que dois je répondre alors pour en déduire les coordonnées de V ?

La question exacte la voila : "montrez que (OB+OE) et (OC+OD) sont colinéaires à OA puis que V est colinaire à OA"

Donc je calcule les coordonnés de (OB + OE ) et ( OC + OD ) ?

(OB+OE) = Vecteur nul ? Doit-on trouver que ( OC + OD ) = vecteur nul ?

[DSCH]

Vous avez raison il faut utiliser les deux égalités,mais que dois je répondre alors pour en déduire les coordonnées de V ?

La question exacte la voila : "montrez que (OB+OE) et (OC+OD) sont colinéaires à OA puis que V est colinaire à OA"

Donc je calcule les coordonnés de (OB + OE ) et ( OC + OD ) ?

(OB+OE) = Vecteur nul ? Doit-on trouver que ( OC + OD ) = vecteur nul ?

Je suppose qu'au début, on se contente de dire que les coordonnées de sont (les coordonnées des points que tu as trouvées sont justes). Difficile d'en dire plus sans avoir la totalité de l'énoncé.

En revanche, quand tu calcules en coordonnées et , tu ne dois pas trouver le vecteur nul ; seule l'ordonnée de ces vecteurs est nulle (ce qui correspond bien à des vecteurs colinéaires à ).

[invitea7a3849b]

Voila l'exo au complet :
Soit ABCDE le pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique

1°) Il faut calculer la valeur de chaque angle, je l´ai résolu

Mais ca se complique après...

2) En déduire les coordonnées de A,B,C,D et E puis celle V=OA+OB+OC+OD+OE (ce sont des vecteurs)

-Je dois trouver les coordonnées polaires ou cartésiennes ? Polaire c´est simple mais pour calculer V il faut additionner les coordonnées cartésiennes non ?

3) MOntrer que ( OB + OE ) et ( OC + OD ) sont colinéaires ) OA puis que V est colinéaire à OA

-Dois je trouver que les coordonnées correspondent à celle de OA ?

4) Montrer de meme que V est colinéaire à OB à OC ,OD et à OE
-la j ai besoin des questions précédentes je pense

5) En déduire que :
OA+OB+OC+OD+OE=0
1+2cos 2PI/5 + 2cos 4PI/5 = 0

6) En déduire que cos 2PI/5 est solution de l´équation 4x²+2x-1=0
Déterminer la valeur exacte

Suffit juste de démontrer que ( OB + OE ) appartiennent à l'axe des abscisses donc OA donc il y a colinéarité ?

[DSCH]

Bon, tout cela se clarifie… Pour la question 2, tu as juste à additionner les coordonnées (cartésiennes) de chaque vecteur et laisser le résultat comme ça (c'est normal de ne pas trouver zéro à ce stade, on ne le saura que dans la question 5).

Pour la question 3, à quelle condition sur leurs coordonnées sait-on si deux vecteurs sont colinéaires ?

Pour la question 4, je suppose qu'il suffit de dire que A, B, C, D, et E jouent exactement le même rôle dans un pentagone régulier ABCDE, si bien que si ton vecteur est colinéaire à , il est aussi colinéaire à , etc. (il suffit de tourner le repère d'un cinquième de tour et de refaire tous les calculs…)

[invitea7a3849b]

Pour la question 3) il faut que leur ordonné soit égal à 0 ?

Pour la 4) Je me serts de la rotations ?

1+2cos 2PI/5 + 2cos 4PI/5 = 0 C'est égal à la somme des abssices de chacun non ?

En déduire que cos 2PI/5 est solution de l´équation 4x²+2x-1=0
Je me sers des formules trigonométriques non ?

[DSCH]

Pour la question 3) il faut que leur ordonné soit égal à 0 ?

Dans ce cas particulier, oui (dans le cas général, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles).

Pour la 4) Je me serts de la rotations ?

Oui, tu peux parler de rotations. Maintenant, je ne sais pas exactement le degré de précision attendu par ton professeur ; pour ma part, je me contenterais d'une explication concise.

1+2cos 2PI/5 + 2cos 4PI/5 = 0 C'est égal à la somme des abssices de chacun non ?

Oui.

En déduire que cos 2PI/5 est solution de l´équation 4x²+2x-1=0
Je me sers des formules trigonométriques non ?

Oui, une de ces formules te permet en effet de réécrire l'égalité précédente uniquement en fonction de .

[invitea7a3849b]

Je vous remercie pour votre aide. Merci beaucoup