[exo] Trigo (1ère S)

[invite767a4087]

Bonjour, j'ai du mal a résoudre un exo de trigo pour un DM de math, je ne vois vraiment pas comment m'y prendre, j'ai essayé avec les trinomes et tout ce que j'avait dans le cours, je ne trouve toujours pas, si vous pouviez m'aider a le résourdre ca serai vraiment super, meme un petit conseil ^^ parce que la je bloque :/

Le probleme est le suivant:

Résoudre dans [0,2pi[ l'équation:

2cos^3 x - 7 cos² x + 7cos x -2 = 0

La solution doit etre assez simple mais je voit vraiment pas ce que c'est oO.
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[invitedb5bdc8a]

Si tu oublies qu'il s'agit de trigo et que tu poses Y=cos x
alors tu dois voir apparaitre une expression plus simple (à lire) et qui devrait te donner l'idée d'une valeur de Y qui est solution de l'équation.
Une fois que tu as une solution, tu reviens à une équation de degré 2 en Y.

[invite97a92052]

Mais ce genre de méthodes, c'est pas ce qu'on demande en première S !

Ya pas une question précédente en rapport avec celle-ci dans ton DM (ou alors ya qqch de très simple, mais je ne vois pas) ?

[shokin]

C'est pourtant là l'idée, substituer en disant que cos(x)=y.

Puis factoriser facilement :

ay^3-by^2+by-a=0 en mettant y-1 en évidence !

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite767a4087]

Non il n'y a pas de question precedente, j'ai bien essayé de remplacer cos x par X, ce qui donne 2X^3 - 7X² + 7X - 2 . Mais la je voit pas comment y resoudre, on a jamais fait ca dans le cours et jvoit pas vraiment de solution ^^. Si vous pouviez me donner au moins un exemple, apperement c'est une factorisation de degré 3...mais comment y resoudre oO?
Merci de me repondre je lutte la

[invite88ef51f0]

Salut,
Pour les polynômes de degré supérieur à 2, il n'existe pas de méthode simple pour résoudre systématiquement (il en existe des compliqués pour le degré 3, mais je ne les connais pas moi-même). Il faut donc trouver une racine "évidente" y₀ puis factoriser ton polynôme par (y-y₀). En pratique, il faut regarder comme éventuelle racine évidente les nombres comme 0, 1, 2, etc... Ici, tu peux voir que 1 est solution. Donc ton polynôme s'écrit (y-1)(ay²+by+c), à toi de déterminer a, b et c...

[invite97a92052]

La factorisation de degré 3, c'est pas trop du niveau de première, loin de là (c'est un mix de trinômes, de systèmes d'équations et de nombres complexes avec en prime des changements de variable)

Fin bon, si on fait la méthode "racine évidente" de shokin, ça fait ça :

2X^3 - 7X² + 7X - 2 = 0
"On remarque que 1 est une solution à cette équation"

soit 3 réels a, b et c, tels que
(aX²+bX+c)(X-1) = 2X^3 - 7X² + 7X - 2
ssi aX^3 - aX² + bX² - bX + cX - c = 2X^3 - 7X² + 7X - 2
ssi aX^3 + (b-a)X² + (c-b)X - c = 2X^3 - 7X² + 7X - 2

Pour que l'égalité soie vraie, il suffit que :
a = 2
b-a = -7
c-b = 7
-c = -2

d'ou :
a = 2
b = -5
c = 2

Donc
2X^3 - 7X² + 7X - 2 = 0
ssi (2X²-5X+2)(X-1) = 0

racines du trinôme :
delta = 25 - 4 * 4 = 9

x1 = (5 - 3)/4 = 1/2
x2 = (5 + 3)/4 = 2

donc
2X^3 - 7X² + 7X - 2 = 2(X-1/2)(X-2)(X-1)

donc
2X^3 - 7X² + 7X - 2 = 0
ssi 2(X-1/2)(X-2)(X-1) = 0
ssi (X-1/2)(X-2)(X-1) = 0

Tu retransformes en cos(x) et je te laisse faire la suite.

[invite767a4087]

Merci beaucoup
Je vois pas comment j'aurais pu sortir le (X-1) ( jvois toujours pas d'ou il vient d'ailleurs ^^).

[invite97a92052]

Non, mais sinon, tu dis à ton prof que t'as regardé la courbe sur ta calculette, et que du coup tu as pu trouver les 3 racines et vérifier que ça marchait.
Parce que, ayant été en première S l'année dernière, on ne nous aurait jamais demandé de faire cet exo sans être guidé pas à pas (on nous aurait au moins donné une expression déja factorisée)

[inviteee36a206]

pouvez vous m'aider svp

3x(-8)-(-5)x(-4)=

merci d'avance

[invite8241b23e]

Alors commençons par le commencement, vu que tu nous dis pas où tu bloques précisément :

3x(-8) = ??
(-5)x(-4) =??

Dis-nous où tu bloques !