Angles associés et équations trigo

[invite54f15488]

Bonjour à tous !
Je poste aujourd'hui sur ce forum car j'ai un problème avec mon dm de maths. Je suis en première S et nous travaillons sur la trigonométrie.
Voici le sujet :

Démontrer que :

a) sin (PI/8) - sin (3PI/8) + sin (5PI/8) - sin (7PI/8) = 0

b) cos^2 (PI/8) + cos^2 (3PI/8) + cos^2 (5PI/8) + cos^2 (7PI/8) = 2

c) cos (3PI/8) sin (PI/8) + cos (25PI/8) sin (11PI/8) = 1


Résoudre les équations de type cos (u (x)) = cos (v (x)) suivantes :

a) cos (x) = cos (4x) dans /R
b) cos (2x) = - ((racine de 2) / 2) dans /R
c) cos (3x) = 1/2 dans ]-PI ; PI ] puis dans ] 0 ; 3PI ].

Résoudre les équations de type sin (u (x)) = sin (v (x)) suivantes :
a) sin (x) = sin (3x) dans /R
b) sin (x) = sin (2x + PI/4) dans /R
c) sin (2x) = ((racine de 2) / 2) dans ] -PI ; PI ] puis dans [ 0 ; 3PI ]


Pour le premier exercice, j'ai essayé de décomposer les expressions pour les simplifier, mais le résultat est toujours différent de celui que je devrais obtenir !
Si vous pouviez me conseiller des méthodes, me guider par quelques pistes, je vous en serais très reconnaissante... Merci d'avance !
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[invite54f15488]

Ce dm est à rendre pour la rentrée, j'ai vraiment besoin d'aide !

[bourbaki]

bonsoir klem69,
je vais essayer de t'aider un peu.
Décomposer les expressions pour les simplifier c'est bien, mais savoir quelle décomposition utiliser est plus dur, car sinon, on peut souvent tourner en rond avec toutes les "règles" de trigo..
Le plus évident en trigo est de faire un cercle trigonométrique pour réfléchir dessus, car il y a plein de choses qui se voient sur ce cercle, comme par exemple sin(x)=sin(pi-x).
Ensuite, bien sûr il faut savoir quelques regles de trigo, pour linéariser un cos² par exemple, etc.

Après, bien lire ce qu'on te demande.

a) sin (PI/8) - sin (3PI/8) + sin (5PI/8) - sin (7PI/8) = 0
on peut remarquer que des angles sont complémentaires: ici, pi/8 =pi -7pi/8, ainsi que 3pi/8 et 5pi/8. comment ça se traduit au niveau des sinus? En déduire le résultat.

b) cos^2 (PI/8) + cos^2 (3PI/8) + cos^2 (5PI/8) + cos^2 (7PI/8) = 2
on te demande "truc=2". bizarre 2, serait-ce 1+1 ? Ensuite "cos²", on pense à linéariser. et là, moi je pense tout de suite à la formule "cos(2x)=2.cos²(x)-1". Faut l'arranger certainement, mais c'est un départ!

bon courage pour la suite, et n'hésite pas à écrire ce que tu trouves, même si ce n'est pas le résultat. C'est en lisant tes erreurs qu'on comprendra tes erreurs de raisonnement

[invite7ffe9b6a]

J ai plus le temps faut que j i aille.
Si quelqu un veut bien poster
les formules de changement cosinus sinus. (x+pi/2)
Et les deux familles de solutions suivant si on resout cosa=cosb ou sina=sinb

et les formules d addition soustractions

[A voir en vidéo sur Futura]

[bourbaki]

tu ne dis rien klem69, j'espere que ce que j'ai écrit est suffisament détaillé pour te faire démarrer. je peux développer si tu veux, mais le mieux pour toi est que j'en dise le moins, sinon quel interet de te résoudre l'exo.

Bon, pendant que j'y suis, un petit coup de pouce pour le petit c):
c) cos (3PI/8) sin (PI/8) + cos (25PI/8) sin (11PI/8) = 1
je ne sais pas à quoi tu penses en lisant ça, mais moi je pense au developpement de sin(a+b). Ensuite, a et b sont tels que sin(a+b)=1. En gardant un oeil sur mon cercle trigonométrique, il est clair que a+b=...
c'est un bon début pour résoudre la question déjà, je te souhaite de trouver ceci et la suite.

[invite54f15488]

Merci beaucoup pour vos conseils (je ne disais rien car j'étais déconnectée, je pensais qu'il fallait plus de temps pour obtenir une réponse...)
Je vais essayer de les appliquer et je reviens vous dire ce que j'ai trouvé.

[Vous avez raison, la meilleure manière de me faire progresser n'est pas de faire l'exercice à ma place.]

[invite54f15488]

J'ai réussi le petit a)
On remarque sur le cercle trigonométrique que
PI/8 = PI - 7PI/8
Or on sait que (sin PI - x) = sin x
donc sin PI - 7PI/8 = sin 7PI/8
et sin PI/8 = sin 7PI/8
donc sin PI/8 - sin 7PI/8 = 0

De même, on remarque que 3PI/8 = PI - 5PI/8
donc sin PI - 5PI/8 = sin 5PI/8
et sin 3PI/8 = sin 5PI/8
donc sin 5PI/8 - sin 3PI/8 = 0

On en déduit donc que sin (PI/8) - sin (3PI/8) + sin (5PI/8) - sin (7PI/8) = 0

Par contre, pour le b), je ne comprends pas trop la signification du mot "linéariser" et la formule cos(2x)=2.cos2(x)-1 je ne l'ai jamais vue...
Quand je vois que 2 = 1+1 je pense à la formule cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1, mais ca ne m'aide pas beaucoup pour la suite...

[invite54f15488]

En fait je viens de m'apercevoir qu'il me manque de nombreuses formules dans mon cours, comme les formules de linéarisation par exemple.

Grâce à ta formule que j'ai modifié, j'ai trouvé :
cos^2 (x) = (1+cos(2x))/2

en appliquant à la formule de départ, je trouve :

(1+cos(2PI/8))/2 + (1+cos(6PI/8))/2 + 1+cos(10PI/8))/2 + (1+cos(14PI/8))/2
= (1+cos(PI/4))/2 + (1+cos(3PI/4))/2 + (1+cos(5PI/4))/2 + (1+cos(7PI/4))/2
= 1/2 (1+ cos(PI/4) + 1 + cos(3PI/4) + 1 + cos(5PI/4) + 1 + cos (7PI/4))

Or on remarque sur le cercle trigonométrique que :
cos (PI/4) = -cos (3PI/4)
donc cos(PI/4) + cos(3PI/4) = 0

de même on remarque que :
cos(7PI/4) = -cos(5PI/4)
donc cos(7PI/4) + cos(5PI/4) = 0

On en déduit que :
cos^2(PI/8) + cos^2(3PI/8) + cos^2(5PI/8) + cos^2(7PI/8) = 1/2 * 4 = 2

C'est juste ?

[invite54f15488]

Ensuite, pour le c), je n'ai pas compris pourquoi sin(a+b)=1

J'ai trouvé sur le net la formule cos(a)*sin(b)=1/2*(sin(a+b)-sin(a-b))

En appliquant cette formule au premier terme de la somme je trouve :
cos (3PI/8) * sin (PI/8) = 1/2 (sin(3PI/8 + PI/8) - sin(3PI/8 - PI/8)
= 1/2 (sin(4PI/8) - sin(2PI/8) = 1/2 (sin(PI/2) - sin(PI/4))

Mais j'ai l'impression que c'est faux et je bloque... Merci de votre aide !

[invite54f15488]

De l'aide svp...