Etude fonction difficile avec racine carre

[invite9e1f2feb]

Bonjour a tous, voila je suis face à un exercice que je n'arrive vraiment pas.

Voici l'enoncé : Definit sur R

f(x)= x - racine(x²+8)

1) Calculez les limites de f en +inf et -inf .

après factorisation, je trouve : x - racine(x²)*racine(1+8/x²)

Mais après je sais plus quoi faire , car je trouve pas pareil sur ma calculette en faisant la courbe.

2) Justifier que la droite d'équation y=2x est asymptote a C.

3) Dressez le tableau de variation de f.

La , la derivé que je trouve est : 1- (x)/racine(x²+8)


4) tracer la courbe C.

En espérant trouve de l'aide et de bon conseil
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[invite03f2c9c5]

f(x)= x - racine(x²+8)

1) Calculez les limites de f en +inf et -inf .

Bonjour, pour la limite en , tu ne devrais pas avoir de problème (première question à se poser : la réponse est-elle immédiate ou a-t-on affaire à une forme indéterminée ?).

Pour celle en , il y a une astuce qui consiste à introduire la « quantitée conjuguée à ». Cela ne te dit rien ?

[invite9e1f2feb]

OUi je connais mais apparament le fait de mettre en facteur x² sous la racine me paraissait plus simple mais en fait non

[invite9e1f2feb]

Up , pour dresser le tableau, j ai calculer f' , ce qui ma donné : x/racine(x²+8)

DOnc pour l'intervalle -inf;0 , f est decroissante , pour l'intervalle 0;+inf, f est croissante.

Est-ce bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e1f2feb]

Je corrige mon dernier poste , pour dresser le tableau, j ai calculer f' , ce qui ma donné :1- x/racine(x²+8)

Pour l'intervalle [-inf:+inf], f est croissante , c'est bon?

[invitea3eb043e]

Oui, mais il serait intéressant de regarder les asymptotes aux 2 bouts.

[invite9e1f2feb]

Bas , il ya une asymptote horizontale y=0 déja, j'en vois pas d'autre pour f ou C qui est sa courbe representative

[invitea3eb043e]

Il y a une asymptote oblique du côté de -infini. En fait cette courbe est une moitié d'hyperbole et elle a donc 2 asymptotes.

[invite9e1f2feb]

OUi, mais pour la q3), comment faire le tableau avec f'= 1- x/racine(x²+8)?

x - inf 0 +inf
x - 0 +
rac(x²+8) + +
?
f'
f

Je m'embrouille un peu car la courbe de f est croissante

[invitea3eb043e]

Ne te casse pas la tête pour le signe de f'. Regarde ce que tu as : x/racine de (x²+8) a toujours une valeur absolue inférieure à 1 parce que la valeur absolue de x² est toujours inférieure à la valeur absolue de x²+8. Donc f'(x)>0

Pour l'asymptote, c'est un peu plus délicat. Il faut montrer que du côté de -infini, f(x) s'écrit comme a x + b + quelque chose qui tend vers zéro. Mais sais-tu faire un développement limité ?

[invite3582b57e]

pour calcluer la limite de f en - infini c trop facile
le resultat sois - infini
parce que f(x)=x-[racine(+8)]
f(x)=-infini -[racine +infini ]
f(x)=-infini -(+infini)
f(x)=- infini - infini
f(x)=-infini
mais pour resoudre la 2eme limite
le resultat sera 0
parce que f(x)=+infini - infini ca veux dire une format non detirminé
mais avec la simplification avec des petite astuces tu trouvera a la fin
la limite egale 0
*pour demontrer que le droit d'equation egale........
je crois que tu cherche a la domaine de definition qui egale
df=]-infini,-racine8]u[+racine8,+ infini[
tu utilise cette base qui egale
y=la derivé de f dna s x0=racine 8 ou -racine 8(x-x0)+f(- rac8 ou +rac8)
c tout pour t'aidera mon ami